Satz von Peano
F¨ ur eine in einer offenen Umgebung D von (t
0, a) ∈ R × R
nstetige Funktion f hat das Anfangswertproblem
u
0(t) = f (t, u (t)), u (t
0) = a
mindestens eine stetig differenzierbare L¨ osung (u
1, . . . , u
n)
tin einer Umgebung (t
−, t
+) von t
0.
Wie in der Abbildung illustriert ist, verl¨ auft die L¨ osungskurve bis zum Rand von D. Ist die u-Komponente von D unbeschr¨ ankt, ist dabei insbesondere der Fall |u (t)| → ∞ m¨ oglich.
Satz von Peano 1-1
(t
0, a) u
t
+t t
−D
Satz von Peano 1-2
Beispiel:
(i) Keine eindeutige L¨ osung:
u
0= 2 p
|u|, u(0) = 0
L¨ osungen
u
τ=
0, x ≤ τ (x − τ )
2, x ≥ τ f¨ ur beliebiges τ ≥ 0 bzw. (Symmetrie)
u
τ=
0, x ≥ τ
−(τ − x )
2, x ≤ τ f¨ ur τ ≤ 0
Satz von Peano 2-1
(ii) Kleines Existenzintervall:
u
0= u
2, u(0) = 1 L¨ osung
u(t) = 1 1 − t singul¨ ar f¨ ur t → 1
Satz von Peano 2-2
