Komplexes Kurvenintegral

Komplexes Kurvenintegral

F¨ ur einen stetig differenzierbaren Weg

C : t 7→ z (t), t ∈ [a, b] , in der komplexen Ebene bezeichnet man

Z

C

f dz =

b

Z

a

f (z(t ))z ⁰ (t ) dt

als komplexes Kurvenintegral.

Die Definition ist bei gleichbleibender Orientierung unabh¨ angig von der gew¨ ahlten Parametrisierung des Weges C .

Bei Umkehrung der Durchlaufrichtung ¨ andert sich das Vorzeichen des Integrals.

Komplexes Kurvenintegral 1-1

Beweis:

Umparametrisierung t 7→ s mit ds/dt > 0:

z(t ), t ∈ [a, b] ↔ z(s), ˜ s ∈ [c , d ] Variablensubstitution im Kurvenintegral

Z

C

f (z ) dz =

b

Z

a

f (z(t ))z ⁰ (t) dt =

b

Z

a

f (˜ z(s(t))) d

dt z ˜ (s (t)) dt

=

b

Z

a

f (˜ z(s (t)))˜ z ⁰ (s(t))s ⁰ (t ) dt =

d

Z

c

f (˜ z (s))˜ z ⁰ (s ) ds

= Z

C

f (˜ z) d z ˜

keine Ver¨ anderung bei orientierungserhaltenden Umparametrisierungen

Vorzeichen¨ anderung bei Vertauschung der Grenzen (Umkehrung des

Durchlaufsinns)

Beispiel:

integriere f (z ) = z ¨ uber die geradlinige Verbindung C : z (t) = (1 − t)p + tq, t ∈ [0, 1] , zweier Punkte p und q

Z

C

f dz =

1

Z

0

(p + t(q − p )) (q − p )

| {z }

z

(t)

dt

=

1

Z

0

p(q − p) + t (q − p) ² dt

= pq − p ² + (q − p) ² /2 = q ² /2 − p ² /2

Komplexes Kurvenintegral 3-1

Beispiel:

Kurvenintegral ¨ uber den Kreis

C : z(t) = re ^it , t ∈ [0, 2π]

z ⁰ (t ) = ire ^it = iz , dz = iz dt f (z ) = 1/z :

Z

C

f dz =

2π

Z

0

1

r e ^it ire ^it dt = i

2π

Z

0

1 dt = 2πi

f (z ) = z ⁿ , n 6= −1:

Z

C

f dz =

2π

Z

0

r e ^it n

ire ^it dt = ir ⁿ⁺¹

2π

Z

0

e ^i(n+1)t dt

= ir ⁿ⁺¹ 1

i(n + 1) e ^i(n+1)t 2π

0

= 0

Eigenschaften des komplexen Kurvenintegrals

Das komplexe Kurvenintegral ist linear bez¨ uglich des Integranden, d.h.

Z

C

f + g dz = Z

C

f dz + Z

C

g dz .

Dar¨ uber hinaus ist R

. . . dz additiv bez¨ uglich des Integrationsweges. Setzt sich ein (orientierter) Weg C aus zwei Wegen C 1 und C 2 zusammen, C = C 1 + C 2 , so gilt

Z

C

f dz = Z

C

f dz + Z

C

f dz .

Insbesondere ist R

C

f dz = − R

−C

f dz, wobei −C den in entgegengesetzter Richtung durchlaufenen Weg C bezeichnet.

Komplexes Kurvenintegral 5-1

Beispiel:

Kurvenintegral der Funktion f (z ) = √

z entlang des skizzierten Weges

1 1

Re z Im z

C

C

C

0

Additivit¨ at Z

C

√ z dz = Z

C

. . . dz + Z

C

. . . dz + Z

C

. . . dz

C ₁ : t 7→ z (t) = t, 0 ≤ t ≤ 1, dz = dt

1

Z

0

√ t dt = 2

3 t ^3/2 1

0

= 2 3 C ₂ : t 7→ z (t) = e ^it , 0 ≤ t ≤ ^π ₂ , dz = ie ^it dt

π/2

Z

0

e ^it/2 ie ^it dt =

π/2

Z

0

ie ^3it/2 dt = 2

3 e ^3it/2 π/2

0

= 2

3 e ^3iπ/4 − 2 3 C ₃ : t 7→ z (t) = i − ti, 0 ≤ t ≤ 1, dz = −i dt

1

Z

0

p i(1 − t) (−i) dt =

1

Z

0

−ie ^iπ/4 √

1 − t dt =

1

Z

0

−e ^iπ/2 e ^iπ/4 √

1 − t dt

= 2

3 e ^3iπ/4 (1 − t) ^3/2 1

0

= − 2 3 e ^3iπ/4

Komplexes Kurvenintegral 6-2

gesamtes Kurvenintegral:

Z

C

√ z dz = 2 3 +

2

3 e ^3iπ/4 − 2 3

− 2

3 e ^3iπ/4 = 0