Satz von Menger

(1)

Diskrete Mathematik

Univ.-Prof. Dr. Goulnara ARZHANTSEVA

SS 2020

c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 08: Menger, König und Hall / Planare Graphen 1 / 30

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Der Satz von Menger: s–t –trennende Kantenmenge

Definition: s–t–trennende Kantenmenge

SeiD(V,E) ein Digraph, und seiens,t zwei verschiedene Knoten in D. Dann heißt eine TeilmengeC ⊆E von Kanten mit der Eigenschaft, daßjederWeg vonsnacht (mindestens) eine Kante ausCenthält, eines–t–trennende Kantenmenge.

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Satz von Menger

SeiDein Digraph und seiens,t zwei verschiedene Knoten inD.

Dann ist diemaximaleAnzahl vonpaarweise kantendisjunkten Wegen (d.h., keine zwei Wege haben eineKantegemeinsam) vons nacht gleich derminimalenKardinalität einers–t–trennenden Kantenmenge.

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Satz von Menger: Beweis

Beweis: Wir machen aus dem Digraphen einNetzwerk, indem wirs undt als Quelle und Senke auffassen und für die Kanten die ganzzahlige Kapazitätsfunktionc≡1 wählen.

Eines–t–trennende Kantenmenge ist dann ein Schnitt in diesem Netzwerk, und dieKapazitäteines solchen Schnittes ist gleich seiner Kardinalität. Seimalso die Kapazität eines minimalen Schnittes = die minimale Anzahl einers–t–trennenden Kantenmenge.

Es gibt also einenmaximalen Flußf der Stärkemin diesem Netzwerk.

Der Flußf ist ganzzahlig (nach ‘ganzzahliger Fluß’-Lemma), er nimmt also nur die Werte 0 oder 1 an¹.

1Wenn wirfals charakteristische Funktion deuten, dann entspricht er einfach einer

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Satz von Menger: Beweis

Wenn es aber einen Fluß der Stärkemgibt, dann gibt es auchm kantendisjunkte Wege vonsnacht, die nur Kantenemitf(e) = 1 benutzen: Dies zeigen wir mitInduktion nachm.

Fürm= 0 ist die Behauptung klar.

Für den Schrittm−1 aufmkonstruieren wir mithilfe vonf zunächst einen Weg vonsnacht:

Dazu starten wir ins, verwenden nur Kantenemitf(e) = 1, ohne jemals eine Kante zweimal zu benutzen, und gelangen so schließlich nacht. Damit haben wir zunächst eine Wanderung erhalten, in der Knoten wiederholt auftreten könnten: Zwischen je zwei wiederholten Knoten schneiden wir die dazwischenliegende geschlossene

Wanderung heraus und erhalten so schließlich einen Wegp.

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Satz von Menger: Beweis

Wenn es aber einen Fluß der Stärkemgibt, dann gibt es auchm kantendisjunkte Wege vonsnacht, die nur Kantenemitf(e) = 1 benutzen: Dies zeigen wir mitInduktion nachm.

Fürm= 0 ist die Behauptung klar.

Für den Schrittm−1 aufmkonstruieren wir mithilfe vonf zunächst einen Weg vonsnacht:

Dazu starten wir ins, verwenden nur Kantenemitf(e) = 1, ohne jemals eine Kante zweimal zu benutzen, und gelangen so schließlich nacht. Damit haben wir zunächst eine Wanderung erhalten, in der Knoten wiederholt auftreten könnten: Zwischen je zwei wiederholten Knoten schneiden wir die dazwischenliegende geschlossene

Wanderung heraus und erhalten so schließlich einen Wegp.

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Satz von Menger: Beweis

Für alle Kanten vonpreduzieren wir den Fluß um 1, damit reduziert sich die Stärke des verbleibenden Flusses aufm−1. Nach Induktion finden wir nunm−1 kantendisjunkte Wege, und der Wegphat nach Konstruktion keine Kante mit diesen Wegen gemeinsam.

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Matching, Edge–Cover, bipartiter Graph

Definition: Matching, Edge–Cover, bipartiter Graph

SeiG(V,E) ein Graph. EinMatchinginGist eine Familie von paarweise disjunkten Kanten (d.h., keine zwei Kanten im Matching haben einen Knoten gemeinsam).

EinEdge–Cover(eineKantenüberdeckung) inGist eine Menge von Knoten mit der Eigenschaft, daßjedeKante inGeinen Knoten aus dem Edge–Cover enthält.

Ein GraphG(V,E) heißtbipartiter Graph, wenn seine Knotenmenge in zwei disjunkte TeilmengenAundBzerfällt (eine sogenannte

Bipartition:V =A∪˙ B, alsoV =A∪BundA∩B=∅), sodaß jede Kante einen Knoten ausAund einen Knoten ausBenthält.

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Satz von König

SeiG(A∪˙ B,E) ein bipartiter Graph. DiemaximaleKardinalität eines MatchingsinGist gleich derminimalenKardinalität einesEdge–Cover inG.

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Satz von König: Beweis

Beweis: Wir konstruieren ausGeinen DigraphenD: Die Knoten vonD seienA∪B∪ {s,t}, und diegerichtetenKanten vonDseien

alle Paare (s,a) füra∈A,

alle Paare (a,b) mit{a,b} ∈E,a∈Aundb∈B, alle Paare (b,t) fürb∈B.

Jeder Weg inDvonsnacht ist von der Form (s,a,b,t), wobeia∈A, b∈Bund{a,b} ∈E. Daher entspricht eine Familie von

kantendisjunkten Wegen (s,a_i,b_i,t) inDeindeutig einem Matching in G, das aus den Kanten{a_i,b_i}besteht.

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Satz von König: Beweis (

aus Skriptum

)

s t

A B

⃝c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 08: Menger, Knig und Hall / Planare Graphen 10 / 30

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Satz von König: Beweis

Jedem Edge–CoverSinGentspricht eines–t–trennende

Kantenmenge inD, die aus den Kanten (s,a) füra∈A∩Sund aus den Kanten (b,t) fürb∈B∩Sbesteht, und umgekehrt entspricht jeders–t–trennenden Kantenmenge, die nur Kanten enthält, die entweder mits oder mitt inzident sind, ein Edge–Cover.

Es kann zwar klarerweise noch anderes–t–trennende Kantenmenge inDgeben, aber keine davon kann weniger Kanten enthalten als eine minimales–t–trennende Kantenmenge von obigem Typ (denn wenn eines–t–trennende Kantenmenge die Kante (a,b) enthält, können wir sie durch (s,a) ersetzen).

Die Behauptung folgt also aus dem Satz von Menger.

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Repräsentantensystem

Definition: Repräsentantensystem

SeienA₁, . . . ,A_nMengen. EinRepräsentantensystemvonA₁, . . . ,A_n ist einn–Tupel (x₁, . . . ,x_n) mit den Eigenschaften

x_i ∈A_i füri = 1, . . . ,n, x_i 6=x_jfüri 6=j.

(14)

Satz von Hall

Satz von Hall Heiratssatz

SeienA₁, . . . ,A_nendliche Mengen. Es existiert genau dann ein Repräsentantensystem vonA₁, . . . ,An, wenn für alle Indexmengen J ⊆[n] gilt:

[

j∈J

A_j

≥ |J|.

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Satz von Hall: Beweis

Beweis: Die Notwendigkeit der Bedingung ist klar — in der anschaulichen Interpretation: Jede MengeJ von Frauen muß

insgesamt zumindest|J|Männer als heiratsfähig erachten, sonst kann es keinen–fache Heirat geben.

Wir konstruieren einen bipartiten GraphenG, dessen KnotenmengeV inAundBzerfällt, wobeiB= [n] undA=^Sⁿ_i=1A_i, und dessen Kanten Knoteni∈Aundj ∈Bgenau dann verbinden, wenni ∈A_j.

Ein Matching inGist eine Menge paarweise disjunkter Kanten{i,j}, d.h., jeder Knoteni liegt inA_j, und die Knotenisind alle verschieden.

EinRepräsentantensystem entspricht also einem Matchingder Größe ninG.

(16)

Satz von Hall: Beweis

Die MengeBist (natürlich) ein Edge–Cover mit|B|=n. Wir wollen zeigen: JedesEdge–CoverShat mindestensnElemente.

Sei alsoSirgendeinEdge–Cover; und seiJ :=B\S. Jeder Knoten in A(J) :=^S_j∈JA_j ist mit einem Knoten vonJ durch eine Kante

verbunden, daher mußA(J)⊆S gelten (sonst wäreSja kein Edge–Cover). Daher gilt nach Voraussetzung:

|S| ≥ |B| − |J|+|A(J)|

| {z }

≥|J|

≥n.

Die Behauptung folgt also aus dem Satz von König.

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Satz von Hall: Beweis

Die MengeBist (natürlich) ein Edge–Cover mit|B|=n. Wir wollen zeigen: JedesEdge–CoverShat mindestensnElemente.

Sei alsoSirgendeinEdge–Cover; und seiJ :=B\S. Jeder Knoten in A(J) :=^S_j∈JA_j ist mit einem Knoten vonJ durch eine Kante

verbunden, daher mußA(J)⊆S gelten (sonst wäreSja kein Edge–Cover). Daher gilt nach Voraussetzung:

|S| ≥ |B| − |J|+|A(J)|

| {z }

≥|J|

≥n.

Die Behauptung folgt also aus dem Satz von König.

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Einbettung von Graphen

Definition: Einbettung vonGinM

SeiMeineMannigfaltigkeit²undGein Graph. Eine Abbildungµ, die jedem Knotenv injektiveinen Punktµ(v) inMzurordnet, und jeder Kantee={v,w}eine Kurveγ : [0,1]→Mmitγ(0) =µ(v),

γ(1) =µ(w), sodaß die zwei verschiedenen Kantene₁,e₂

zugeordneten Kurvenγ₁,γ₂höchstens Anfangs– oder Endpunkte gemeinsam haben, heißt eineEinbettungvonGinM.

EineKurveist eine stückweise stetig differenzierbare Abbildung von [0,1]→M.

2Ein Begriff der Differentialgeometrie: Für unsere Zwecke brauchen wir nur die Ebene ², den Raum ³sowie die Oberfläche einer Kugel im Raum (Sphäre) und die

(19)

Einbettung in R

³

Proposition: Einbettung inR³

Jeder GraphGkann inR³eingebettet werden.

Beweis:

Wir betrachen eine beliebige Geradeg inR³und stellen die Knoten vonGals verschiedene Punkte aufgdar. Für jede Kante wählen wir eine Ebenee, die durchg geht (die Ebenen sollen paarweise

verschieden sein), und stellen die Kante durch einen Halbkreis in der

Ebene dar.

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Einbettung in R

³

Proposition: Einbettung inR³

Jeder GraphGkann inR³eingebettet werden.

Beweis:

Wir betrachen eine beliebige Geradeg inR³und stellen die Knoten vonGals verschiedene Punkte aufgdar. Für jede Kante wählen wir eine Ebenee, die durchg geht (die Ebenen sollen paarweise

verschieden sein), und stellen die Kante durch einen Halbkreis in der

Ebene dar.

(21)

Planare Graphen

Definition: planarer Graph

Ein GraphG, der in die EbeneR²eingebettet werden kann, heißt planarer Graph.

Einbettung in die Ebene ist übrigens äquivalent mit Einbettung in die Sphäre (Kugeloberfläche)

n(x,y,z)∈R³:x²+y²+z²= 1^o,

Denn diestereographische Projektionliefert eine differenzierbare Bijektion zwischen der Sphäre ohne den “Nordpol” (0,0,1) und dem R².

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Planare Graphen

Definition: planarer Graph

Ein GraphG, der in die EbeneR²eingebettet werden kann, heißt planarer Graph.

Einbettung in die Ebene ist übrigens äquivalent mit Einbettung in die Sphäre (Kugeloberfläche)

n(x,y,z)∈R³:x²+y²+z²= 1^o,

Denn diestereographische Projektionliefert eine differenzierbare Bijektion zwischen der Sphäre ohne den “Nordpol” (0,0,1) und dem R².

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Vollständige bipartite Graph

Definition: Vollständige bipartite Graph

SeiA∪˙ Beine Bipartition vonV mit|A|=n,|B|=m. Dervollständige bipartite GraphKn,mist dereinfache bipartiteGraph aufV =A∪˙ B, der dadurch definiert ist, daß eralleKanten besitzt, die möglich sind; es gilt alsoE Kn,m

={{a,b}:a∈A,b∈B}.

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Beispiel: Vollständigen Graphen (

aus Skriptum

)

Nach ein bißchen Herumprobieren hat man sich schnell überzeugt:

Der vollständige GraphK5und der vollständige bipartite GraphK3,3

sindnichtplanar (siehe dazu auch Korollar unten).

K5 K3,3

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Unterteilung

Definition: Unterteilung

Wenn man in einem GraphenGbeliebig oftKantendurch einen neuen Knotenunterteilt(d.h., aus der ursprünglichen Kante{v₁,v₂}werden zwei neue{v₁,v_neu},{v_neu,v₂}; alles andre bleibt unverändert), so nennt man das Ergebnis eineUnterteilung(englisch: Subdivision) vonG.

Klarerweise ist jede Unterteilung eines GraphenGgenau dann planar, wennGselbst planar ist.

(26)

Satz von Kuratowski

Ein Graph ist genau dann planar ist, wenn erkeineUnterteilung von K5oderK3,3als Teilgraph hat.

(27)

Planare Graphen: Fläche

Definition: Fläche

SeiGein zusammenhängender planarer Graph mit einer Einbettungµ in die EbeneR²:

Wenn diese Einbettung aus der Ebene entfernt wird (d.h., man betrachtetR²\µ(G)), bleibt eine endliche Menge von

zusammenhängenden “Stücken” über; eines davon ist unbeschränkt, alle anderen sindtopologisch äquivalentzu einer Kreisscheibe: Diese

“Stücke” werdenFlächengenannt.

(28)

Beispiel: Flächen (

aus Skriptum

)

Die folgende Graphik zeigt die Einbettung eines Graphs mit 8 Knoten und 12 Kanten; die Einbettung hat 6 Flächen (die unbeschränkte Fläche ist “alles außerhalb des äußeren Quadrats”).

(29)

Eulerscher Polyedersatz

SeiG(V,E) ein zusammenhängender planarer Graph, und sei eine Einbettung vonGin die Ebene mit genauF Flächen gegeben. Dann gilt:

|V| − |E|+F = 2. (1)

(30)

Eulerscher Polyedersatz: Beweis

Beweis: Wir zeigen die Behauptung mitInduktion nachn:=|E|. Ein zusammenhängenderGraph mitn= 0 Kanten hat 1 Knoten und 1 Fläche, die Aussage ist also fürn= 0 richtig.

Beim Induktionsschritt (n−1)→nunterscheiden wir zwei Fälle: Fall 1: Es gibt eine Kantee, sodaß der GraphG−enoch immer zusammenhängend ist. Dann hatG−enoch immer|V|Knoten, aber um eine Kante weniger (alson−1 Kanten) und um eine Fläche weniger (weil die beiden Flächen “links und rechts” vonezu einer Fläche verschmolzen sind) alsG.

Fall 2: Wenn es keine solche Kante gibt, istGein Baum, hat also

|E|+ 1 Knoten und eine Fläche.

(31)

Eulerscher Polyedersatz: Beweis

Beweis: Wir zeigen die Behauptung mitInduktion nachn:=|E|. Ein zusammenhängenderGraph mitn= 0 Kanten hat 1 Knoten und 1 Fläche, die Aussage ist also fürn= 0 richtig.

Beim Induktionsschritt (n−1)→nunterscheiden wir zwei Fälle:

Fall 1: Es gibt eine Kantee, sodaß der GraphG−enoch immer zusammenhängend ist. Dann hatG−enoch immer |V|Knoten, aber um eine Kante weniger (alson−1 Kanten) und um eine Fläche weniger (weil die beiden Flächen “links und rechts” vonezu einer Fläche verschmolzen sind) alsG.

Fall 2: Wenn es keine solche Kante gibt, istGein Baum, hat also

|E|+ 1 Knoten und eine Fläche.

(32)

K

₅

und K

₃,3

sind nicht planar

Korollar: K5undK3,3

Die GraphenK5undK3,3sind nicht planar.

(33)

K

₅

ist nicht planar

Beweis: K5hat 5 Knoten und 10 Kanten, eine Einbettung in die Ebene müßte nach (1) also 7 Flächen haben.

Jede Fläche wird aber von mindestens 3 Kanten begrenzt (denn wenn eine Fläche nur von einer bzw. nur von zwei Kanten begrenzt würde, hätten wir ja eine Schlinge bzw. eine mehrfache Kante), während jede Kante höchstens 2 Flächen begrenzt. Doppelte Abzählung³liefert für die AnzahlF der Flächen daher

3F ≤2|E| =⇒ F ≤ 10×2 3 = 62

3, ein Widerspruch.

3P

F|Kanten, dieFbegrenzen|=P

E|Flächen, dieEbegrenzt|.

(34)

K

₃,3

ist nicht planar

K3,3hat 6 Knoten und 9 Kanten, also müßte eine Einbettung in die Ebene nach (1) 5 Flächen haben.

Hier wird aber jede Fläche von mindestens 4 Kanten begrenzt, denn in einembipartitenGraphen gibt es keine geschlossene Wanderung ungerader Länge. Mit doppelter Abzählung wie zuvor erhalten wir also für die AnzahlF der Flächen

4F ≤2|E| =⇒ F ≤ 9×2 4 = 41

2,

ein Widerspruch.

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Überblick: Vorlesung

Einführung in die Grundbegriffe der Diskreten Mathematik

1 Einfache und abzählende Kombinatorik:

Stichproben, Permutationen, Partitionen

2 Erzeugende Funktionen, Lösen von Rekursionen

3 Das Prinzip der Inklusion und Exklusion,Suchen und Sortieren

4 Graphen und Netzwerke