Satz von Kleene

(1)

Kap. 2: Endliche Automaten endliche Automaten 2.2

Abschlusseigenschaften

Durchschnitt und Vereinigung (f¨ur DFA)

zu A₁ = Σ,Q⁽¹⁾,q₀⁽¹⁾, δ⁽¹⁾,A⁽¹⁾ A₂ = Σ,Q⁽²⁾,q₀⁽²⁾, δ⁽²⁾,A⁽²⁾ Produktautomat A= Σ,Q,q₀, δ,A

mit Q:=Q⁽¹⁾×Q⁽²⁾ q₀:= (q⁽¹⁾₀ ,q⁽²⁾₀ ) δ (q₁,q₂),a

:= δ⁽¹⁾(q₁,a), δ⁽²⁾(q₂,a) simuliertA₁/A₂ parallel in erster/zweiter Komponente A:=

( A⁽¹⁾×A⁽²⁾ f¨ur Durchschnitt (A⁽¹⁾×Q⁽²⁾)∪(Q⁽¹⁾×A⁽²⁾) f¨ur Vereinigung

FGdI I Sommer 2010 M Otto 61/136

Abschlusseigenschaften

Konkatenation (f¨ur NFA)

aus NFA A₁ = Σ,Q⁽¹⁾,q₀⁽¹⁾,∆⁽¹⁾,A⁽¹⁾ A₂ = Σ,Q⁽²⁾,q₀⁽²⁾,∆⁽²⁾,A⁽²⁾ mitQ⁽¹⁾∩Q⁽²⁾=∅ undq⁽¹⁾₀ 6∈A⁽¹⁾ (∗)

gewinneHintereinanderschaltungals NFA A= Σ,Q,q₀, δ,A Q :=Q⁽¹⁾∪Q⁽²⁾

q₀:=q₀⁽¹⁾ A:=A⁽²⁾

∆ := ∆⁽¹⁾∪∆⁽²⁾∪∆^(1)→(2)

∆^(1)→(2) :=

(q,a,q⁽²⁾₀ ) :q ∈Q⁽¹⁾,(q,a,q⁰)∈∆⁽¹⁾ f¨ur einq⁰ ∈A⁽¹⁾ (∗): was ist andernfalls zu tun?

Abschlusseigenschaften

Korollar 2.2.16

alle regulären Sprachen von NFA/DFA erkannt per Induktion über reguläre Ausdrücke zeige:

∀α∈REG(Σ)

L(α) Automaten-erkennbar Induktionsanfang: α=∅ undα=af¨ur a∈Σ.

L(∅) =∅ undL(a) ={a}Automaten-erkennbar. ( ¨Ubung!) Induktionsschritte: vonα₁, α₂ zu







α₁+α₂, α₁α₂, α₁^∗ wennL(α₁),L(α₂) Automaten-erkennbar sind, so auch







L(α₁+α₂) =L(α₁)∪L(α₂) L(α₁α₂) =L(α₁)·L(α₂) L(α₁^∗) = L(α₁)∗

Kap. 2: Endliche Automaten Kleene 2.3

Satz von Kleene

→ Abschnitt 2.3

Satz 2.3.1 (Kleene’s Theorem)

L regul¨ ar ⇔ L DFA/NFA-erkennbar

reguläre Ausdrücke — Automaten-Berechnung erzeugen (Sprache) — erkennen (Zugehörigkeit)

deskriptiv — prozedural Syntax — Semantik

(2)

Ubersicht ¨

regul¨are Σ-Sprachen NFA/DFA erkennbare Σ-Sprachen

L=L(α): α∈REG(Σ) L=L(A): Σ-NFA/DFAA L(∅) =∅,L(a) ={a}, . . . ∅,{a}, . . .

abgeschlossen unter abgeschlossen unter Vereinigung ∪ ja (triv)

Konkatenation · ja (triv) Stern-Operation ^∗ ja (triv)

Durchschnitt ∩ ?

Komplement ?

Vereinigung ∪ ja Konkatenation · ja Stern-Operation ^∗ ja Durchschnitt ∩ ja Komplement ja Satz von Kleene: dies sind alternative Beschreibungen

derselben Sprachklasse

DFA/NFA erkennbare Sprachen sind regul¨ ar

zum Beweis vom Satz von Kleene (Satz 2.3.1) Aufgabe: gewinne systematisch zu Σ-DFA/NFAA

regul¨aren Ausdruckα∈REG(Σ) mit L(α) =L(A) Idee: sukzessive Berechnung von α⁰ f¨ur HilfssprachenL⁰ so,

dass kompliziertere α⁰/L⁰ sich einfach aus einfacheren zusammensetzen

(algorithmisch vgl. Idee des dynamischen Programmierens) o.B.d.A. betrachte DFAA= (Σ,Q,q₀, δ,A) mit Q={1, . . . ,n}

zum Beweis vom Satz von Kleene

DFA A= Σ,Q,q₀, δ,A

Q ={1, . . . ,n}

zu 06k 6n und 16`,m6n sei L^k_`,m:=n

w ∈Σ^∗: Ahat Lauf von Zustand `nach Zustandm auf w ¨uber Zwischenzust¨andeq∈ {1, . . . ,k}

o

L⁰_`,m=

a∈Σ :δ(`,a) =m falls`6=m {ε} ∪

a∈Σ :δ(`,a) =` falls`=m (endlich) L^k+1_`,m =L^k_`,m

|{z}

(1)

∪ L^k_`,k+1

| {z }

(2)

·(L^k_k+1,k₊₁)^∗

| {z }

(3)

·L^k_k_+1,m

| {z }

(4)

(1) L¨aufe ohne Zustand k+ 1;

(2) L¨aufe von Zustand `zum erstenk+ 1;

(3) Schleifen durch Zustandk+ 1;

(4) L¨aufe vom letzten k+ 1 nach m.

Folgerungen aus dem Satz von Kleene

Korollar 2.3.2 die Klasse der regul¨aren Sprachen ist abgeschlossen unter allen Booleschen Operationen sowie Konkatenation und Stern alle Automaten-erkennbaren Sprachen lassen sich allein mit

• Vereinigung,

• Konkatenation und

• Stern

aus (einfachsten) endlichen Sprachen gewinnen

(3)

Kap. 2: Endliche Automaten Myhill–Nerode 2.4

wieviele Zust¨ ande sind notwendig?

→ Abschnitt 2.4 Zustandszahlen von DFA AmitL=L(A)

als Maß für Komplexität vonL Grundidee zu minimalemDFA für L:

jeder Zustand beschreibt notwendige Information

verschiedene Zust¨ande : notwendige Unterscheidungen Methode: betrachte induzierteAquivalenzrelationen¨ auf Σ^∗

∼_L zu gegebenemL w 6∼_Lw⁰: “notwendige Unterscheidung”

∼_A zu gegebenemA w 6∼_A w⁰: “verschiedene Berechnungen”

die ¨ Aquivalenzrelation ∼

_L L⊆Σ^∗ DFA A= (Σ,Q,q₀, δ,A)

∼_L zu L⊆Σ^∗:

w ∼

_L

w

⁰

gdw (∀x ∈ Σ

^∗

) (wx ∈ L ⇔ w

⁰

x ∈ L)

• ∼_L ist ¨Aquivalenzrelation auf Σ^∗: reflexiv,symmetrisch,transitiv

• ∼_L ist rechts-invariant: w ∼_Lw⁰ ⇒ wu ∼_Lw⁰u

•

L besteht aus ganzen ∼

_L

-¨ Aquivalenzklassen

die ¨ Aquivalenzrelation ∼

A

L⊆Σ^∗ DFAA= (Σ,Q,q₀, δ,A)

∼A zu DFA A= (Σ,Q,q₀, δ,A)

w ∼

A

w

⁰

gdw ˆ δ(q

₀

, w) = ˆ δ(q

₀

, w

⁰

)

• ∼_A ist ¨Aquivalenzrelation auf Σ^∗: reflexiv,symmetrisch,transitiv

• ∼A istrechts-invariant: w ∼Aw⁰ ⇒ wu ∼Aw⁰u

• ∼_A hat endlichen Index: index(∼_A)6|Q|.

∼

_L

und ∼

A Korollare 2.4.5/6

f¨ur L = L(A): ∼_A Verfeinerungvon ∼_L:

(∀w,w⁰ ∈Σ^∗)w ∼Aw⁰ ⇒ w ∼_Lw⁰

index(∼

L

) 6 index(∼

A

) 6 |Q|

Korollare aus dem Vergleich von ∼_L und ∼_A

• Lregul¨ar ⇒ ∼_L hat endlichen Index

• f¨ur regul¨aresL: jeder DFA, der Lerkennt, hat

mindestensindex(∼_L) viele Zust¨ande Ziel: Satz von Myhill-Nerode

• ∼_L hat endlichen Index ⇒ Lregul¨ar

• für reguläresL: ex. DFA mit index(∼_L) Zuständen fürL

(4)

Myhill–Nerode

→ Abschnitt 2.4.1

der ¨Aquivalenzklassen-Automat

Idee: assoziiere je einen Zustand mit jeder∼_L-¨Aquivalenzklasse und erhalte minimalen DFA, derL erkennt

[w] :={v ∈Σ^∗:v ∼_Lw} die ∼_L-¨Aquivalenzklasse vonw A= (Σ,Q,q₀, δ,A) Q := Σ^∗/∼_L

q₀ := [ε]

δ([w],a) := [wa] (wohldefiniert!) A:=

[w] :w ∈L

L=L(A) folgt aus: (∀w ∈Σ^∗)ˆδ(q₀,w) = [w] (Induktion!)

Satz von Myhill-Nerode

Satz 2.4.7

f¨urL⊆Σ^∗ sind ¨aquivalent:

(i) ∼_L hat endlichen Index.

(ii) List regul¨ar.

Korollar aus dem Beweis:

kleinste DFA für reguläreLmit genauindex(∼_L) vielen Zuständen Folgerung aus dem Satz:

L⊆Σ^∗ nicht-regul¨ar ⇔

es gibt eine Folge (w_n)_n∈_N in Σ^∗ mitw_n 6∼_Lw_m f¨ur n6=m Beispiel: L={aⁿbⁿ:n∈N} ⊆ {a,b}^∗ nicht regul¨ar

das syntaktische Monoid

→ Abschnitt 2.4.2 anstelle von∼_L betrachte die Verfeinerung ≈_L:

w ≈

L

w

⁰

gdw (∀x , y ∈ Σ

^∗

) (xwy ∈ L ⇔ xw

⁰

y ∈ L)

• ≈_L ist ¨Aquivalenzrelation auf Σ^∗

• ≈_L ist Verfeinerung von∼_L: w ≈_Lw⁰ ⇒ w ∼_Lw⁰ index(∼_L)6index(≈_L)

index(≈_L)6nⁿ wennL von DFA mitn Zust¨anden erkennbar

• ≈_L ist vertr¨aglich mit Konkatenation (Kongruenzrelation):

u≈_Lu⁰ undv ≈_Lv⁰ ⇒ uv ≈_Lu⁰v⁰ Σ^∗/≈_L,·,[ε]_≈_L

heisst syntaktisches Monoid zu L Σ^∗ −→ Σ^∗/≈_L

w 7−→ [w]_≈_L

ist Monoid-Homomorphismus

Minimalautomat f¨ ur regul¨ are Sprache

→ Abschnitt 2.4.3 L⊆Σ^∗ regul¨ar

⇒ der ¨Aquivalenzklassen-Automat zu∼_List

ein DFA mit minimaler Zustandszahl (=index(∼_L)) unter allen DFA, die Lakzeptieren

Satz (Lemma 2.4.13)

jederDFA mit index(∼_L) Zust¨anden, der Lerkennt, ist isomorph zum ¨Aquivalenzklassen-Automat zu∼_L

Aquivalenzklassen-Automat zu¨ ∼_L : der Minimalautomat zuL

(5)

Minimierung eines gegebenen DFA

wie kann man redundante Zust¨ande erkennen/eliminieren?

• zun¨achst eliminiere alle nicht erreichbaren Zust¨ande

• dann: q 6∼q⁰ wesentlich verschieden, wenn

f¨ur einx ∈Σ^∗ nicht(ˆδ(q,x)∈A)↔(ˆδ(q⁰,x)∈A)

• Zusammenfassung von ∼-Klassen von Zust¨anden liefert minimierten DFA, isomorph zum Minimalautomat algorithmisch: induktive Verfeinerung

Tests f¨urx der L¨angei= 0,1, . . . q 6∼₀ q⁰ gdw. nicht(q ∈A)⇔(q⁰∈A)

q 6∼_i+1 q⁰ gdw. q6∼_i q⁰ oder (∃a∈Σ)δ(q,a)6∼_i δ(q⁰,a) sobald∼_i+1=∼_i (=:∼), fasse Zust¨ande in ∼-Klassen zusammen

Kap. 2: Endliche Automaten pumping lemma 2.5

Das “pumping lemma”

→ Abschnitt 2.5

Pumping Lemma (Lemma 2.5.2)

L⊆Σ^∗ regul¨ar ⇒

existiertn∈Nsodass sich jedesx ∈Lmit|x|>n zerlegen l¨asst in x =uvw,v 6=ε,|uv|6n und f¨ur allem∈N

u·v^m·w =u·v· · ·v

| {z }

mmal

·w ∈L

Beweis: L=L(A), DFAA= (Σ,Q,q₀, δ,A), n:=|Q|

|x|>n: existiert Zustandswiederholungq_i =q_j =q im Lauf auf x: x = a₁ . . . a_i a_i+1 . . . a_j a_j₊₁ . . . a_`

| {z }

u | {z }

v

l¨asst sich pumpen

| {z }

w

↑ q₀

↑ q

Kap. 2: Endliche Automaten pumping lemma 2.5

Beispiele nicht-regul¨ arer Sprachen

L={aⁿbⁿ:n∈N} f¨ura,b ∈Σ,a6=b

L={w ∈ {(,)}^∗:w korrekte Klammerschachtelung } Palindrom={w ∈Σ^∗:w =w⁻¹} f¨ur|Σ|>2

L={u#v#w:u,v,w ∈ {0,1}^∗,u+v =w (bin¨are Addition)} Nachweis: Pumping Lemma!

Kap. 2: Endliche Automaten Effektivit¨at 2.6

Algorithmische Entscheidungsprobleme

→ Abschnitt 2.6 Entscheidungsproblem (ja/nein Problem)

spezifiert durch

• Menge von zugelassenen Eingaben x ∈I (Instanzen)

• Teilmenge D⊆I der positiven Instanzen (Antwort “ja”) d.h.: wohldefinierte ja/nein Antwort f¨ur allex ∈I

****

**

D

“ja”

I I\D

“nein”

Entscheidungsproblem:

gegebenx ∈I entscheide, ob x ∈D

(6)

Entscheidungsprobleme f¨ ur regul¨ are Sprachen

Beispiele Wortproblem zu SpracheL⊆Σ^∗:

f¨ur w ∈Σ^∗ entscheide obw ∈L I = Σ^∗,D =L

Leerheitsproblem:

f¨ur DFAA entscheide obL(A) =∅ I ={A:A DFA},D ={A:L(A) =∅}

analog mit I =REG(Σ)

Sprachgleichheit/Automaten¨aquivalenz:

f¨ur α, β∈REG(Σ) entscheide ob L(α) =L(β) I = REG(Σ)2

,D ={(α, β)∈(REG(Σ))²:L(α) =L(β)}

analog f¨ur DFA/NFA

das Wichtigste aus Kapitel 2

regul¨are Sprachen

REG DFA NFA

Abschlusseigenschaften / Automatenkonstruktionen Satz von Kleene

Satz von Myhill-Nerode

Pumping Lemma f¨ur regul¨are Sprachen Minimalautomat

Kapitel 3: Grammatiken

Chomsky Hierarchie: Komplexit¨ atsniveaus f¨ ur formale Sprachen

Noam Chomsky (geb. 1928)

Kap. 3: Grammatiken Grammatiken 3.1

Grammatiken

→ Abschnitt 3.1

Idee: Spezifikation einer Sprache durch Erzeugungsprozess G = Σ,V,P,X₀

Σ Terminalalphabet,

V endliche Menge vonVariablen,V ∩Σ =∅ X₀ ∈V Startvariable/Startsymbol

P endliche Menge vonProduktionen/Regeln P ⊆(V ∪Σ)⁺×(V ∪Σ)^∗

(v,v⁰)∈P eine Produktion/Regel vonG

Regel

v → v

⁰

linke Seite: v ∈(V ∪Σ)⁺= (V ∪Σ)^∗\ {ε}

rechte Seite: v⁰ ∈(V ∪Σ)^∗ erlaubt in (V ∪Σ)-W¨ortern

Ersetzung von v durch v⁰ Ubergang von¨ uvw nachuv⁰w