Duale Simplextransformation
Voraussetzung: (I. A. unzulässige) Anfangsbasislösung bekannt, aber cj ≥0 für alle j = 1, 2, ... , n 1. Optimalitätstest: Gibt es noch negative rechte Seiten (bi <0) im Simplextableau?
Falls Nein: Optimalitätskriterium erfüllt, Optimallösung: BV = rechte Seite, NBV = 0, Optimalwert = -d ablesen Falls Ja: Basislösung noch unzulässig, gehe zu 2.
2. Wähle eine Koeffizientenzeile (Pivotzeile) Nr. i* mit negativer rechter Seite (bi*<0), die wenigstens ein negatives Element ai*j <0 hat (gibt es keine solche Zeile, so ist der zulässige Bereich leer, also existiert gar keine zulässige und damit erst recht keine optimale Lösung).
3. Bestimme eine Koeffizientenspalte (Pivotspalte) Nr. j* folgendermaßen: Bilde für alle negativen Pivotzeilenelemente den Quotienten aus dem Zielfunktionskoeffizienten und dem Betrag des Pivotspaltenelements
j i
j
a c
*
und wähle unter diesen einen kleinsten, also
j i
j j a
i j
a c a
c
j
i 0 *
*
*
*
*
Min<
= . Der
Koeffizient in Pivotspalte und Pivotzeile ist das Pivotelement.
ξm+1 ... ξj* ... ξm+n
ξ1 a11 ... a1j* ... a1n b1
... ... ... ...
ξi* ai*1 ... ai*j* ... ai*n bi* * ... ... ... ...
ξm am1 ... amj* ... amn bm
-z c1 ... cj* cn d
*
4. Austauschschritt (analog dem gewöhnlichem Simplexverfahren):
Notiere folgendermaßen ein neues Simplextableau:
Tausche die BV Nr. i* und die NBV Nr. j* aus.
Berechne die neuen Koeffizienten aij', rechten Seiten bi' und Zielfunktionskoeffizienten cj' und Zielfunktionswert −d′ gemäß
• Pivotelement:
*
*
*
* 1
j i j
i ' a
a = (Kehrwert)
• Pivotzeile:
*
*
*
* j i
j i j
i a
' a
a = ,
*
*
* * j i
i ai
' b
b = (Division durch Pivotelement)
• Pivotspalte:
*
*
*
*
j i
ij
ij a
' a
a =− ,
*
*
*
*
j i
j
j a
' c
c =− (Division durch Pivotelement und Vorzeichenwechsel)
• übrige Elemente:
*
*
*
* j i
ij j i ij
ij a
a a a
'
a ⋅
−
= ,
*
*
*
* j i
ij i i
i a
a b b
'
b ⋅
−
= ,
*
*
*
* j i
j j i j
j a
c c a
'
c ⋅
−
= ,
*
*
*
* j i
j i
a c d b
d' ⋅
−
=
(Subtraktion von Pivotzeilenelement ¥ Pivotspaltenelement / Pivotelement) 5. Rechenkontrolle:
• Die Zielfunktionskoeffizienten der neuen Basislösung müssen wieder nicht negativ sein, also cj'≥0 für alle j = 1, 2, ... , n
• Zielfunktionswert -d darf nicht besser geworden sein (i. S. der Optimalrichtung);
war cj* >0, so muss sich der Zielfunktionswert -d sogar echt verschlechtert haben.
