J. Wengenroth SS 2009
D. Sieg 14.07.2009
Grundlagen der Funktionentheorie Ubungsblatt 6¨
U 26¨
Seien Ω ein Gebiet mit 0∈/ Ω, so dass f(z) = 1/z eine Stammfunktion F ∈H(Ω) besitzt.
Zeigen Sie, dass es eine Konstante c∈Cgibt mit
exp(F(z)−c) =z f¨ur alle z∈Ω (Differenzieren Sieg(z) =f(z) exp(F(z))).
U 27¨
(a) Zeigen Sie, dass es L∈H(C\(−∞,0]) gibt mit
exp(L(z)) =z f¨ur alle z∈C\(−∞,0].
(b) Wieviele solche Funktionen gibt es?
(c) Gibt es auch L∈H(C\ {0}) mit dieser Eigenschaft?
(Hinweise: (a) folgt aus ¨U 26, (b) Wann ist exp(c) = 1? (c) Dann w¨areL eine Stammfunk- tion zu 1/z).
U 28¨
Sei Log∈H(C\(−∞,0]), so dass Log(1) = 0 und exp(Log(z)) =z(Log ist der
”Hauptzweig des Logarithmus“). Zeigen Sie (durch Ableiten) f¨ur S = {z ∈ C : |Imz| < π}, dass Log(exp(z)) =z f¨ur alle z∈S und Log(reiα) = log(r) +iα f¨urr >0 und |α|< π.
Berechnen Sie Log(i),Log(i3) undii = exp(iLog(i)).
U 29¨
Berechnen Sie
∞
R
0 x2
1+x4dx unter Benutzung der Kurve, die aus dem Intervall [0, R], einem Viertelkreis mit RadiusR und dem Segment voniR nach 0 zusammgengesetzt ist.
U 30¨
Berechnen Sie die Fouriertransformierte der Normalverteilung, also
F(t) = 1
√2π
∞
Z
−∞
eitxe−x2/2dx.
Benutzen Sie dazu (ohne Beweis) F(0) = 1, und zeigen Sie mit Hilfe des Cauchyschen Integralsatzes f¨ur ein geeignetes Rechteck, dass
∞
R
−∞
e−(x−it)2/2dx=
∞
R
−∞
e−x2/2dx.
