1 5.2.4 Impedanzanpassung Dabei muss berücksichtigt werden, dass sowohl der Innenwiderstand der

5.2.4 Impedanzanpassung

Das Ziel der Impedanzanpassung ist die Maximierung der Wirkleistung an einem Verbraucher.

Dabei muss berücksichtigt werden, dass sowohl der Innenwiderstand der

Wechselspannungsquelle als auch der Lastwiderstand komplexe Beiträge besitzen.

Für die Impedanzen Z

₁

und Z

₂

gilt jeweils:

Die Wirkleistung am Verbraucher Z

₂

ist proportional zu seinem Realanteil R

₂

:

Nur die Wirkleistung kann am Verbraucher für die Umwandlung in mechanische, thermische und chemische Leistung verwendet werden.

 





 



 





2 , 1 1,2

2 , 1 2 , 1

L 1

i C

R

Z  

2 2 2 2

2

R

Z R U I

P

_W



_eff



^eff

Re(S) Im(S)

Blind- leistung

Wirkleistung

Der effektive Stromfluss durch den gesamten Kreis ist durch das Verhältnis

zwischen effektiver Spannung U

_eff

und der Gesamtimpedanz Z

_ges

=Z

₁

+Z

₂

gegeben:

ges eff

eff

Z

I  U

Wenn die Blindwiderstände abgeglichen sind, gilt für die Wirkleistung:

Wie R

₁

und R

₂

gewählt werden müssen, um auch in diesem Fall die Wirkleistung zu optimieren, lässt sich an der Ableitung der Effektivleistung nach R

₂

erkennen:

Daraus folgt:

oder

Für die Leistung folgt:

oder

2

   

²

2 1 2

1 2

2 1

2 2 2 2

2

1 1

1 



 



  

 



 









 



C L C

L R

R

R R U

Z

P

_W

U

^{eff eff}

 

Die Wirkleistung ist maximal, wenn dieser Term verschwindet.

  ^{1 1 1 0}

2 1 2

1

  

 



 



 L C C

L 



 

 



 







2 2

1 1

1 1

L C L C

 

  1. Bedingung: Die Blindwiderstände von Z

₁

und Z

₂

müssen entgegengesetzt gleich groß sein!

 

1 2 2²

2 1

2 2 2

2 1

2 2

2 R R R R

R U R

R R

P

_W

U

^{eff eff}





 



 

   

  ⁰

2 d

d

4 2 1

2 1 2

2 2 2 1 2

2

 







 

R R

R R R

U R

R U R

P

W eff eff

2 2 2 2 2

1

2

1 2 2

2

1 2

2

2 1 2

0

R  R R  R  R R  R  R  R 

2

1

R

R  2. Bedingung: Die Wirkwiderstände von

Z

₁

und Z

₂

müssen gleich groß sein!

Änderung der Spannung entlang dx : Änderung des Stroms entlang dx :

Um die beiden Gleichungen zu kombinieren, leiten wir (1) noch einmal nach x ab:

Einführung:

- Die Kabelimpedanz wird auch als Leitungswellenwiderstand bezeichnet

- Sie hat Einfluss auf die Signalausbreitung bei hochfrequenten Signalen bzw. Signalen mit hochfrequenten Anteilen (z. B. Spannungspuls oder Schaltvorgang)

- Die Kabelimpedanz ist von der Länge des Kabels unabhängig - In der Regel ist die Kabelimpedanz ein rein reeller Wert

Ersatzschaltbild einer elektrischen Leitung:

Ziel: Berechnung der Impedanz dieser Leitung

5.2.5 Impedanz eines Kabels

Die angegebenen Größen sind auf die Länge bezogene "Beläge":

R´: Widerstand / dx L´: Induktivität / dx C´: Kapazität / dx G´: Leitfähigkeit / dx

Leitungsbeläge

  I

Z

_L

  U L´dx R´dx

C´dx 1/G´dx

x

 ^{R L}  ^I

x

U     i    d

d (1)

 G C  U

x

I     i    d

d (2)

     

2 2

d d

i i

d d

U I

R L R L G i C U

x        x           

(3)

Um die Impedanz (U/I) berechnen zu können, benötigen wir noch einen Ausdruck für I.

Aus (1) erhält man:

4

Man erhält eine lineare DGL zweiter Ordnung, für die ein exponentieller Ansatz gewählt wird:

mit

 

exp

U   a   x ^{dU a exp}  ^x 

dx       ^d

² ₂ ²

^exp  

²

d

U a x U

x          ⁽⁴⁾

 ^{R i L}  ^{G i C} 

         

 

1 1

i i exp

I dU a x

R L dx R L  

 

      

     

 

i exp

i

G C

a x

R L

 



  

    

  

Z

L

/

1 U

C G

L Z

_L

R

 



 

 



 i

i Impedanz /Leitungswellenwiderstand

für  → 0 (Gleichstrom) für  → ∞

G Z

_L

R



  C

Z

_L

L



 

( eingesetzt)

Die Impedanz für  → ∞, der sog. Wellenwiderstand, ist keine Größe, die man mit einem Ohmmeter nachmessen könnte, sondern ein für eine Leitung charakteristischer Wert in Ohm, der sich aus dem

Verhältnis von Wechselspannung und –strom ergibt. Wie das folgende Beispiel zeigt, hängt die Impedanz

auch nicht von der Länge der Leitung ab. Sogar das Vakuum hat eine Impedanz, die ca. 377 Ohm beträgt.

Berechnung von L´:

(Magnetfeld eines langen geraden Leiters)

Selbstinduktion

Berechung von C´:

(elektrisches Feld einer Linienladung)

Kapazität = Ladung / Spannung

R

₁

= Radius des Innenleiters R

₂

= Radius des Außenleiters l = Länge des Kabels

r B I

 



 2

0

^ 

A

A B  

 d

2

 

2

1 1

0 0 2

1

d 1 d ln

2 2

R R

R R

I I R

l B r r l r l

r R

 

  

 

    

 

 

   L I

0 2

1

2 ln R L L

l I l R

 



 

        

E r

  2 

0



l

 Q



  _



 



 

 

1 2 0

2 ln d

2

1

R

r R r E U

R

R





 

 



 

 

1 2 0

ln 2 1

R U R

C  

 

 



 

 

 



 

 

 



 

1 2 0

0 1

2 0

1 2

0

ln

2 ln 1

2 ln 1

2 R

R R

R R

Z

_L

R













Berechnung der Impedanz eines Koaxialkabels Für die Impedanz bei hohen Frequenzen gilt:

C Z

_L

L



 

6

0 2 2 2

12

0 1 1 1

1 1 1, 26 10 VsVm

ln ln 60 ln

2 6, 28 8,85 10 AmAs

L

R R R

Z R R R



 





      

                  

unabhängig von der Länge und der Frequenz! Für 

_r

= 

_r

= 1:

Mit ln(3,6) ≈ 1,3 und mit 

_r

≈ 2,4 (Polyäthylen als Abstandhalter) ergibt sich 50  als typische Impedanz.

E B

R

₁

≡ a, R

₂

≡ b

1 2

1 1

2 2

R ^{ }  R ^  R

Umfang statt Fläche wegen des Skin-Effekts (hochfrequente Ströme nur an den Oberflächen)

Optimiere

^{1 2 2}

2 1 1

1/ 1/

ln( / ) 3, 6

R R R

R

Z R R R

   

6

Typische koaxiale Laborkabel (von links nach rechts): Zwei BNC-Stecker ("Männchen") an RG-58-Kabeln, BNC-I- Stück ("Weibchen"-"Weibchen"), LEMO-Stecker an RG-174-Kabel und LEMO-I-Stück, N-Stecker, N-I-Stück, SMA-Stecker mit "semi rigid" und flexiblem Kabel sowie SMA-I-Stück. Die Impedanz ist jeweils 50 . Manche Videokabel sehen BNC-Kabeln ähnlich, haben aber eine Impedanz von 75 . Andere häufig verwendete Kabel:

Einzelne Leiter z.B. mit Bananensteckern, verdrilltes Leiterpaar ("twisted pair"), Flachbandkabel.

Links: Typischer Laboraufbau mit NIM-Modulen (Nuclear Instrumentation Module) und BNC- sowie LEMO-Kabeln.

Rechts: BNC-Kabel mit T-Stücken und 50-Ohm-"Abschlusswiderständen" zur Impedanzanpassung an einem Oszilloskop.

Wenn man die Inpedanzanpassung unterlässt (z.B. 1-M-Abschluss an einem Oszilloskop), wird ein Teil des einlaufenden

Pulses reflektiert, was die Pulsform und Pulshöhe stark verfälschen kann.

5.3 Drehstrom, Mehrphasenwechselstrom

Mehrere (hier: N = 3) Wechselspannungen gleicher Frequenz und äquidistanter Phasenverschiebung 2/N (hier: 2,09 rad oder 120°)

 

 



   



 N

t n U

U

_n

1

2

0

cos  

z.B. Norm in Europa (Abweichung + 6% /10%): Amplitude pro "Phase" 325 V (Effektivspannung 230 V), Relativspannung 563 V (Effektivspannung 398 V).

Strom wird in die Haushalte als Drehstrom geliefert und im Elektroverteiler ("Sicherungskasten") aufgeteilt.

Ein Vorteil besteht in der geringeren Anzahl von Leitungen (4 statt 6). Außerdem kann man Geräte verschiedener Spannung betreiben (230 V und 398 V effektiv).

Relativspannung zwischen zwei benachbarten Anschlüssen (sog. "Phasen"):

   

 ^{cos cos 2 / 3}  ³

₀

^cos  ^{/ 6} 

0 2

1

 U  U    t    t     U    t  

U

8

Sternschaltung: Wenn die Widerstände der Verbraucher gleich sind, ist der Strom durch den Neutralleiter (Null- leiter) null, wie man z.B. mit einem Zeigerdiagramm der Ströme sehen kann, und man könnte den Neutralleiter weglassen.

Bei der Dreieckschaltung ist die Summe der Spannungen immer null (Maschenregel).

Die drei Spulen bewirken ein horizontales Magnetfeld, dessen Richtung mit der Netzfrequenz rotiert. In einem Aluminiumring wird ein Strom induziert, dessen Magnetfeld bewirkt, dass der Ring sich dreht (links). In einem Kurzschlußläufer-Motor sind mehrere Ringe zu einer käfig- artigen Struktur kombiniert.

Auch eine Kugel, die mit Alu- folie umwickelt ist, kann in Rotation versetzt werden (rechts).

Modell eines Drehstrommotors

(Versuch an der Uni Hamburg)