Theoretische Physik III - Quantenmechanik (SS 2011) -
Geschmacksprobe zur Klausurvorbereitung Ausgabe 22.07.11 – Abgabe - – Besprechung n.V.
. Aufgabe 1 (Verst¨andnisfragen)
(a) Gegeben ein Massenpunkt im Zustand ψ(~x, t). Was ist die physikalische Bedeutung von ψ(~x, t)?
(b) Termschema Wasserstoff (nur Grobstruktur)?
(c) Wie lautet f¨ur gegebenes ψ(~x, t) die Wellenfunktion in der Impulsdarstellung?
(d) Wie lautet die Heisenberg’sche Unsch¨arferelation f¨ur Ort und Impuls und was ist ihre Interpretation? Und wie siehts eigentlich mit der legend¨aren “Energie-Zeit” Unsch¨arfe aus?
(e) Unter welchen Bedingungen qualifiziert sich eine Observable ˆA als Erhaltungsgr¨oße?
(f) Gegeben eine Wellenfunktionψ(~x(1), ~x(2), t) zweier unterscheidbarer Teilchen. Welche Bedeutung hat der Ausdruck |ψ(~a,~b)|2d3x(1)d3x(2)? Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet man im Gebiet G⊂R3 mindestens ein Teilchen?
. Aufgabe 2 (Kopplung)
Vielleicht mal `= 2 mit s= 12 koppeln?
. Aufgabe 3 (Spin-Polaristation) Ein Spin-12 sei im Zustand
|ψi= 1
√2| ↑zi+ 1 +i
2 | ↓zi (1)
pr¨apariert.
(a) Berechnen Sie die Erwartungswerte und Unsch¨arfen der Pauli-Spinkomponenten ˆσx, ˆ
σy und ˆσz.
(b) Wie muss ein Stern-Gerlach r¨aumlich orientiert werden, damit bei der Messung immer nur der obere Kanal anspricht? Anders gefragt: wie ist der Spin polarisiert?
. Aufgabe 4 (Ritz Wandpendel)
Ein Teilchen der Masse m befinde sich im Potential V(x) =
k
2x2 f¨ur x≥0
∞ f¨ur x <0 f >0. (2)
Der Hamiltonoperator des Systems liest sich (Ortsdarstellung) Hˆ =−~2
2m d2
dx2 +V(x) (3)
c
Martin Wilkens 1 22. Juli 2011
Ubungen Quantenmechanik SS 2011 – Geschmacksprobe¨
(a) Bestimmen Sie mittels Variationsverfahren unter Verwendung der Variationsfunktio- nenschar {ψκ(x) =xe−κx|x∈ R+0, κ∈R+} eine obere Grenze f¨ur die Grundzustand- senergie des Systems.
Hinweis: Nutzen Sie gegebenenfalls die Formel R∞
0 dxxne−cx = cn+1n! , c >0, f¨ur deren Beweis wir einen Extrapunkt spendieren.
(b) Geben Sie Gr¨unde warum die Variationsfunktionen f¨ur die Problemstellung geeigent erscheinen.
(c) Das Problem ist exakt diagonalisierbar. Zeigen Sie En = 2n+32
~ω mit ω = qk
m. Wie vergleicht sich die exakte Grundzustandsenergie mit dem Resultat des Variati- onsverfahrens?
(d) Geben Sie ein physikalisches System an, das durch den Hamiltonoperator modelliert wird.
. Aufgabe 5 (St¨orungstheorie) (10 Punkte)
Gegeben sei ein schwach gest¨ortes Zwei-Niveau System Hˆ = ~ω0
2 σˆx+~ε
2 σˆz (4)
wobei ˆσx,z Pauli-Matrizen ˆ σx =
0 1 1 0
, σˆz =
1 0 0 −1
, (5)
(a) Was sind die station¨aren Zust¨ande und Energiewerte des ungest¨orten Problems (ε= 0)?
(b) Berechnen Sie die station¨aren Zust¨ande und Energiewerte in f¨uhrender Ordnung St¨orungstheorie
(b.1) im Falleεω0.
(b.2) im Falleω0 = 0 (bzw ε ω0).
Hinweis: F¨ur (b.1) ist die nichtentartete St¨orungstheorie zust¨andig, f¨ur (b.2) die ent- artete St¨orungstheorie – warum?
(c) F¨uhren Sie nun eine exakte Diagonalisierung des Hamiltonoperators (4) durch und vergleichen das Resultat mit (b).
c
Martin Wilkens 2 22. Juli 2011
