BTU Cottbus
Lehrstuhl Numerische Mathematik und Wissenschaftliches Rechnen
Prof. Dr. G. Bader, F. Kemm, F. Rieper
Lineare Algebra und Analytische Geometrie I
Aufgaben zur Abgabe am 11.11.2005 www.math.tu-cottbus.de/˜kemm/lehre/la1
1. (7 Punkte)
Uber dem K¨¨ orper der reellen Zahlen seien die folgenden Matrizen gegeben:
A=
1 2 3 4 5
, B =
a b c d
1 2 3 4
1 1/2 1/3 1/4
2 2 4 4
1 1 3 3
, C =
1/a 1 0 2/b 1 0 3/c 0 1 4/d 0 1/2
,
D=
5 4 3 2 1 1 2 3 4 5
, E = 1 1 1
, F = 1 1/2
mit a, b, c, d∈R\ {0}. Bilden Sie die folgenden Produkte:
ATA , AATB , AB , BA , DB , DA , ATBCET , EA , F AD , EET , ETE , AF .
W¨ahlen Sie bei Produkten von mehr als zwei Matrizen die Klammerung, welche die wenigsten Einzeloperationen auf Komponenten der Matrizen erfordert.
2. (5 Punkte)
Uber dem K¨¨ orper der komplexen Zahlen seien die folgenden Matrizen gegeben:
A =
1 +i 2−i
3
, B =
a 1 1 i a 1 i i a
, C = 1−i 2 +i 3
mit einer komplexen Zahl a. Bilden Sie die folgenden Produkte:
AC , ACB , CA , CBA .
W¨ahlen Sie bei Produkten von mehr als zwei Matrizen die Klammerung, welche die wenigsten Einzeloperationen auf Komponenten der Matrizen erfordert.
3. (5 Punkte)
Uber dem K¨¨ orper K seien die Matrizen A und B gegeben durch
A=
1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1
, B =
1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1
.
a) Berechnen SieA2 und A3 jeweils f¨urK=F2,K=F3 und K=Q. b) Berechnen Sie f¨urK=F2 die ProdukteAB und BA.
4. (3 Punkte)
Sei K ein K¨orper, n eine nat¨urliche Zahl und A= (aij)∈MK(n, n) mit aij = 0 ∀i, j mit 1≤i≤j ≤n .
a) Skizzieren Sie die MatrixA.
b) Zeigen Sie, dass An die Nullmatrix ist.
