Aufgabe 1.2: Normen

Universit¨at Heidelberg G. Kanschat, S. Meggendorfer

Abgabe:30.04.2019

Ubung Nr. 1 ¨

zur Vorlesung Einf ¨uhrung in die Numerik, Sommer 2019 Aufgabe 1.1: gewichtetes Skalarprodukt

(a) Zeigen Sie, dass die MengeC⁰([a, b])aller stetigen Funktionen auf dem abgeschlossenen Intervall[a, b], mita, b ∈R unda < b, einen Vektorraum ¨uberRbilden.

(b) Zeigen Sie, dass f¨ur allep, q∈C⁰([−1,1])

hp, qi= Z 1

−1

ω(x)p(x)q(x)dx

mit einer positiven Gewichtsfunktionω∈C⁰([−1,1])ein Skalarprodukt ist auf dem reellen VektorraumC⁰([−1,1]).

Aufgabe 1.2: Normen

(a) SeiV ein reeller Vektorraum mit Skalarprodukth·,·i. Beweisen Sie, dass die induzierte Norm kuk=p

hu, ui

tats¨achlich eine Norm ist.

(b) Seik · keine beliebige Norm aufRⁿ. Zeigen Sie f¨ur allex, y∈Rⁿdie sogenannte “umgekehrte Dreiecksungleichung”

kxk − kyk

≤ kx−yk

und folgern Sie, dassk · k:Rⁿ→Reine stetige Abbildung ist. (Hinweis:| · |stellt den Betrag inRdar.)

(c) Zeigen Sie, dass inRⁿ die Maximumsnorm kxkmax = max_1≤i≤n|xi| ¨aquivalent ist zur euklidischen Normkxk2 = pPn

i=1|xi|², d.h. es existieren Konstantenc, C >0, so dass

ckxk2≤ kxkmax≤Ckxk2 ∀x∈Rⁿ. Veranschaulichen Sie das Verhalten der beiden Normen durch Zeichnen der Mengen

x∈R²:kxk= 1 , f¨urk · k = k · k_maxundk · k=k · k₂, und leiten Sie geometrisch die optimalen Konstanten ab.

Aufgabe 1.3: induzierte Normen

Auf einem endlichdimensionalen VektorraumV seik · k=p

h·,·ieine durch das Skalarprodukth·,·iinduzierte Norm. Zeigen Sie (nat¨urlich ohne die entsprechenden Lemmas aus der Vorlesung zu benutzen):

(a) F¨ur alleu, v∈V gilt die Parallelogrammidentit¨at

ku−vk²+ku+vk²= 2 kuk²+kvk² .

(b) F¨ur alleu, v∈V mitu⊥vgilt der Satz von Pythagoras

ku+vk²=kuk²+kvk².

(Hinweis:⊥bedeutet orthogonal bzgl.h·,·i)

(c) SeiS⊂V eine Orthonormalbasis vonV. Dann gilt f¨ur alleu∈V die Parsevalsche Gleichung kuk²=X

s∈S

hu, si

2.

Aufgabe 1.4: Bestapproximation

Beweisen Sie den Bestapproximations-Satz aus der Vorlesung geometrisch, indem Sie zeigen, dass kek ≤ ke+vk ∀v∈W ⇔ e⊥v ∀v∈W.

Dabei seiV reeller Vektorraum undW Unterraum. Zum Beweis von “⇒” benutzen Sie ein Widerspruchsargument und gehen wie folgt vor:

(i) Nehmen Sie an, dasse∈V Minimum ist.

(ii) Schreiben Sieealse=e_⊥+w, wobeihe_⊥, vi= 0∀v∈W und06=w∈W. (iii) Folgern Sie, dasske_⊥k ≤ kek.

(iv) Warum ist das ein Widerspruch?