Serie 4 1. Zeigen Sie, dass die Potenzmenge

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Fakultät für Mathematik IAN/IMO

Serie 4

1. Zeigen Sie, dass die PotenzmengeP(M)jeder endlichen MengeM mächtiger alsM ist.

2. Überprrüfen Sie, ob durch folgende Vorschriften R Äquivalenz- bzw. Halbordnungsrelationen über der MengeM definiert werden.

(a) M =N, xRy ⇐⇒ x+ygerade (b) M =N, xRy ⇐⇒ x+yungerade (c) M =N, xRy ⇐⇒ x^<=y

(d) M =Z, xRy ⇐⇒ x−ydurch 3 teilbar (e) M =N, xRy ⇐⇒ xist das Quadrat vony

3. Untersuchen Sie, ob folgende Relationen T über der betreffeden MengeX Äquivalenzrelatio- nen sind und veranschaulichen Sie gegebenenfalls die Äquivalenzklassen.

(a) X=N, mTn⇐⇒sinπm

2 ·sinπn

2 >0 oder|sinπm

2 |+|sinπn 2 |=0;

(b) X=R, xTy⇐⇒[x] = [y], wobei[x]die größte ganze Zahlzmitz^<=xbedeutet;

(c) X=©

(x, y)∈R²|x >0, y >0ª , (x1, y₁)T(x2, y₂)⇐⇒x²₁+y²₁=x²₂+y₂²;

(d) Xsei die Menge aller Geraden einer affinen Ebene, g₁Tg₂⇐⇒g₁∩g₂= /0 oder g₁=g₂.

4. Untersuchen Sie die folgenden Abbildungenf:X→Y auf ihre Eigenschaften:

(a) X= [0,1], Y = [−¹₈,1], f(x) =2x²−x;

(b) X= [1,2], Y = [1,3], f(x) =|x|;

(c) X= [−1,1], Y = [0,1], f(x) =|x|.