5.6 Impedanzanpassung
Das Ziel der Impedanzanpassung ist die Maximierung der Wirkleistung an einem Verbraucher.
Dabei soll berücksichtigt werden, dass sowohl der Innenwiderstand der Wechselspannungsquelle als auch der Lastwiderstand komplexe Beiträge besitzen.
Für die Impedanzen Z1 und Z2 gilt jeweils:
Die Wirkleistung am Verbraucher Z2 ist proportional zu seinem Realanteil R2:
Nur die Wirkleistung kann am Verbraucher für die Umwandlung in mechanische, thermische und
2 , 1 1,2 2
, 1 2 , 1
L 1
i C
R
Z
2 2 2 2
2 R
Z R U I
PW eff eff
Re(S) Im(S)
Blind- leistung
Wirkleistung
Wenn die Blindwiderstände abgeglichen sind, gilt für die Wirkleistung:
Wie R1 und R2 gewählt werden müssen, um auch in diesem Fall die Wirkleistung zu optimieren, lässt sich an der Ableitung der Effektivleistung nach R2 erkennen:
Daraus folgt:
oder
Für die Leistung folgt:
oder
2
2 1 2
1 2
2 1
2 2 2 2
2
1 1
1
C L C
L R
R
R R U
Z
PW Ueff eff
Die Wirkleistung ist maximal, wenn dieser Term verschwindet.
1 1 1 0
2 1 2
1
L C C
L
2 2 1
1
1 1
L C L C
1. Bedingung: Die Blindwiderstände von Z1 und Z2 müssen entgegengesetzt gleich groß sein!
1 2 22
2 1
2 2 2
2 1
2 2
2RR R R
R U R
R R
PW Ueff eff
0
2 d
d
4 2 1
2 1 2 2 2
2 1 2
2
R R
R R R U R R U R
PW eff eff
0 2 2
2
1R R
R
2
1 R
R 2. Bedingung: Die Wirkwiderstände von Z1 und Z2 müssen gleich groß sein!
Einführung:
- Kabelimpedanz wird auch als Leitungswellenwiderstand bezeichnet
- Einfluss auf Signalausbreitung bei hochfrequenten Signalen bzw. Signalen mit hochfrequenten Anteilen (z. B. Spannungspuls oder Schaltvorgang)
- Kabelimpedanz ist von der Länge des Kabels unabhängig - in der Regel ist die Kabelimpedanz ein rein reeller Wert Ersatzschaltbild einer elektrischen Leitung:
Ziel: Berechnung der Impedanz dieser Leitung
5.6 Impedanz eines Kabels
Die angegebenen Größen sind auf die Länge bezogene Beläge:
R´: Widerstand / dx L´: Induktivität / dx C´: Kapazität / dx G´: Leitfähigkeit / dx
Leitungsbeläge
I ZL U
L´dx R´dx
C´dx 1/G´dx
x
Für die Gesamtlösung gilt daher:
Um die Impedanz (U/I) berechnen zu können, benötigen wir noch einen Ausdruck für I.
Aus (1) erhält man:
Man erhält eine lineare DGL zweiter Ordnung für die ein exponentieller Ansatz gewählt wird:
Der Vergleich zwischen Gleichung (4) und (5) zeigt:
x
Uexp x
dx
dU exp x U
x
U2 2 2
2
d exp
d (5)
Ri LGi C
1,2 Es existieren zwei Lösungen
→ Gesamtlösung durch lineare Überlagerung
x a x
a
U 1exp 2exp
x U L I R
d d i 1
a x a x
L
R
exp exp
i 1
2 1
R LG C
i i
a x a x
L R
C
G
exp exp
i i
2 1
ZL
/
1 U
C G
L ZL R
i
i Impedanz /Leitungswellenwiderstand für → 0 (Gleichstrom) für → ∞
G ZL R
C ZL L
Berechnung von L´:
(Magnetfeld eines langen geraden Leiters)
Selbstinduktion (15.05. Folie 4)
Berechung von C´:
(elektrisches Feld einer Linienladung)
R1 = Radius des Innenleiters R2 = Radius des Außenleiters l = Länge des Kabels
r B I
2
0
A
A B
d
1 2 0
0 ln
d 2 1 d 2
2
1
2
1 R
R r Il
r r Il
r B l
R
R
R
R
LI
1 2 0 ln
2 R
R Il
l L L
E r
20
l
Q
1 2 0
2 ln d
2
1 R
r R r E U
R
R
1 2 0
ln 2 1
R U R
C
1 2 0 0 1
2 0 1
2
0 ln
2 ln 1
2 ln 1
2 R
R R
R R
ZL R
B
A Berechnung der Impedanz eines Koaxialkabels
Für die Impedanz bei hohen Frequenzen gilt:
C ZL L
Beispiel:
