Mechanismus und Charakteristik der elektrischen Leitung

Mechanismus und Charakteristik der elektrischen Leitung

Elektrische Str¨ ome bestehen in der Bewegung elektrischer Ladungstr¨ ager. Damit Materialien Leiter sind, m¨ ussen sie bewegliche elektrische Ladungstr¨ ager enthalten; ein angelegtes elektrisches Feld erzeugt dann den Strom. Dass allein die Bewegung der Ladungstr¨ ager entscheidend ist, zeigen folgende Versuche:

Q z

- m

i Werden die Platten eines Kondensators mit einer konstanten Spannungs- quelle verbunden, so wird in diesem Stromkreis ein Strom gemessen, wenn als Ladungstr¨ ager eine geladene Kugel zwischen den Platten bewegt wird, wenn eine Flamme mit Ionen im Kondensatorraum brennt oder wenn eine ionisierende, radioaktive Quelle in der N¨ ahe der Platten aufgestellt wird.

Zusammenfassend fliesst also dann ein Strom, wenn im Kondensator bewegliche Ladung vorhanden ist.

Im Folgenden werden Leitungsmechanismen in verschiedenen Materialien und Anordnungen untersucht.

1. Leitung in Metallen

⊕ ⊕ ⊕ ⊕

⊕ ⊕ ⊕ ⊕

⊕ ⊕ ⊕ ⊕

⊕ ⊕ ⊕ ⊕ In den Metallen bilden positive Metallionen, die ein oder mehrere Elektronen als Leitungselektronen abgegeben haben, einen festen Gitterverband, in dem sich die Leitungselektronen relativ leicht bewegen k¨ onnen. Das Gitter ist nicht starr, viel- mehr schwingen die Ionen thermisch um ihre Gleichgewichtslage. Vernachl¨ assigt man die Wechselwirkung der Leitungselektronen untereinander und mit den Io- nen, so k¨ onnen sie wie ein ideales Gas im Modell des freien Elektronengases behandelt werden: Die Leitungselektronen bewegen sich unter Zusammenst¨ ossen ungeordnet im Leiter, mit einer mittleren thermischen Geschwindigkeit von v

therm

= `/τ = p

3kT /m ≈ 10

⁵

m/s (bei Zimmertemperatur). Legt man ein ¨ ausseres elektrisches Feld an, dann driften sie mit einer mittleren Driftgeschwindigkeit v

d

gegenl¨ aufig zum Feld, also in Richtung − E. Es gilt nach dem zweiten ~ Newtonschen Gesetz

m dv

dt = F = eE und damit eE

m τ = v

2

− v

1

= v

d

, (1) mit τ ≈ 10

⁻¹²

s der mittleren Zeit zwischen zwei St¨ ossen. ~ v

d

ist proportional zu E. Mit dem Hall-Effekt ~

¹

kann die

Beweglichkeit b := v

d

/E = eτ /m (2)

gemessen werden. Mit dieser schreibt sich die mittlere freie Wegl¨ ange als ` =

√ 3kT m

e b. Z.B. ist f¨ ur Silber bei 20

^◦

b = 6.4 · 10

⁻³

m

²

/Vs, und ` = 8.3 · 10

⁻⁹

m. Bei einem Feld von E = 1 V/m erhalten also die Elektronen die kleine Geschwindigkeit v

_d

= 6.4 mm/s entgegen der Feldrichtung und sie legen zwischen den St¨ ossen eine Strecke von rund 30 Atomabst¨ anden zur¨ uck, mit einer mittleren Flugzeit von τ = 10

⁻¹³

s.

In diesem Elektronengas-Modell kann man einen Stromdichtevektor J ~ = n e ~ v

_d

angeben, wobei n die Zahl der Leitungselektronen pro Volumeneinheit bezeichnet. Mit Gl.(2) erh¨ alt man in einem n¨ achsten Schritt

J ~ = n e

²

τ m

E ~ = σ ~ E – das Ohmsche Gesetz. (3)

σ [Ω m]

⁻¹

ist die elektrische Leitf¨ ahigkeit, die ¨ uber 1/σ = ρ [Ω m] mit dem spezifischen elektrischen Widerstand ρ verbunden ist. Aus den Gleichungen (2) und (3) ergibt sich zudem die wichtige Beziehung

1Siehe Halliday, Kap.29-4.

Spezifische Wider- st¨ ande bei 20

^◦

Metall ρ [Ωm]

Ag 1.5 · 10

⁻⁸

Cu 1.6 · 10

⁻⁸

Al 2.4 · 10

⁻⁸

Fe 10 · 10

⁻⁸

Konstantan 50 · 10

⁻⁸

σ = n e

²

τ

m = n e b (4)

σ und ρ sind Materialkonstanten, die unabh¨ angig von E ~ und den Abmessungen des Leiters sind, jedoch ¨ uber die Flugzeit τ sowie n von der Temperatur T abh¨ angen. In sehr reinen Metallen mit wenig Fremdatomen gilt f¨ ur hohe Temperaturen (z.B. 300 K) ρ = 1/σ ∝ T und f¨ ur niedrige Temperaturen ρ = 1/σ ∝ T

⁵

(s. Abbildung unten).

Das Ohmsche Gesetz Gl.(3) in der mikroskopischen Form J ~ = σ ~ E kann mit der ph¨ anomenologischen Schreibweise V = i · R in Verbindung gebracht werden: F¨ ur ein homogenes, gerades Leiterst¨ uck mit konstantem Querschnitt A, L¨ ange ` und anliegender Spannung V ist die Stromdichte J = σE = σV /`,

→ E → J 6

A

? V

`

-

-

die Stromst¨ arke i = AJ = V σ A/` = V /R, d.h. R = 1 σ

` A = ρ `

A .

Der Zusammenhang R = V /i = konst. gilt jedoch nur bei konstanter Temperatur. Den allgemeinen Zusammenhang i = i(V ) stellt man mit der sogenannten Strom-Spannungs-Charakteristik dar:

V

i Gluhlampe

^"

Je nach den W¨ armeableitungen ergeben sich f¨ ur verschiedene Gl¨ uhlampen unterschiedliche Kurven. In der Gasatmosph¨ are der geschlossenen Gl¨ uhbirne kann die Joulsche W¨ arme nur schlecht abgeleitet werden, sodass die Tempe- ratur und damit der Widerstand des Wolframfadens ansteigen – dies erkl¨ art die Kr¨ ummung der zugeh¨ origen i-V-Charakteristik.

- 6

V i Metall

T

1

T

₂

T

₂

< T

₁

In reinen Metallen w¨ achst der Widerstand linear mit der Temperatur, wenn diese gen¨ ugend hoch ist: R

t

= R

◦

(1 + β t), mit R

◦

dem Widerstand des Me- talles bei 0

^◦

C. β liegt zwischen 1/200 und 1/300, also in der Gr¨ ossenordnung des Ausdehnungskoeffizienten α ' 1/273 idealer Gase. Bei sehr niedrigen Temperaturen T → 0 wird bei Metallen der Widerstand nicht linear Null, sondern er geht ∝ T

⁵

gegen einen Restwiderstand (. Nullpunktsenergie).

l

T Supraleiter Normalleiter

Metall

T

_c

Es gibt auch Metalle (Legierungen und Verbindungen, z.B. Nb

₃

Sn), deren spezifischer Widerstand ρ unterhalb einer Sprungtemperatur T

_c

auf exakt Null sinkt. Diese Supraleitung wurde 1911 von Kamerlingh-Onnes ent- deckt. In supraleitenden Metallen k¨ onnen Str¨ ome ohne Ohmsche Verluste, d.h. ohne Energiezufuhr, beliebig lange fliessen.

²

Bei Isolatoren erh¨ oht sich die Leitf¨ ahigkeit mit steigender Temperatur. Beispielsweise wird ein norma- lerweise isolierender Kochsalzkristall bei erh¨ ohter Temperatur leitend (es k¨ onnen dann Elektronen einge- spritzt werden, welche sich durch den Kristall bewegen).

2. Halbleiter

Halbleiter sind Materialien, deren Leitf¨ ahigkeit von derjenigen guter Metalle bis zu jener guter Isolatoren reichen kann. Anders als bei Metallen kann in Halbleitern die Zahl der Ladungstr¨ ager stark variiert werden durch: Temperatur¨ anderungen, Einbau von Fremdatomen (Dotieren), st¨ ochiometrische Abweichungen,

21957 entwickelten John Bardeen, Leon Cooper und Bob Schrieffer die BCS-Theorie der Supraleitung. Sie kann durch die paarweise Wechselwirkung von Elektronen, die dabei sogenannte Cooper-Paare bilden, erkl¨art werden. Cooper-Paare k¨onnen sich ungehindert durch das Metall bewegen. “Hochtemperatursupraleitung” wurde 1986 von K.A. M¨uller und J.G. Bednorz in Z¨urich bei IBM an Perovskiten entdeckt und mit dem Nobelpreis geehrt.

elektrische und magnetische Felder. Meist nimmt die Leitf¨ ahigkeit mit steigender Temperatur zu, da die Zahl der Ladungstr¨ ager w¨ achst. [vgl. Gl. (3)]. Das elektrische Verhalten von Halbleitern wird durch das

Spezifischer Widerstand ρ [Ωm]

Leiter 10

⁻⁸

− 10

⁻⁶

Halbleiter 10

⁻⁴

− 10

⁷

Isolatoren 10

¹²

B¨ andermodell

³

beschrieben. Es gibt Halbleiter mit Eigenleitung, in denen durch W¨ armebewegung oder geeignete Bestrahlung ein Bruch- teil der Elektronen beweglich wird (man spricht von einem ¨ Ubergang vom Valenzband ins Leitungsband). Dazu ist eine minimale Energie notwendig, die bei tiefen Temperaturen nicht zur Verf¨ ugung steht, hier wird der Halbleiter – im Gegensatz zum Metall – ein Isolator.

f f f f f f f f f f f f f f f f Si

v As

⁺

Leitungselektron

Durch kontrollierten Einbau von Fremdatomen (Dotieren) entsteht die St¨ orstellenleitung. So kann im vierwertigen Silizium oder Germanium f¨ unfwertiges Arsen (As), Phosphor oder Antimon eingebaut werden. Dieser Einbau st¨ ort dann am wenigsten, wenn das As-Atom auch vier Bindungen zu seinen n¨ achsten Si-Nachbarn eingeht. Dabei gibt es sein Valenzelektron ab, das zum Leitungselektron wird. Solche Fremdatome heissen deshalb Dona- toren und das Material ist ein n-Halbleiter mit negativen Ladungstr¨ agern.

f f f f f f f f f f f f f f f f Si

v B

⁻

⊕

Defektelektron

Einen p-Halbleiter mit positiven Ladungstr¨ agern erh¨ alt man mit einer Dotierung von Bor (B), Gallium, Aluminium oder Indium. Um vier Bin- dungen einzugehen muss ein B-Atom ein Elektron aufnehmen (das Frem- datom ist ein Akzeptor), das einer Si-Si-Bindung entnommen wird, in der nun ein Loch (Defektelektron) entsteht, das wie ein positives Teilchen wirkt. Durch gezieltes Dotieren k¨ onnen auf diese Weise sowohl p- als auch n-Halbleiter mit beachtlicher Bedeutung f¨ ur die Technik hergestellt werden.

p- und n-Halbleiter weisen einen ¨ Uberschuss des entsprechenden Ladungstr¨ agers auf, zur Leitf¨ ahigkeit σ tragen daher beide bei und mit Gl.(4) gilt dann

σ = σ

+

+ σ

₋

= e (n

+

b

+

+ n

₋

b

₋

) .

(n und b sind die Konzentrationen und Beweglichkeiten der jeweiligen Ladungstr¨ agersorte.) Da die posi- tiven Defektelektronen oder “L¨ ocher” in Richtung des E-Feldes (von Plus nach Minus) wandern, tragen ~ sie in gleichem Sinne zum Gesamtstrom bei wie die Elektronen.

Das B¨ andermodell der Festk¨ orper

In einem einzelnen Wasserstoffatom (Proton+Elektron) ist das Elekton im niedrigsten Zustand bei der Bindungsenergie E

B

(1s) =-13.6 eV und im n¨ achst h¨ oheren Zustand bei E

B

(2s, 2p) =-3.4 eV gebunden.

Die beiden Zust¨ ande liegen also weit auseinander.

eV(r) r

-13.6 eV 1s

2s, 2p

-3.4 eV

Termschema des H-Atoms

N¨ ahern sich zwei Atome, so ¨ uberlappen sich ihre Orbitale (Potentiale) ein we- nig, und aus den vorher energetisch identischen,

” entarteten“ Zust¨ anden ent- E(r)

r 1s 2s

Zustande im H "

₂

- Molekul "

entartet

6L ¾10 eV

steht durch Kopplung ein gemeinsames System mit zwei dicht beieinander liegenden Elektronen- zust¨ anden f¨ ur den (besetzten) Grund- und den (nicht besetzten) angeregten Zustand. Bei noch geringerem Abstand wird die Entartung immer weiter aufgehoben und die zun¨ achst um ca. 10 eV auseinander liegenden 1s-und 2s-Zust¨ ande n¨ ahern sich einander an wie in der Figur angedeutet.

3Eine genauere Besprechung dieses Modells und der zugeh¨origen Konzepte folgt in der Vorlesung zur Festk¨orperphysik.

3Nach quantenmechanischer (hier nicht vorausgesetzter) Rechnung mit der Schr¨odinger-Gleichung istEB=^mc₂^2(Zα)_n2².

eV(x)=E _pot

x

Leitungsband Valenzband

6E

Setzt man in einem linearen Modell N Ato- me ¨ aquidistant aneinander, so erh¨ alt man eine Reihe gleicher Potentiale, die schwach gekoppelt sind, und damit eine N-fache Aufhebung der Entartung zu einer Band- struktur in einem Festk¨ orper mit einer angen¨ ahert regelm¨ assigen Struktur.

Im tieferen Valenzband sind alle Zust¨ ande besetzt und eine Leitung ist wegen des Pauli-Prinzips

⁴

nicht m¨ oglich. Das Leitungsband ist leer, eine Leitung ist nicht m¨ oglich, wenn Elektronen aus dem Valenzband die Energiedifferenz ∆E nicht ¨ uberwinden k¨ onnen – dieser Festk¨ orper ist ein Isolator. Ist die Bandl¨ ucke

∆E klein, dann ist der entsprechende Festk¨ orper bei tiefen Temperaturen ein Isolator (bei 300 K kann nur eine Energie von 0.026=1/40 eV aufgenommen werden). Bei sehr hohen Temperaturen hingegen kann durch die thermische Energie die Bandl¨ ucke ¨ uberwunden werden und es entsteht ein Eigenhalbleiter.

Metalle (gute Leiter), Isolatoren und Halbleiter unterscheiden sich demzufolge durch die Bandl¨ ucke ∆E:

E _pot

Leitungsband

Valenzband 6 E

Leiter Isolator

leeres gefulltes "

Metalle: ∆E < 0, die beiden B¨ ander

¨

uberlappen sich und beliebig viele Elek- tronen aus dem Valenzband k¨ onnen im Leitungsband zur Leitung beitragen.

Isolatoren: ∆E > 3 eV, das Leitungsband ist leer, es ist kaum Eigenleitung m¨ oglich (∆E ≈7 eV f¨ ur Diamant).

Halbleiter: 0 < ∆E < 3 eV, es ist eine schwache Eigenleitung m¨ oglich (1.1 eV f¨ ur Si).

Leitungsband

Donatoren

6E

Akzeptoren + +++++ +

- - - - - - E _pot ^leeres

- - - - -

Elektronen

+ +++++

gefulltes Valenzband

^"

Locher"

Verunreinigungen (bzw. Dotierung als kontrollierte Verunreinigung) verschieben das Valenzband und das Leitungsband und k¨ onnen so positive ( ß Donatoren, L¨ ocherleitung) oder negative ( ß Akzepto- ren, Elektronenleitung) Ladungstr¨ ager, die nahe (≈ 0.03 eV) an den B¨ andern liegen, in das Valenz- respektive Leitungsband liefern und damit die Eigenschaft eines Halbleiters als p- oder n-Leiter erzeugen.

Die Halbleiterdiode

Halbleiterbauelemente

-

+

+ +

+ + +

-

+

- - - -

⁺

+

-

+

- -

- - - - - - - -

++ ++ ++

p-Halbleiter n-Halbleiter

-

+

Elektronen Locher

^"

E _pot

Leitungsband

Valenzband - --

- + --

+ + + +

n-Seite p-Seite

Ubergang ladungsarmer

"

In Halbleiterbauelementen wie Dioden und Transistoren sind n- und p-Leiter miteinander verbunden, zwischen beiden bildet sich eine ¨ Ubergangszone aus. Aufgrund der unterschiedlichen Konzentrationen diffundieren Elektronen in den p-Leiter, L¨ ocher in den n-Leiter, und bilden eine Ladungsdoppelschicht, die ¨ ahnlich wie beim Kondensator eine Potentialdifferenz aufbaut.

- -

+

+ +

+ + +

-

+

- - - -

⁺

+

-

+

- -

- - +

- V

n-Seite p-Seite

Sperrichtung

+

+ +

+ + +

-

+

- - - -

⁺

+

-

+

- -

- - - - -

+ + +

+

- V

p-Seite n-Seite

Durchla`richtung

i ^-

- - - - -

++ ++ ++

- - -

+ +

+

I

V Sperr-

richtung

Durchla`- richtung

4Nach der Quantenmechanik k¨onnen Teilchen mit einem Spin=1/2 nicht gleichzeitig denselben Zustand einnehmen. In der Potentialkette kann sich daher netto keine Ladung bewegen, da alle Zust¨ande des Valenzbandes besetzt sind.

Diese Potentialdifferenz erlaubt nur eine Stromleitung durch diese Diode mit der positiven Spannung an der p-Seite, wie in der Figur angegeben, und der entsprechenden Diodencharakteristik. Erh¨ oht man in Sperrichtung bei einer Diode die Spannung, dann setzt bei der Durchschlagsspannung durch Stossionisa- tion ein Lawinendurchschlag ein.

Die Tunneldiode Leitungsband

Valenzband leer gefullt

ohne Spannung kleine Spannung Tunneleffekt

"

grosse Spannung i

V Tunneldiode

Wird bei einer Diode die Dotierung derart gross gew¨ ahlt, dass die Do- natoren auf der n-Seite so viele Elektronen liefern, dass der untere Teil des Leitungsbandes gef¨ ullt ist, und die Akzeptoren auf der p-Seite so viele Elektronen aufnehmen, dass der obere Teil des Valenzbandes fast leer ist, dann ist der ¨ Ubergangsbereich sehr schmal. Elektronen k¨ onnen dann bei einer kleinen Spannung durch den verbotenen Bereich tunneln.

Die daraus resultierende Diodencharakterestik mit ihrem steilen Anstieg wird zur Erzeugung schneller Signale verwendet.

Die Solarzelle Eine Solarzelle hat eine d¨ unne p-Schicht.

p-Halbleiter n-Halbleiter R

_V

i

einfallendes Licht Trifft ein Photon mit einer Energie, die gr¨ osser ist als die Ener- giel¨ ucke (1.1eV in Si), auf die p-Schicht, so kann es ein Elektron aus dem Valenzband in das Leitungsband anheben, dieses kann durch die Ubergangsschicht wandern und wird dann zur n-Schicht beschleu- ¨ nigt. Es fliesst ein Strom; Lichtenergie wurde in elektrische Energie umgewandelt.

Germanium- und Silizium-Detektoren

n p

intr. R C

V + ^{- -} -

-

+

-

+++

ionisierendes Teilchen a

e

^-

Durch Dotierung eines hochreinen Ge- oder Si-Einkristalles auf einer Seite als d¨ unnen n-, und auf der anderen als d¨ unnen p-Leiter entsteht, entspre- chend der Gr¨ osse des Einkristalles (bis∼150ccm), eine dicke, intrinsische Ubergangsschicht mit einer hohen Sperrspannung (500-1000V), sodass kein ¨ Strom fliessen kann. Der Leckstrom wird durch eine saubere Oberfl¨ ache und K¨ uhlung auf Fl¨ ussig-Stickstoff-Temperatur (-196

^◦

C) im Vakuum be- tr¨ achtlich reduziert. Fliegt ein hochenergetisches, geladenes Teilchen durch den Detektor, dann erzeugt es in der intrinsischen Schicht durch Ionisation negative und positive Ladungstr¨ ager, die von der angelegten Spannung abgesaugt werden. Die Gr¨ osse dieses an der Kapazit¨ at C abgegriffenen Stromimpulses ist proportional zur Zahl der erzeugten Ionen- paare

⁵

und damit zur abgegebenen Energie. Ein Photon erzeugt durch Photoeffekt ein Elektron in der intrinsischen Schicht, dessen Energie der Energie des Photons entspricht. Mit diesem Germanium- oder Silizium-Detektor wird die Energie von geladenen Teilchen oder von γ-Quanten im Energiebereich 10keV bis 10MeV mit hoher Aufl¨ osung (≈ 10

⁻⁴

) spektroskopiert.

Der Transistor Der Transistor

⁶

besteht aus drei Halbleiterschichten, einem Emitter, einem Kollektor

5Der Energieverlust eines geladenen Teilchens pro erzeugtem Ionenpaar betr¨agt in Ge und Si 2-3eV, also viel weniger als

∼30eV in Gas. Damit werden in Ge und Si bei gleicher Energie des Teilchens mehr Ionenpaare erzeugt, und so ist (wegen der h¨oheren Statistik der Zahl der Ionenpaare) die Aufl¨osung in einem Halbleiterdetektors viel besser als in einem Gas- oder NaJ-Detektor.

61948 von William Shockley, John Bardeen und Walter H. Brattain erfunden.

und einer d¨ unnen Basis zwischen den beiden, die vom jeweils anderen Typ ist (siehe Schema).

⁷

Im folgenden Schema sind die Schaltsymbole f¨ ur einen pnp- und einen npn-Transistor angegeben:

p-Typ p-Typ n-Typ Kollektor

Basis Emitter

Basis

Kollektor

Emitter pnp-Transistor

p-Typ n-Typ n-Typ Kollektor

Basis Emitter

Basis

Kollektor

Emitter npn-Transistor

In der untenstehenden Figur ist der E-B- ¨ Ubergang in Durchlassrichtung und der B-K- ¨ Ubergang in Sper- richtung geschaltet. Der stark dotierte Emitter emittiert L¨ ocher, die ¨ uber E-B zur d¨ unnen Basis und bis in den Kollektor fliessen (i

K

). Die in der Basis rekombinierten L¨ ocher erzeugen einen Ladungs¨ uberschuss, der den Strom verhindert – dies wiederum wird durch die Basisspannung V

EB

teilweise verhindert.

- + V

_K

B

K - E

+

I

_K

I

_E

I

_B

V

_EB

pnp-Transistorschaltung -

+ V

_EK

B K

E I

K

+i

K

I

E

I

_B

+i

_B

V

_EB

pnp-Transistorverstarker

^"

- +

~ R

_B

R

_V

Eingangssignal

Ausgangssignal v

_aus

v

ein

Da I

_K

≈ I

_E

und I

_B

I

_K

gilt, erh¨ alt man eine

Stromverst¨ arkung I

_K

= βI

_B

mit β = 10 . . . 100.

In der einfachen Transistorverst¨ arkerschaltung (rechte Fig.) wird die Eingangsspannung v

_ein

den Wi- derst¨ anden R

_V

und R

_B

sowie dem Stromverst¨ arkungsfaktor β entsprechend mit der

Spannungsverst¨ arkung v

aus

v

_ein

= β R

V

R

_B

+ R

_Bi

verst¨ arkt.

⁸

Transistoren haben bis auf einige Spezialf¨ alle die R¨ ohrenverst¨ arker vollst¨ andig abgel¨ ost. In der Form der integrierten Schaltung als Chips haben sie das Anwendungsgebiet in der Elektronik drastisch ver¨ andert, hin zu minimalem Energieaufwand (v.a. ein Problem der K¨ uhlung und weniger des Stromverbrauchs), schneller Signalverarbeitung sowie sehr kleiner, kompakter Bauweise.

3. Leitung in fl¨ ussigen Elektrolyten

Elektrolyte sind Stoffe mit ¨ uberwiegender Ionenleitung. Feste Elektrolyte sind z.B. AgI, Alkalisalze, NaCl, KBr,. . . und Glas; fl¨ ussige Elektrolyte sind L¨ osungen von Salzen, S¨ auren und Basen. Als elektrolytische Dissoziation bezeichnet man den Zerfall eines Molek¨ uls oder Kristalls in Ionen in der L¨ osung. So hat beispielsweise Wasser aufgrund seines grossen Dipolmomentes eine starke dissoziierende Wirkung. Je gr¨ osser die Dielektrizit¨ atskonstante ε (z.B. ε(H

2

O) = 81) ist, desto geringer sind die elektrostatische Kr¨ afte zwischen den Ionen, desto gr¨ osser ist also die spaltende Wirkung des L¨ osungsmittels.

Wird mit Metallelektroden ein ¨ ausseres Feld E ~ im Elektrolyten erzeugt, dann bewegen sich die positiven Ionen (Kationen) zur Kathode und die negativen (Anionen) zur Anode. Die Ladungen der Ionen sind, wenn ν

+

und ν

₋

die entsprechenden Wertigkeiten sind: q

+

= ν

+

e und q

₋

= −ν

₋

e. Neben der Kraft q ~ E wirkt noch eine viskose Reibungskraft, die proportional zur Geschwindigkeit v der Ionen ist. Im Gleichgewicht zwischen beiden Kr¨ aften ist ~ v = b ~ E. Die Beweglichkeit b kann nur bestimmt werden, wenn

7Diese Anordnung ist analog zur Funktion der Kathode, des Gitters und der Anode einer R¨ohre.

8iB= _R^vein

B+R_Bi, vaus=iK·RV =βiBRV =βRV v_ein

R_B+R_Bi, RBi: Innenwiderstand Basis-Kollektor.

j i

- E ~

Pt Pt

+ −

Annahmen ¨ uber die Reibungskraft gemacht werden k¨ onnen. Mit dem Stokes’schen Reibungsgesetz und dem Ionenradius r sowie der dynamischen Viskosit¨ at η ist

ν e E = 6πη rv , und somit b = v E = νe

6πηr .

Die Stromdichte setzt sich aus dem Ionenstrom der Kationen und der Anionen zusammen: J = J

+

+ J

₋

= e (n

+

ν

+

v

+

+ n

₋

ν

₋

v

₋

). Da die L¨ osung neutral ist, gilt n

+

ν

+

= n

₋

ν

₋

und damit J = n

+

ν

+

e (v

+

+ v

₋

), und mit v = bE folgt J = n

+

ν

+

e (b

+

+b

₋

)E = σE. Bei konstanter Temperatur und moderaten Feldst¨ arken ist damit σ = J

E = n

+

ν

+

e (b

+

+ b

₋

) die Leitf¨ ahigkeit eines Elektrolyten . Aus der Messung von σ wird nur die Summe der Beweglichkeiten bestimmt, das Verh¨ altnis von b

+

/b

₋

kann jedoch festgelegt werden, wenn die beim Stromdurchgang auftretende Konzentrations¨ anderung an den Elektroden gemessen wird. Aus dieser Analyse stammen die Werte der Tabelle.

Beweglichkeiten [10

⁻⁸

m

²

/Vs]

b

₊

b

₋

H

⁺

31.5 F

⁻

4.66 Li

⁺

3.34 Cl

⁻

6.55 Na

⁺

4.35 Br

⁻

6.70 K

⁺

6.46 I

⁻

6.65 Rb

⁺

6.75 SO

⁻⁻₄

6.8 Cs

⁺

6.8 CrO

4

7.2 Ca

⁺⁺

5.1 OH

⁻

15.0

Wenn man von den hohen Werten f¨ ur H

⁺

und OH

⁻

absieht, sind die Beweglichkeiten aller Ionen infolge ihrer Hydration etwa gleich. Ionen k¨ onnen Wassermolek¨ ule mit ihrem perma- nenten elektrischen Dipolmoment binden. Mit dem Stokes’sche Reibungsgesetz sollte b ∝ νe/r gelten. Kleine Ionen lagern je- doch Wassermolek¨ ule besser an, so dass ein gr¨ osserer Ionenra- dius vorget¨ auscht wird. Deshalb nimmt in der Reihe Li

⁺

-Na

⁺

- Rb

⁺

die Beweglichkeit zu, obwohl die Radien der freien Ionen ebenfalls zunehmen.

Der Strom in Elektrolyten ist mit einem Materietransport verbunden. n Ionen der Masse µ transportieren eine Ladung i = n νe und eine Masse n ν an eine Elektrode. In t Sekunden wird also bei konstanter Stromst¨ arke die Masse m = n µ t =

_νeⁱ

µt abgeschieden. Mit

µ = Molmasse M

N

_◦

folgt m = i M

νeN

_◦

t = i M

νF t, mit der Faradayzahl F = N

_◦

e = 96 484.56 C

Mol

.

F ist die Ladung eines Mols einwertiger Ionen; aus einem gemessenen F kann N

_◦

bestimmt werden.

Elektrolytische Leitung tritt auch bei pseudofesten K¨ orpern wie Glas ein – erhitztes Glas leitet gut.

4. Leitung in Gasen

Gase nicht zu hoher Temperatur bestehen aus neutralen Atomen oder Molek¨ ulen und sind damit gute Iso- latoren. Werden von aussen Ladungstr¨ ager in das Gas gebracht (z.B. durch Photoemission an Elektroden) oder wird das Gas durch Strahlung ionisiert, so wird es zum Leiter. Ein angelegtes elektrisches Feld er-

m

i V

d

- zeugt einen Strom. Da die Ladungen durch ¨ aussere Einwirkungen entstan- den sind und die Entladung nicht von selbst einsetzt, spricht man von einer unselbst¨ andigen Entladung. Bei gen¨ ugend hoher Spannung, so dass alle Io- nen zu den Elektroden gelangen, wird der S¨ attigungsstrom erreicht. Ein kleiner Teil der prim¨ ar gebildeten Ionen k¨ onnen durch Rekombination zu neutralen Molek¨ ulen umgewandelt werden. Bei niedrigem Gasdruck (Luft:

0.1Atm) wird die mittlere freie Wegl¨ ange der Gasatome und Ionen gr¨ osser

und die Ionen werden auf so hohe Energien beschleunigt, dass sie beim inelastischen Zusammenstoss neu-

trale Molek¨ ule ionisieren k¨ onnen – es entstehen neue Ionen und freie Elektronen, die wiederum ionisieren.

- V 6

I

V

_Z¨und.

Durch die geschilderte Stossionisation entsteht eine selbst¨ andige Ent- ladung, bei der der Strom im Wesentlichen durch die Stossionisation auf- recht erhalten wird. Bei niedrigen Drucken spricht man auch von Glimment- ladung (mit der skizzierten Strom-Spannungs-Charakteristik). Damit eine selbst¨ andige Entladung einsetzen kann, muss eine minimale Z¨ undspannung V

_Z

vorhanden sein, die vom Gasdruck p und Elektrodenabstand d abh¨ angt.

Die von den ionisierenden Elektronen und Ionen zur¨ uckgelegte freie Wegl¨ ange ¯ ` ist umgekehrt proportional zu p, d.h. ¯ ` ∝ 1/p. Man unterscheidet zwei Grenzf¨ alle:

1. Ist ¯ ` d, so m¨ ussen die Elektronen zwischen zwei Zusammenst¨ ossen mit Gasatomen gen¨ ugend Energie erhalten, um ionisieren zu k¨ onnen, d.h. eE ` ¯ = e

^V_d^Z

` > e V ¯

ion

, wobei V

ion

die zur Ionisa- tion n¨ otige Spannung bezeichnet. Die vom Elektron gewonnene Energie eE ` ¯ wird vollst¨ andig ans Gasmolek¨ ul abgegeben, also V

Z

∝ d/` ∝ pd.

2. Ist ¯ ` d und V ≥ V

ion

, so erhalten die Elektronen gen¨ ugend Energie eV , um ionisieren zu k¨ onnen.

Die Wahrscheinlichkeit, mit einem Gasmolek¨ ul zusammenzustossen, ist proportional zur Dichte der Teilchen und dem vorhandenen Volumen zwischen den Elektroden, also ∝ pd. Je kleiner die Wahrscheinlichkeit einer Kollision, umso gr¨ osser muss V

_Z

werden: V

_Z

∝ 1/(pd). V

_Z

(pd) erreicht ein Minimum bei (pd)

_◦

( Gesetz von Paschen ).

V

_z,min

V

_z

pd (pd)

o

Wird die Stromdichte einer Entladung so weit erh¨ oht, dass die Kathode infolge der W¨ armeentwicklung Elektronen emit- tiert, dann geht die Glimmentladung in den Lichtbogen ¨ uber.

Die Charakteristik des Lichtbogens ist fallend. Zunehmendes i f¨ uhrt zu h¨ oherer W¨ armeentwicklung und damit mehr Ladungs- tr¨ agern (. Problem der Stabilisierung eines Lichtbogens z.B.

der Bogenlampe). Anwendungen der Leitung in Gasen sind:

Ionisations-, Vieldraht- und Funkenkammer, Proportionalz¨ ahler, Geigerz¨ ahler, Hochleistungsschalter usw.

5. Anwendungen der Gasentladung f¨ ur Detektoren

Ionisationskammer, Proportionalz¨ ahler, Geigerz¨ ahler, Funkenkammer

C R V +

-

- - - -

+ ++

+

ionisierendes Teilchen

1M

Eine Ionisationskammer kann als Plattenkondensator oder als ein zy- lindrisches Z¨ ahlrohr mit einem d¨ unnen, zentrischen Kathodendraht gebaut werden (s. Fig.). Sie wird mit speziell ausgew¨ ahlten Gasen (CH

4

, Argon) gef¨ ullt. Von einem geladenen durchfliegenden Teilchen werden im Gas Io- nenpaare gebildet, die von der angelegten Spannung V zu einer Platte oder

Plateau 1

N _g N _p

teilweise Rekombination V Auslosebereich Proportionalbereich

"

zum Draht abgezogen werden und am Kondensator C ein schnel- les, negatives Signal der Elektronen sowie ein langsames, positives Signal der Ionen erzeugen. Bei zu niedriger Spannung rekombi- nieren etliche Ionenpaare. In einem Plateau werden alle prim¨ ar gebildeten Ionenpaare N

p

gesammelt (N

g

).

Bei steigender Spannung setzt am Kathodendraht durch Stossionisation eine Gasverst¨ arkung propor-

tional zu N

p

ein (Proportionalbereich), die dann im Ausl¨ osebereich in eine vollst¨ andige Gasentladung

unabh¨ angig von N

p

¨ ubergeht (Ausl¨ osebereich des Geigerz¨ ahlers). Der Strom f¨ uhrt zu einem Spannungs-

abfall ¨ uber R und die Gasentladung bricht ab. Die bei der Entladung gebildeten langsamen Ionen werden

durch L¨ oschgaszus¨ atze gebunden, damit keine ’Nachimpulse’ durch Sekund¨ arelektronen im Detektor auf-

treten.

Eine Funkenkammer ist ein mit Gas gef¨ ullter Plattenkondensator, mit einer Spannung knapp unter dem Durchschlag. Ein durchfliegendes geladenes Teilchen erzeugt eine Ionisationsspur. Mit einem separaten, schnellen Szintillationsz¨ ahler, in dem das durchlaufende Teilchen als Trigger nachgewiesen wird, wird die Hochspannung ¨ uber die Durchschlagsspannung erh¨ oht und es bildet sich ein Funken aus. Der Funken als Ort des Teilchendurchganges kann optisch oder akustisch registriert werden. Die Funkenkammer ist langsam (. . . ms), da nach dem Funken alle Ionen abgesaugt werden m¨ ussen, bevor die Kammer wieder empfindlich ist.

Eine Proportionalkammer ist ein mit Gas gef¨ ullter Plattenkondensator mit gleichm¨ assig angeordneten, d¨ unnen (20-50µ) Kathodendr¨ ahten, die im Propor- tionalbereich arbeiten und keine Stossionisation ausbilden. Der Ort des Teil-

chendurchganges wird elektronisch durch den Draht, an dem ein Signal erzeugt wird, identifiziert. Die Proportionalkammer ist schnell (100ns - 1µs), da die Gasverst¨ arkung sich nur an wenigen Dr¨ ahten aus- bildet. Zwei Kammern mit den Dr¨ ahten senkrecht oder unter einem Winkel zueinander ergeben die Ortsinformation mit der Genauigkeit des Drahtabstandes.

Bei einer Driftkammer wird mit einem zus¨ atzlichen Detektor die Driftzeit der Elektronen zu einem Kathodendraht gemessen, woraus sehr genau (bis 20µ) der Ort des Teilchens bestimmt werden kann.

6. Leitung in Vakuumr¨ ohren

Die Elektrizit¨ atsleitung in Vakuumr¨ ohren ist ein Sonderfall der unselbst¨ andigen Entladung im Hochvaku- um. In einem Photomultiplier werden Elektronen mittels Photoemission durch Licht aus der Kathode herausgel¨ ost und erzeugen einen Strom.

V

_A

i m

R¨ ohren mit geheizter Kathode k¨ onnen durch Thermoemission von Elektronen Strom leiten. Bei der Thermoemission w¨ achst mit steigender Temperatur die ther- mische Energie der Elektronen, so dass die r¨ ucktreibenden Spiegelkr¨ afte an der Metalloberfl¨ ache ¨ uberwunden werden k¨ onnen, Elektronen verdampfen.

i

V

A

Sättigung Die Stromdichte der Gl¨ uhemission ist gegeben durch

J = A T

²

e

^−W/kT

– die Richardson-Gleichung .

k: Boltzmann-Konstante, A = 6.02· 10

⁵

A/m

²

K

²

ist nach der Theorie f¨ ur alle reinen Metalle gleich.

Die Austrittsarbeit der Elektronen, W , ist eine Materialkonstante, die meist in Volt angegeben wird (Energie=eV , vgl. Tabelle). Bei gen¨ ugend hoher Anodenspannung V

A

erreicht der Anodenstrom i den durch die Richardson-Gleichung gegebenen S¨ attigungsstrom.

Metall Austritts- arbeit [V]

Pt 5.36

W 4.53

Ba 2.52

Cs 1.94

V

A

i j

V

G

i

V_G

V_{A gro`} V_{A klein}

Der Anodenstrom kann durch den Einbau eines Gitters als dritte Elektrode gesteuert werden (Triode).

An dem f¨ ur Elektronen durchl¨ assigen Gitter liegt die Gitterspannung V

_G

bez¨ uglich der Kathode. Betrag

und Vorzeichen von V

G

bestimmen den Anodenstrom. Bei einer ausreichenden negativen Gitterspannung

V

G

wird der Anodenstrom i = 0, w¨ ahrend bei zunehmender Gitterspannung i bis zur S¨ attigung zunimmt.