Zyklische Matrizen

Zyklische Matrizen

Bei einer zyklischen n×n-Matrix werden die Spalten durch zyklisches Verschieben der ersten Spalte gebildet:

C =











a₀ an−1 an−2 . . .

a1 a0 an−1 . . .

a2 a1 a0 . . .

... ... ...











, d.h.c_j,k =a_j−kmodn.

Die zyklische Struktur bleibt bei Transposition, Multiplikation und Invertierung erhalten.

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Beweis

(i) Transposition: X (ii) Produkt:

Q =CD, ci,j =ai−jmodn, di,j =bi−jmodn =⇒ q_i,k =

n

X

j=1

a_i−jmodnb_j−kmodn

Substitution j =j⁰+k q_i,k =

n−k

X

j⁰=1−k

a_(i−k)−j⁰_modnb_j⁰_modn

Modulo-Arithmetik =⇒ Invarianz der Summanden bei Ersetzen von j⁰ durch j⁰±n

Anderung des Summationsbereiches¨

{1−k, . . . ,0,1, . . . ,n−k} → {n+ 1−k, . . . ,n,1, . . . ,n−k}

= {1, . . . ,n}

=⇒ qi,k h¨angt nur von (i −k) modn ab, d.h. Q ist zyklisch:

q_i,k =pi−kmodn

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(iii) Inverse:

D =C⁻¹,c_j,k =aj−kmodn

F¨ur die erste Zeile (b₀,bn−1, . . . ,b₁) von D gilt wegen E =DC

δ1,`=

n

X

k=1

b1−kmodnak−`modn

zeige di,k =bi−kmodn:

w¨ahle dazu`=j −i+ 1 modn, substituierek⁰ =k+i−1 und erhalte

δi,j =δ1,j−i+1 modn =

n

X

k=1

b1−kmodnak−j+i−1 modn

=

i+n−1

X

k⁰=i

bi−k⁰modnak⁰−jmodn

Verschiebung des Summationsbereiches, {i, . . . ,i+n−1} → {1, . . . ,n}

=⇒ d_i,k =b_i−kmodn erf¨ullt E =DC und ist somit inverse Matrix

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Beispiel

ProduktCD und Inverse C⁻¹ f¨ur die zyklischen Matrizen

C =





0 2 −1

−1 0 2

2 −1 0



 , D =





3 5 4 4 3 5 5 4 3





Produkt:

CD =





3 2 7 7 3 2 2 7 3





Inverse:

C⁻¹= 1 7





2 1 4 4 2 1 1 4 2





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