Raumachse vertikal Raumachse horizontal

Kern- und Teilchenphysik I — SS 2006 — Prof. G. Dissertori — Serie 2

L¨ osungen

1. Feynman-Diagramme

Zeitachse horizontal Zeitachse vertikal

Raumachse vertikal Raumachse horizontal

a) z.B. Elektron-Bremsstrahlung nicht m¨oglich, da das Elektron zur gleichen e ⁺ → e ⁺ + γ oder e ⁻ → e ⁻ + γ Zeit an verschiedenen Orten sein m¨ usste b) M¨ uon-Paar-Produktion an einem Elektron-M¨ uon-Streuung *)

e ⁺ e ⁻ -Beschleuniger e ⁺ + µ ⁻ → e ⁺ + µ ⁻ , e ⁻ + µ ⁺ → e ⁻ + µ ⁺ , e ⁺ + e ⁻ → µ ⁺ + µ ⁻ e ⁺ + µ ⁺ → e ⁺ + µ ⁺ oder e ⁻ + µ ⁻ → e ⁻ + µ ⁻ c) nicht m¨oglich, da das e z.B. Energie-Fluktuation

zur gleichen Zeit an mehreren des e

Orten sein m¨ usste e ⁺ oder e ⁻

d) Pinguin-Diagramm *) Nicht m¨oglich, da das Quark q alle Ladungvorzeichen sind erlaubt zur gleichen Zeit an mehreren aber q ⁰ und q ⁰⁰ m¨ ussen die gleiche Ladung haben Orten sein m¨ usste

*) Interne Linien (wie z.B. das virtuelle Photon in b)) werden oft parallel zur Raumachse gezeichnet (Das Photon w¨ urde sich also zur gleichen Zeit an verschiedenen Orten befinden.), externe Linien jedoch nie.

2. Reelle und virtuelle Photonen

a) Die Schwerpunktsenergie (des e ⁺ e ⁻ -Systems) ist E CM = 100 GeV. Aus der Viererimpuls- Erhaltung am linken Vertex folgt

E γ

1

~ p γ

1

= E e

⁻

~ p e

⁻

+

E e

⁺

~ p e

⁺

= E CM

~ 0

m γ

1

= r

E CM ² − ~ 0

2

= E CM

Insbesondere ist also die Masse nicht Null, es handelt sich um ein virtuelles Photon.

Energie und Impuls m¨ ussen an jedem Vertex erhalten sein. Da das Elektron vor der Photon- emision off-shell (virtuell) ist, gilt

E CM

~ 0

= E e

⁻

~p e

⁻

+

E e

⁺

~p e

⁺

, aber nicht

E e

⁺

~ p e

⁺

= E e

⁻

~p e

⁻

.

F¨ ur den 3-K¨orper-Endzustand (e ⁺ e ⁻ γ 2 ) kann man deshalb nichts ¨ uber die Energien und Impulse der einzelnen Teilchen aussagen. Energie und Impuls m¨ ussen lediglich erhalten bleiben:

E CM

~ 0

= E e

⁻

~p e

⁻

+

E _e ⁰

+

~p ⁰ _e

+

+

| ~ p γ

2

|

~p γ

2

.

Das Photon ist nun im Endzustand (reelles Photon), daher muss seine Masse Null sein:

E γ

2

= q

~

p ² _γ

₂

− 0 = | ~ p γ

2

| .

b) Aus Viererimpuls-Erhaltung zwischen Anfangs- und Endzustand erh¨alt man:

E γ

1

~p γ

1

+

E γ

2

~p γ

2

= E CM

~ 0

d.h. es muss p ~ γ

1

= − ~ p γ

2

sein und somit auch (da beide Photonen im Endzustand vorkom- men und somit m γ

1

= m γ

2

= 0 ist) auch die gleiche Energie haben, n¨amlich E γ

1

= E γ

2

=

| ~p γ

1

| = | ~p γ

2

| = E CM /2.

3. Photonkonversion und Erhaltungss¨ atze

a)

P γ ² = ( P ^e + P ^{e 0} ) ² = 2m ² _e + 2(EE ⁰ − p e p e 0 cos θ) ≥ 2m ² _e + 2(EE ⁰ − p e p e 0 ) Mit P γ ² = m ² _γ = 0 und EE ⁰ > p e p e 0 folgt die Behauptung.

b) Im Ruhesystems des R¨ uckstossteilchens (Nukleon) gilt mit c ≡ 1 vor der Photonkonversion:

P ⁿ = (E n , p _n ) = (M, 0 ) Nach der Photonkonversion gilt:

P n ⁰ = (E _n ⁰ , p ⁰

n ) = ( p

M ² + p ⁰ _n ² , p ⁰

n ) q = − p ⁰

n

Der Viererimpuls¨ ubertrag ist nun:

Q ² = − q ² = − (P n − P _n ⁰ ) ² = − (E n − E ⁰ _n ) ² − ( p _n − p ⁰

n ) ²

=

= −

M − p

M ² + p ⁰ _n ^{2 2}

− p ⁰ _n ²

=

= −









M − M s

1 + p ⁰ _n

M 2 



2

− p ⁰ _n ²







=

' p ⁰ n ² = | q | ² (weil p ⁰ _n

M ²

1),

d.h. q ⁰ ' 0.

Wobei verwendet wurde, dass

∂

∂x

a − a √ 1 + x 2

| ^x=0 = 0 gilt.

Die Viererimpulserhaltung liefert:

P ^γ + q = P ^e + P e ⁰

( P ^γ + q) ² = ( P ^e + P e ⁰ ) ²

Der Impuls¨ ubertrag ist minimal, falls die Schwerpunktsenergie des Elektron-Positron-Systems minimal ist, d.h. wenn ( P e + P e ⁰ ) ² = 4m ² _e .

( P γ + q) ² = P γ ² + 2 P γ q + q ² = 2(E γ q ⁰ − p _γ q) + q ² ' − 2E γ | q | cosθ − | q | ² ≥ 4m ² _e F¨ ur cos θ = − 1 (minimaler Impuls¨ ubertrag), gilt dann

q ² − 2E γ | q | + 4m ² _e = 0 Das Aufl¨osen der quadratischen Gleichung ergibt:

p Q ² ' | q | > 0.5 · 10 ^{− 3} MeV/c

c) Nein, dieser Prozess ist nicht m¨oglich, da er den Energieerhaltungssatz verletzt. Im Ruhe-

system ist das Elektron anfangs in Ruhe, seine Energie ist also mc ² . Das Elektron kann

nicht in ein Photon und ein zur¨ uckgestossenes Elektron zerfallen, da letzteres eine Energie

gr¨osser als mc ² h¨atte.