J. M¨uller WiSe 2019/2020 15.01.2020
9. ¨Ubung zur H¨oheren Funktionentheorie
A33: Es seienU, V ⊂CGebiete undf :U →U sowieg:V →V holomorph. Dann heißen f und gkonjugiert, falls eine konforme Abbildungϕ:U →V existiert mitg◦ϕ=ϕ◦f.
a) Es seien U := C\D und V := C\[−2,2]. ¨Uberlegen Sie sich, dass f : U → U und g:V →V mit f(z) =z2 f¨ur z∈U undg(w) =w2−2 f¨urw∈V konjugiert sind.
Hinweis: Joukowski-Abbildung.
b) Bestimmen SieF(g) undJ(g).
A34: Es seien K ein kompakte Menge in C und (fn) eine Folge in H(C). Zeigen Sie: Ist G die unbeschr¨ankte Komponente vonC\Kund ist (fn) aufGlokal gleichm¨aßig konvergent gegen f ∈H(G), so ist (fn) auch lokal gleichm¨aßig konvergent auf C.
A35: Es seiX ein perfekter und vollst¨andiger metrischer Raum. Beweisen Sie, dass jede nichtleere offene MengeU ⊂X ¨uberabz¨ahlbar ist.
Hinweis: Verwenden Sie den Satz von Baire.
A36: Es seif ∈H(C) nicht injektiv. Zeigen Sie:
a) Hatf einen Fixpunkt a, so giltJ(f)6=∅oderf◦n→alokal gleichm¨aßig aufC. b) Hatf zwei Fixpunkte, so istJ(f)6=∅.
