Aufgabe X.3 Seien U ⊂ Rd offen, w : U ×Rd → R eine 1-Form und γ : [a, b

Prof. Dr. Moritz Kaßmann Fakultät für Mathematik

Sommersemester 2015 Universität Bielefeld

Präsenzaufgaben zu Analysis 2 Blatt X vom 11.06.15

Aufgabe X.1

Seiγ : [0,∞)→R² definiert durch

γ(t) =

_t²

1 2

3(2t+ 1)^3/2

.

Berechnen Sie die Parametrisierung nach der Bogenlänge fürγ.

Aufgabe X.2

SeiU =R²\ {(0,0)}und w eine1-Form auf U, definiert durch

w=− x₂

x²₁+x²₂dx₁+ x₁

x²₁+x²₂dx₂. Berechnen Sie das Kurvenintegral entlang des Integrationsweges

γ : [0,1]→R², γ(t) = t

t²

.

Aufgabe X.3

Seien U ⊂ R^d offen, w : U ×R^d → R eine 1-Form und γ : [a, b] → R^d ein stetig differenzierbarer Weg. Des Weiteren gebe es eine stetig differenzierbare Funktion f : U →R derart, dass

w(x, h) = (∇f(x), h).

Zeigen Sie, dass dann gilt:

Z

γ

w=f(γ(b))−f(γ(a))

Aufgabe X.4

Bestimmen Sie alle kritischen Punkte der Funktion f : R² → R unter der durch M gegebenen Nebenbedingung:

f(x, y) =xy, M ={(x, y)∈R²|x²+y²= 1}.