BTU Cottbus

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Lehrstuhl Numerische Mathematik und Wissenschaftliches Rechnen

Prof. Dr. G. Bader, F. Kemm, F. Rieper

Lineare Algebra und Analytische Geometrie I

Aufgaben zur Abgabe am 09.12.2005 www.math.tu-cottbus.de/˜kemm/lehre/la1

1. (5 Punkte) Welche der folgenden Mengen sind lineare Unterr¨aume?

a) A={(x₁, x2, x3)∈R³|x1 =x2 = 2x3} ⊂R³ b) B ={(x₁, x₂)∈R²|x²₁+x⁴₂ = 0} ⊂R²

c) C ={(µ+λ, λ²)∈R²|µ, λ∈R} ⊂R²

d) D={(x₁, x₂, x₃, x₄)∈R⁴|x₁+x₂+x₃ = 0, x₂+x₃+x₄ = 0} ⊂R⁴ e) E ={(x₁, x₂, x₃, x₄)∈R⁴|x₁+x₂ = 0, x₂+x₃ = 1, x₃+x₄ = 2} ⊂R⁴ 2. (5 Punkte)

a) Untersuchen Sie, welche der folgenden Mengen reeller Folgen bez¨uglich der gliedweisen Addition und ¨außeren Multiplikation Vektorr¨aume ¨uberRbilden:

i. Die Menge c₁ aller Folgen, die gegen Eins konvergieren.

ii. Die Menge c0 aller Folgen, die gegen Null konvergieren.

iii. Die Menge A:=

(a_n)n∈N|a_n ∈ {0,1} ∀n∈N aller Null-Eins-Folgen.

iv. Die Menge caller konvergenten Folgen.

v. Die Mengel^∞ :=

(a_n)n∈N| ∃M >0 : |a_n| ≤M∀n∈N aller beschr¨ank- ten Folgen.

b) Untersuchen Sie welche dieser Mengen durch Hinzunahme der gliedweisen Multiplikation zu einer Algebra werden.

3. (4 Punkte) Es seien V₁ und V₂ Vektorr¨aume ¨uber dem K¨orper K. Weiter sei P :={(~x₁, ~x₂)|~x₁ ∈V₁, ~x₂ ∈V₂}.

Zeigen Sie, dassP mit den Verkn¨upfungen, definiert durch

(~x1, ~x2) + (y1, y2) := (~x1+y1, ~x2+y2) ∀(~x1, ~x2),(y1, y2)∈P , λ(~x₁, ~x₂) := (λ ~x₁, λ ~x₂) ∀λ ∈K, (~x₁, ~x₂)∈P , einen Vektorraum ¨uber Kbildet.

4. (4 Punkte)

Sei V ein Vektorraum ¨uberK und U₁, U₂ <V Untervektorr¨aume von V mit V =U₁∪U₂

Zeigen Sie, dass dann gilt:

U₁ =V oder U₂ =V .