Geben Sie zu beiden in den Bil- dern graphisch gegebenen Zer- legungen die Daten wie in der vorigen Aufgabe an

HTWK Leipzig, Fakultät IMN

Prof. Dr. Sibylle Schwarz sibylle.schwarz@htwk-leipzig.de

3. Übung zur Vorlesung „Algorithmische Geometrie“

Sommersemester 2014 gestellt am 13. Mai 2014

Repräsentation von Zerlegungen: je ein (endliches) Array von Ecken: V mit Datenstruktur fürv∈V:

Koordinaten: (v_x, v_y)∈R²

Kante: (Verweis auf) eine (beliebige) Halbkantee∈E mit Ursprung(e)=v Halbkanten: E mit Datenstruktur füre∈E:

Ursprung: (Verweis auf) Eckev∈V Partner: (Verweis auf) Halbkantee⁰∈E

mit Ziel vone= Ursprung(e⁰) und Ziel vone⁰ = Ursprung(e) Fläche: (Verweis auf) Flächef ∈F links vone

Next: (Verweis auf) Halbkantee⁰ ∈E

mit Ursprung(Partner(e))=Ursprung(e⁰) und Fläche(e⁰) =Fläche(e) Prev: (Verweis auf) Halbkantee⁰∈E

mit Ursprung(Partner(e⁰))=Ursprung(e) und Fläche(e⁰) =Fläche(e) Flächen: F mit Datenstruktur fürf ∈F:

Außen: (Verweis auf) eine (beliebige) Halbkantee∈E mit Fläche(e) =f Innen: Liste von (Verweisen auf beliebige) Halbkantene∈E,

welche für jede Flächef⁰innerhalbf genau eine Halbkante mit Fläche(Partner(e)) =f⁰enthält (Repräsentation aller Löcher in der Flächef)

Aufgabe 3.1:

Stellen Sie die folgende Zerlegung graphisch dar:

Ecke Koordinaten Kante v1 (0,0) e1,2

v₂ (4,0) e_2,2 v3 (4,6) e3,2

v₄ (0,6) e_4,2 v5 (0,3) e5,2

v6 (1,1) e8,2

v7 (1,2) e9,2

v8 (2,1) e7,2

v9 (2,2) e10,2

v10 (3,2) e11,2

v₁₁ (3,3) e_12,2

Fläche Außen Innen

f₁ e_6,1 ⊥

f2 e6,2 [e7,2, e12,2]

f₃ e_8,1 ⊥

f4 e10,1 ⊥

f₅ ⊥ [e_1,2]

Halbkante Ursprung Partner Fläche Next Prev

e_1,1 v₂ e_1,2 f₂ e_5,1 e_2,1

e1,2 v1 e1,1 f5 e2,2 e5,2

e2,1 v3 e2,2 f2 e1,1 e6,2

e2,2 v2 e2,1 f5 e3,2 e1,2

e3,1 v4 e3,2 f1 e6,1 e4,1

e_3,2 v₃ e_3,1 f₅ e_4,2 e_2,2

e4,1 v5 e4,2 f1 e3,1 e6,1

e_4,2 v₄ e_4,1 f₅ e_5,2 e_3,2

e5,1 v1 e5,2 f2 e6,2 e1,1

e_5,2 v₅ e_5,1 f₅ e_1,2 e_4,2

e6,1 v3 e6,2 f1 e4,1 e3,1

e_6,2 v₅ e_6,1 f₂ e_2,1 e_5,1

e7,1 v7 e7,2 f3 e8,1 e9,1

e_7,2 v₈ e_7,1 f₂ e_9,2 e_8,2

e8,1 v8 e8,2 f3 e9,1 e7,1

e_8,2 v₆ e_8,1 f₂ e_7,2 e_9,2

e9,1 v6 e9,2 f3 e7,1 e8,1

e9,2 v7 e9,1 f2 e8,2 e7,2

e10,1 v10 e10,2 f4 e12,1 e11,1

e10,2 v9 e10,1 f2 e11,2 e12,2

e11,1 v11 e11,2 f4 e10,1 e12,1

e11,2 v10 e11,1 f2 e12,2 e10,2

e_12,1 v₉ e_12,2 f₄ e_11,1 e_10,1 e12,2 v11 e12,1 f2 e10,2 e11,2

Aufgabe 3.2:

a. Geben Sie zu beiden in den Bil- dern graphisch gegebenen Zer- legungen die Daten wie in der vorigen Aufgabe an.

b. Geben Sie die Daten der Zerle- gung an, welche durch Überla- gerung beider Zerlegungen ent- steht.

Aufgabe 3.3:

Welche der folgenden Aussagen gelten in jeder Zerlegung für jede Halbkante:

a. Partner(Partner(e))=e b. Next(Prev(e))=e

c. Partner(Prev(Partner(e)))=Next(e) d. Fläche(e)=Fläche(Next(e))

e. Fläche(e)6=Fläche(Partner(e))

Geben Sie für Ihre negativen Antworten Gegenbeispiele an.

Aufgabe 3.4:

Geben Sie den Schnitt der durch die Eckenfolgen P = [(0,5),(6,8),(3,2)]

Q = [(1,5),(4,8),(4,3),(3,1)]

definierten Polygone an:

a. als Schnitt von Halbebenen h

(durch Angabe der Koeffizienten(a, b, c)inh={(x, y)∈R²|ax+bx+c≤0}), b. graphisch,

c. als Folge der Ecken des Randes des PolygonsP∩Q, d. als Zerlegung des R².

Geben Sie dabei auch die Zwischenergebnisse bei der Ausführung des in der Vorlesung vorgestellten O(n)-Algorithmus zur Lösung dieser Aufgabe an.

Aufgabe 3.5:

Bestimmen Sie den Schnitt der Menge von Halbebenen

H ={(−1,1,−5),(−1,0,0)(1,4,−45),(2,1,−27),(3,−4,−24),(0,−1,0),(1,0,−13)}

mit dem in der Vorlesung vorgestellten Algorithmus und stellen Sie das Ergebnis wie folgt dar:

a. graphisch,

b. als Folge der Ecken des Randes des PolygonsP =T

h∈Hh,

c. als Zerlegung desR².

Geben Sie dabei auch die Zwischenergebnisse bei der Ausführung des in der Vorlesung vorgestellten Divide-and-Conquer-Algorithmus zur Lösung dieser Aufgabe an.

Jedes Tripel(a, b, c)∈H repräsentiert die Halbebene{(x, y)∈R²|ax+by+c≤0}.

Übungsaufgaben, Folien und weitere Hinweise zur Vorlesung finden Sie online unter http://www.imn.htwk-leipzig.de/~schwarz/lehre/ss14/ag