BTU Cottbus
Lehrstuhl Numerische Mathematik und Wissenschaftliches Rechnen
Prof. Dr. G. Bader, F. Kemm, F. Rieper
Lineare Algebra und Analytische Geometrie I
Aufgaben zur Abgabe am (keine Abgabe) www.math.tu-cottbus.de/˜kemm/lehre/la1
1. Sei n ∈ N und K ein K¨orper. Zeigen Sie: Kn(Kn,K) ist mit −xy→ := y − x ein n-dimensionaler affiner Raum.
2. Im affinen Raum R4(R4,R) seien die zweidimensionalen affinen Unterr¨aume L2 und M2 gegeben. Welche gegenseitige Lage k¨onnen L2 und M2 annehmen, und welche Dimension haben in den einzelnen F¨allen Schnitt und Verbindung von L2 und M2?
Hinweis:
Stellen SieL2undM2jeweils als Schnitt von Hyperebenen dar und diese wiederum durch das zugeh¨orige lineare Gleichungssystem.
3. Im affinen Raum R4(R4,R) seien zwei affine Unterr¨aume gegeben durch L1 ={x|x= (2,1,0,3)T +s·(1,0,1,0)T, s∈R},
M2 ={x|x= (1,2,−3,3)T +t1·(2,0,−1,1)T + (1,0,0,1)T, t1, t2 ∈R}. Zeigen Sie, dass L1 und M2 nicht parallel sind und keinen gemeinsamen Punkt besitzen.
4. Im affinen Raum Rn(Rn,R) seien Ln−1 und Mn−1 zwei Hyperebenen mit minde- stens einem gemeinsamen Punkt. Zeigen Sie:
dim Ln−1∩Mn−1
≥n−2.
5. Sehr lehrreich und eine gute Klausurvorbereitung:
Durch den zwischenzeitlich dazugekommenen Stoff ergeben sich f¨ur manche Auf- gaben dieses Semesters neue L¨osungsm¨oglichkeiten. Finden Sie die entsprechenden Aufgaben heraus, und l¨osen Sie diese mit den neu erlernten Methoden.
