1 x = 2

(1)

FH- FH -Lausitz Lausitz

Vorlesung Finanzmathematik Vorlesung Finanzmathematik

Vortrag

Vortrag Numerische Numerische Lö L ösung von Gleichungen sung von Gleichungen bei bei

Prof. Dr. Dr. R.

Prof. Dr. Dr. R.- -R. Redetzky R. Redetzky

bearbeitet durch: Monika Lange / Christiane Marx WI 03 bearbeitet durch: Monika Lange / Christiane Marx WI 03

11. November 2004 von M. Lange und C. Marx 2

1. Bestimme die Nullstellen der folgenden Funktion durch Auflösung der entsprechenden Gleichungen!

a)

y=x5−₃₂

= 0 y

32

0=x⁵− 32=x5

5

32 x =

= 2 x

b)

y=4x³+108

4

3

108 = x

−

27=x3

−

=x

−³ 27

108 4 0= x³+

− 3

= x c)

12 0

12

7 7

−

=

−

= x x y

12=x7

=x

712

42616 ,

=1 x

d)

9 3 0

9 3

−

=

−

=

x

y x

3x

9= _{/ ln} 3 ln 9 ln =x⋅

=x 3 ln

9 ln

=2 x

(2)

256 4 0

256 4

−

=

−

=

x

y x

4x

256=

Zu Aufgabe1.

e)

4 ln 256 ln =x⋅

=x 4 ln

256 ln

= 4 x

f)

256 25 , 0 0

256 25 , 0

−

=

−

=

x

y x

25x

, 0 256=

25 , 0 ln 256 ln =x⋅

=x 25 , 0 ln

256 ln

− 4

= x

g)

173 1 , 12 0

173 1 , 12

−

=

−

=

x

y x

1x

, 12 173=

1 , 12 ln 173 ln =x⋅

=x 1 , 12 ln

173 ln

06693 ,

= 2 x

h)

7 , 0 4 , 0 0

7 , 0 4 , 0

−

=

−

=

x

y x

4x

, 0 7 , 0 =

4 , 0 ln 7 , 0 ln =x⋅

=x 4 , 0 ln

7 , 0 ln

38926 ,

=0 x

=0 y

8 36

² 21

³

2 − + +

= x x x

2. Die Funktion

y

hat eine Nullstelle zwischen den Punkten x₁= 2und x₂= 3. Bestimme einen Näherungswertfür diese Nullstelle mit a) Regula Falsiund b) dem Halbierungsverfahren. Die Schranke liegt bei C = 0,001.

I. x₁= 2

f(x₁) = 12 f(x₂) = -19 x₂= 3

0

2

228

1

⋅ y = − <

y

Æ

Nullstelle

existiert

1 1 2

1 2 1

3

y

y y

x x x

x ⋅

−

− −

= 12 2 , 3870968

12 19

2 2 3

3

⋅ =

−

− −

=

II.

x

47709 , 1 ) 3870968 ,

2

3

= f ( =

y y

₃

= 1 , 47709 > C

Æ

weiter

(3)

III. Iteration

72 , 17 12 47709 , 1 ) ( )

( x

₃

⋅ f x

₁

= ⋅ = f

06 , 28 19 47709 , 1 ) ( )

( x

₃

⋅ f x

₂

= ⋅ − = −

f

Æ

Entscheidung

NST ist zwischen x

₃

und x

₂

3870968 ,

3 2

1 =x =

x

47709 ,

1

= 1 y

2=3 x

2 =−19 y

43131 , 2 47709 , 47709 1 , 1 19

3870968 ,

2 3870968 3 ,

3

2 ⋅ =

−

− −

= x

34843 , 1 ) 43131 , 2

3

= f ( =

y

C

y₃ =1,34843> Æ

weiter

> 0

< 0

IV. Iteration

19917 , 0 47709 , 1 34843 , 1 ) ( )

( x

₃

⋅ f x

₁

= ⋅ =

f

56203 , 2 19 34843 , 1 ) ( )

( x

₃

⋅ f x

₂

= ⋅ − = −

f

Æ

Entscheidung

NST ist zwischen x

₃

und x

₂

43131 ,

3

2

1

= x = x

134843 ,

1

= 0 y

2=3 x

2 =−19 y

435315 ,

2 134843 , 134843 0 , 0 19

43131 , 2 43131 3

,

3

2 ⋅ =

−

− −

= x

011918 ,

0 ) 435315 ,

2

3

= f ( =

y

C

y

₃

= 0 , 011918 >

^Æ

^weiter

> 0

< 0

(4)

226 , 0 19 011918 , 0 ) ( )

( x

₃

⋅ f x

₂

= ⋅ − = −

f

Æ

Entscheidung

NST ist zwischen x

₃

und x

₂

435315 ,

3

2

1

= x = x

011918 ,

1

= 0 y

2=3 x

2 =−19 y

43566 , 2 011918 ,

011918 0 ,

0 19

435315 ,

2 435315 3

,

3

2 ⋅ =

−

− − x =

Æ

weiter

3 1

3) ( ) 0,011918 0,134843 1,60710

(x ⋅f x = ⋅ = ⋅ ⁻

f

3 3

= f ( 2 , 43566 ) = 1 , 05 ⋅ 10

⁻

y

C y

₃

= 1 , 05 ⋅ 10

⁻³

>

> 0

< 0

VI. Iteration

Æ

Entscheidung NST ist zwischen x

₃

und x

₂

43566 ,

3 2

1=x =

x x₂=3

2 =−19 y

Æ

Abbruch

5 3

= f ( 2 , 4357 ) = 9 , 255 ⋅ 10

⁻

y ^y

³

⁼ ⁹ ^, ²⁵⁵ ^⋅ ¹⁰

⁻⁵

^< ^C

5 3

1

3

) ( ) 1 , 05 10 0 , 011918 1 , 25 10

( x ⋅ f x = ⋅

⁻

⋅ = ⋅

⁻

f

019 , 0 19 10 05 , 1 ) ( )

(x₃ ⋅f x₂ = ⋅ ⁻³⋅− =− f

3 1

= 1 , 05 ⋅ 10

⁻

y

4357 , 2 10 05 , 10 1 05 , 1 19

43566 , 2 43566 3

,

2

₃ ³

3

⋅ ⋅ =

⋅

−

− −

=

₋ ⁻

x

4357 ,

0

2

3

= x =

x

> 0

< 0

(5)

2. b) Halbierungsverfahren

Gleichung: y = 2 x

³

− 21 x

²

+ 36 x + 8 Nullstellen zw. x

₁

= 2 und x

₂

= 3

Schranke bei c = 0,001

12

8 2 36 2 21 2 2

1

2 3 1

=

+

⋅ +

⋅

−

⋅

= y y

19

8 3 36 3 21 3 2

2

2 3 2

−

=

+

⋅ +

⋅

−

⋅

= y y

1. Iteration

2

2 1 3

x

x x +

=

5 , 2

2 3 2

3 3

=

= + x

x y(x3)=y(2,5)

( ) ( )

2 ) (

8 5 , 2 36 5 , 2 21 5 , 2 2 ) 5 , 2 (

3

2 3

−

=

+

⋅ +

⋅

−

⋅

= x y y

c

y

₃

>

₂_>₀_,₀₀₁

2

0

1

⋅ y <

y

12⋅(−19)=−228<0

START

WEITER

3

⋅ y y

₁

24 12 ) 2 (

−

=

⋅

−

=

< 0

^y³^⋅^y²⁼⁼⁽³⁸⁻²⁾

^>

^⋅⁽

⁰

⁻¹⁹⁾

Zwischen x

₂

und x

₃

liegen die Nullstellen

2

3

x

x =

12 2

1 1

=

= y x

2 5 , 2

2 2

−

=

= y x

x

₁

und y

₁

werden übernommen

2

0

1

⋅ y <

y

0 24 ) 2 (

12⋅ − =− <

WEITER

(6)

2. Iteration

2

2 1 3

x x =x +

25 , 2

2 5 , 2 2

3 3

=

= + x

x y(x₃)= y(2,25) 46875 , 5 ) (x₃ = y

c

y

₃

>

⁵^,⁴⁶⁸⁷⁵^>⁰^,⁰⁰¹

WEITER

=

⋅ ₁

3 y

y 5,46875⋅12=65,625 ^>⁰

=

⋅ ₂

3 y

y 5,46875⋅(−2)=−131,25<0

Zwischen x1 und x3 liegen die Nullstellen

1

3

x

x =

46875

, 5

25 , 2

1 1

=

= y x

2 5 , 2

2 2

−

=

= y x

2

0

1

⋅ y <

y

₅_,₄₆₈₇₅_⋅₍₋₂₎₌₋₁₀_,₉₄_<₀

WEITER

x

₂

und y

₂

werden aus der 2.Iteration übernommen

3. Iteration

2

2 1 3

x

x =x + 2,375

2 5 , 2 25 , 2

3= + =

x y(x₃)=1,8398

c

y

₃

>

¹^,⁸³⁹⁸^>⁰^,⁰⁰¹

WEITER

=

⋅

₁

3

y

=

⋅

₂

3

y y

0616 , 10

0 12 , 20 <

−

>0

Zwischen x1 und x3 liegen die Nullstellen

1

3

x

x =

8398 , 1

375 , 2

1 1

=

= y x

2 5 , 2

2 2

−

=

= y

x

₂

und y

₂

werden aus der 2.Iteration übernommen

2

0

1

⋅ y <

y

₁_,₈₃₉₈⋅₍−₂₎=−₃_,₆₇₉₆<₀

WEITER

(7)

4.Iteration

2

2 1 3

x

x =x + 2,4375

2 5 , 2 375 , 2

3= + =

x y(x₃)=−0,0552

y

₃

> c

001 , 0 0552 , 0 >

−

WEITER

=

⋅

₁

3

y

=

⋅

₂

3

y y

0 1015 , 0 <

− 2030 ,

0 >0

x

₃

= x

₂

8398 , 1

375 , 2

1 1

=

= y x

0552 , 0

4375 , 2

2 2

−

=

= y x

2

0

1

⋅ y <

y

⁻⁰^,¹⁰²^<⁰

WEITER

5.Iteration

2

2 1 3

x

x =x + 2,40625

2 375 , 2 4375 , 2

3= + =

x y(x₃)=0,8987

c

y

₃

>

⁰^,⁸⁹⁸⁷^>⁰^,⁰⁰¹

WEITER

=

⋅

₁

3

y

=

⋅

₂

3

y y

6535 ,

1 >0 0 0912 , 0 <

−

1

3

x

x =

8987 , 0

40625 , 2

1 1

=

= y x

0552 , 0

4375 , 2

2 2

−

=

= y x

2

0

1

⋅ y <

y

WEITER

6.Iteration

421875 , 2 2

4375 , 2 40625 , 2

3 + =

=

x y₃=0,42336

y

₃

> c

WEITER

=

⋅

₁

3

y

=

⋅

₂

3

y y

3804 , 0

0 0321 , 0 <

−

>0

x

₃

= x

₁

42336 , 0

421875 , 2

1 1

=

= y x

0552 , 0

4375 , 2

2 2

−

=

= y x

2

0

1

⋅ y <

y

WEITER

7.Iteration

4297 , 2 2

4375 , 2 421875 , 2

3= + =

x y₃ =0,1836

y

₃

> c

WEITER

=

⋅

₁

3

y

=

⋅

₂

3

y y

777 , 0 >0

0 292 , 4 <

−

1

3

x

x =

1836 , 0

4297 , 2

1 1

=

= y x

0552 , 0

4375 , 2

2 2

−

=

= y x

2

0

1

⋅ y <

y

WEITER

8. Iteration

0646 , 0

4336 , 2

3 3

=

= y

x

y

₃

> c

WEITER

=

⋅

₁

3

y y

=

⋅

₂

3

y y

0118 , 0 >0

0 10 543 ,

6 ⋅ ⁴ <

− ⁻

x

³

= x

¹

0646 , 0

4336 , 2

1 1

=

= y x

0552 , 0

4375 , 2

2 2

−

=

= y

x

y

₁

⋅ y

₂

< 0

WEITER

(8)

9. Iteration

00472 , 0

43555 , 2

3 3

=

= y

x

y

₃

> c

WEITER

=

⋅

₁

3

y

=

⋅

₂

3

y y

000305 ,

0 >0 0 0000168 ,

0 <

−

1

3

x

x =

WEITER

00472 , 0

4356 , 2

1 1

=

= y x

0552 , 0 4375 , 2

2 2

−

=

= y

x

y

₁

⋅ y

₂

< 0

WEITER

10.Iteration

026 , 0

43655 , 2

3 3

−

=

= y

x

y

₃

> c

WEITER

=

⋅

₁

3

y

=

⋅

₂

3

y y

0 000123 ,

0 <

−

00000677 ,

0 >0

x

₃

= x

₂

WEITER

00472 , 0

4356 , 2

1 1

=

= y x

026 , 0

43655 , 2

2 2

−

=

= y

x

y

₁

⋅ y

₂

< 0

WEITER

11.Iteration

0114 , 0

436075 , 2

3 3

−

=

= y

x

y

₃

> c WEITER ^y

³

_⋅ ^⋅ ^y

¹

⁼ ₌

2 3

y y

0 00005382 ,

0 <

−

00001399 ,

0 ^>⁰

x

3

= x

2

WEITER

00472 , 0

4356 , 2

1 1

=

= y x

0114 , 0

436075 , 2

2 2

−

=

= y

x

y

₁

⋅ y

₂

< 0

WEITER

12.Iteration

001624 , 0

4358 , 2

3 3

−

=

= y

x

y

₃

> c

WEITER

=

⋅

₁

3

y

=

⋅

₂

3

y y

0 00000767 ,

0 <

−

0000000874 ,

0 >0

2

3

x

x =

WEITER

00472 , 0

4356 , 2

1 1

=

= y x

001624 , 0 4358 , 2

2 2

−

=

= y

x

y

₁

⋅ y

₂

< 0

WEITER

13.Iteration

000111 , 0

4357 , 2

3 3

=

= y

x

y

₃

> c

WEITER

=

⋅

₁

3

y

=

⋅

₂

3

y y

000000526 ,

0 >0

0 000000181 ,

0 <

− ³ ¹

x x =

WEITER

00011 , 0

4357 , 2

1 1

=

= y x

001624 , 0

4358 , 2

2 2

−

=

= y

x

14.Iteration

0008097 , 0

43573 , 2

3 3

−

= y x

< c

0

3

x

x =

_Nullstelle

ABBRUCH

(9)

3. Bestimme näherungsweise mit der regula falsieine Nullstellevon y in [1,2], C = 0,001,

1 2

3 ³ ²

5− − + +

=x x x x

y

I. x₁= 1

f(x₁) = -2 f(x₂) = 3 x₂= 2

0

2

6

1

⋅ y = − <

y

Æ

Nullstelle

existiert

1 1 2

1 2 1

3

y

y y

x x x

x ⋅

−

− −

= 2 1 , 4

2 3

1 1 2

3

⋅ − =

+

− −

=

II.

x

37 , 4 ) 4 , 1

3

= f ( = −

y y

₃

= 4 , 37 > C

Æ

weiter

III. Iteration

74 , 8 2 37 , 4 ) ( )

( x

₃

⋅ f x

₁

= − ⋅ − = f

12 , 13 3 37 , 4 ) ( )

( x

₃

⋅ f x

₂

= − ⋅ = −

f

Æ

Entscheidung

NST ist zwischen x

₃

und x

₂

4 ,

3 1

1=x =

x

37 ,

1

= − 4 y

2=2 x

2=3 y

7558 , 1 37 , 37 4 , 4 3

4 , 1 4 2

,

3

1 ⋅ − =

+

− −

= x

96 , 2 ) 7558 , 1

3

= f ( = −

y

C

y

₃

= 2 , 96 >

^Æ

^weiter

> 0

< 0

(10)

947 , 12 37 , 4 96 , 2 ) ( )

( x

₃

⋅ f x

₁

= − ⋅ − = f

88 , 8 3 96 , 2 ) ( )

( x

₃

⋅ f x

₂

= − ⋅ = −

f

Æ

Entscheidung

NST ist zwischen x

₃

und x

₂

7558 ,

3 1

1=x =

x

96 ,

1

= − 2 y

2=2 x

2=3 y

877 , 1 96 , 96 2 , 2 3

7558 , 1 7558 2 ,

3

1 ⋅ − =

+

− − x =

7067 , 0 ) 877 , 1

3

= f ( = −

y

C

y

₃

= 0 , 7067 >

^Æ

^weiter

> 0

< 0

V. Iteration

09 , 2 96 , 2 7076 , 0 ) ( )

( x

₃

⋅ f x

₁

= − ⋅ − = f

12 , 2 3 7067 , 0 ) ( )

( x

₃

⋅ f x

₂

= − ⋅ = −

f

Æ

Entscheidung

NST ist zwischen x

₃

und x

₂

877 ,

3 1

1=x =

x

7067 ,

1

= − 0 y

2=2 x

2=3 y

9149 , 1 7067 , 7067 0 , 0 3

877 , 1 877 2

,

3

1 ⋅ − =

+

− −

= x

266 , 0 ) 9149 , 1

3

= f ( =

y

C

y

₃

= 0 , 266 >

^Æ

^weiter

> 0

< 0

(11)

VI. Iteration

1879 , 0 7067 , 0 266 , 0 ) ( )

( x

₃

⋅ f x

₁

= ⋅ − = − f

532 , 0 3 266 , 0 ) ( )

( x

₃

⋅ f x

₂

= ⋅ =

f

Æ

Entscheidung

NST ist zwischen x

₃

und x

₁

9149 ,

3 1

2=x =

x

266 ,

2

= 0 y

877 ,

1=1 x

7067 ,

1=−0 y

9045 , 1 7067 , 7067 0 , 0 266 , 0

877 , 1 9149 , 877 1 ,

3

1 ⋅ − =

+

− − x =

0167 , 0 ) 9045 , 1

3

= f ( = −

y

C

y

₃

= 0 , 0167 >

^Æ

^weiter

> 0

< 0

VII. Iteration

011 , 0 7067 , 0 0167 , 0 ) ( )

( x

₃

⋅ f x

₁

= − ⋅ − = f

Æ

Entscheidung NST ist zwischen x

₃

und x

₂

9045 ,

3 1

1=x =

x

0167 ,

1

= − 0 y

9149 ,

1=1 x

266 ,

1=0 y

90514 , 1 0167 , 0167 0 , 0 266 , 0

9045 , 1 9149 , 9045 1 ,

3

1 ⋅ − =

+

− −

= x

C y

₃

= 4 , 46 ⋅ 10

⁻⁴

<

4 3

= f ( 1 , 90514 ) = − 4 , 46 ⋅ 10

⁻

y

90514 ,

0

1

3

= x =

x

Æ

Abbruch

3 1

3) ( ) 0,0167 0,266 4,44 10

(x ⋅f x =− ⋅ =− ⋅ ⁻

f

> 0

< 0

(12)

4. Die Funktion

y = 2 x ³ − 21 x ² + 36 x + 8

36 42 6

' = x

²

− x + y

42 12 '

' = x − y

hat eine Nullstelle zwischen den Punkten x₁= 2und x₂= 3. Bestimme die Nullstellemit dem Newton Verfahren.

Die Schranke liegt bei C = 0,001.

x

₁

= 2 f(x

₁

) = 12

I.

24

1

' = − y

18

1

'' = − y

[ ⁾ ^' ⁽ ⁾ ^'' ] ⁽ ⁾ ¹

(

2 1

1

⋅ <

x f

x f x

f 0 , 375

) 24 (

) 18 ( 12

2

=

−

⋅ < 1

ÆStartpunkt geeignet gewählt

I. Iteration

1 1 1

2

y '

x y x = −

24 2 12

2

= − −

x

5 ,

2

= 2 x

2

= − 2 y

7139 , 30

3

' = − y

II. Iteration

5 , 31 5 2 ,

3

2 −

− −

= x

2 2 2

3

y '

x y

x = − x

₃

= 2 , 4365

024699 ,

3

= − 0 y

5 , 31

2

' = −

C y

>

Æ

weiter

2

= 2 y

024699 ,

3

= 0

y > C

Æ

weiter

(13)

III. Iteration

3 3 3

4

y '

x y

x = − ^x

⁴

⁼ ² ^, ⁴³⁶⁵ ⁻ ⁻ ₋ ⁰ ₃₀ ^, ⁰²⁴⁶⁹⁹ _, ₇₁₃₉ 4357

,

4

= 2 x

6 4

= − 4 , 4839 ⋅ 10

⁻

y

< C

^Æ

^Abbruch

6 4

= 4 , 4839 ⋅ 10

⁻

y

4357 ,

0 2

4 = x =

x

36 42 6

' = x

²

− x + y

42 12 '' = x − y

x

₁

= 3 f(x

₁

) = -19

I.

y

₁

' = − 36

6

1

'' = − y

[ ' ( ) ] ¹

) ( '' ) (

2 1

1

⋅ <

x f

x f x

f 0 , 0879

) 36 (

) 6 ( ) 19 (

2

=

−

⋅

− < 1

ÆStartpunkt geeignet gewählt

(14)

1 1 1

2

y '

x y x = −

36 3 19

2

−

− −

= x

4722 ,

2

= 2 x

129 ,

2

= − 1 y

707 , 30

3

' = − y

II. Iteration

162 , 31

129 , 4722 1 ,

3

2 −

− −

= x

2 2 2

3

y '

x y

x = − x

₃

= 2 , 43597

3 3

= − 8 , 199 ⋅ 10

⁻

y

162 , 31

2

' = −

C y

>

^Æ

weiter 129

,

2

= 1 y

3 3

= 8 , 199 ⋅ 10

⁻

y > C

Æ

weiter

III. Iteration

3 3 3

4

y '

x y x = −

707 , 30

10 199 , 43597 8 , 2

3

4

−

⋅

− −

=

⁻

x

4357 ,

4

= 2 x

7 4

= − 4 , 55 ⋅ 10

⁻

y

< C

^Æ

^Abbruch

7 4

= 4 , 55 ⋅ 10

⁻

y

4357 ,

0 2

4 = x =

x

(15)

5. Die Funktion

y=x⁵−3x³−2x²+x+1

hat Nullstellen in der Nähe von a) x=1 und b) x=2. Bestimme diese mit dem Newton-Verfahren (c = 0,001).

1+2 Ableitung bilden

4 18 20 ''

1 4 9 5 '

3 2 4

−

=

+

−

=

x x y

x x x y

1=1 x

2

1 1 1 2 1 3 1

1

2 3 5 1

−

=

+ +

⋅

−

⋅

−

= y y

7 '

1 1 4 1 9 1 5 '

1

2 4 1

−

=

+

⋅

−

⋅

−

⋅

= y y

2 ''

4 1 18 1 20 ''

1 3 1

−

=

−

⋅

−

⋅

= y y

) 1 ( ' (

) ( '' ) (

2 1

1

1 ⋅ <

x f

x f x

f 0,082 1

49 4 ) 7 (

) 2 ( ) 2 (

2 = = <

−

⋅

−

START

1.Integration

1 1 1

2 y'

x y

x = − ₀_,₇₁₄₂₈₆

) 7 (

) 2 1 (

2 =

−

− −

= x

21348 , 0

1 ) 714286 , 0 ( ) 714286 , 0 ( 2 ) 714286 , 0 ( 3 ) 714286 , 0 (

2

2 3

5 2

−

=

+ +

−

= y y

14744 , 5 '

1 714286 , 0 4 ) 714286 , 0 ( 9 ) 714286 , 0 ( 5 '

2

2 4

2

−

=

+

⋅

−

= y y

a)

2.Integration

2 2 2

3 y'

x y

x = − ₀_,₆₇₁₀₅

) 14744 , 5 (

) 21348 , 0 714286 ( ,

3 0 =

−

− −

= x

3 3=−8,3726⋅10⁻ y

74076 , 4 '₃=− y

3.Interation

3 3 3

4 y'

x y

x = − ₀_,₆₇₄₅₈

) 74076 , 4 (

) 10 3726 , 8 672813 ( , 0

3

4 =

−

⋅

− −

= ⁻

x

00003019 ,

4 =−0 y

75845 , 4 '₄=− y

67105 ,

0 0

4=x =

x

001 ,

4

< 0

y Abbruch!!

(16)

b)

3 2

1 1

=

= y x

120 ''

37 '

1 1

=

= y

y 1

) ( ' (

) ( '' ) (

2 1

1

1 ⋅ <

x f

x f x

f 0,263 1

1369 360 )

37 (

120 3

2 = = <

⋅

START

1.Integration

1 1 1

2 y'

x y

x = − ₁_,₉₁₈₉₁₉

37 2 3

2= − =

x

9789 , 27 '

3751547 , 0

2 2

=

= y y

2.Integration

2 2 2

3 y'

x y

x = − ₁_,₉₀₅₅₁

9789 , 27

3751547 , 918919 0 ,

3=1 − =

x

6189 , 26 '

10 15 , 9

3

3 3

=

⋅

= ⁻

y y

3.Integration

3 3 3

4 y'

x y

x = − 1,905166

6189 , 26

10 15 , 90551 9 , 1

3

4= − ⋅ ⁻ =

x

5845 , 26 '

10 9213 , 5

4

6 4

=

⋅

= ⁻

y y

Abbruch!!

x4=x0=¹^,⁹⁰⁵¹⁶⁶

001 ,

4

< 0

y