KZO
AM C6a ; 2003 / Kh
Serie 1
Aufgabe 1: Darstellungen
a) Bestimme die 2×3-Matrix einer schiefen Axonometrie mit folgender Darstellung:
(Die Pfeile seien im Raum 10 H¨auschen lang.)
X
Y
Z O
b) Zeichne die entsprechende Darstellung des Koordinatensystems bei der Matrix A= 0.5 −1 0.5
−1 1 1
! .
Aufgabe 2: Abbildungen Gegeben sind die Matrizen A=
3 4 8 9 1 7 5 2 6
und B =
1 −2 3
−4 5 −6
7 −8 9
.
a) Bestimme das Bild der Gerade g :
x y z
=
1 0 2
+t
0 3 4
bei der Abbildung mit A, mit B sowie mitA•B.
b) Bestimme das Bild der Ebene E: 2x−2y+z−3 = 0 bei der Abbildung mitA, mitB und mit B•A.
Aufgabe 3: Matrizen von Abbildungen
Bestimme die zugeh¨origen Matrizen:
a) Spiegelung an der xy-Ebene.
b) Spiegelung an der z-Achse.
c) Zentrische Streckung vom Nullpunkt mit dem Faktor 3.
d) Axiale Streckung an der x-Achse mit dem Faktor -0.5.
e) Planare Streckung von der xz-Ebene mit dem Faktor 1.5.
f) Normalprojektion auf dieyz-Ebene.
Aufgabe 4: Projektionen
a) Bestimme die Matrix der schiefen Projektion auf die EbeneE : 3x+y−z= 0 in Richtung
1 4
−5
. b) Bestimme die Matrix der normalen Projektion auf die Ebene E : 3x+y−z= 0.
2
Aufgabe 5: Verkn¨upfungen von Abbildungen
Bestimme die zugeh¨origen Matrizen:
a) Planare Streckung von der xy-Ebene mit Faktor -3 und dann Drehung um diez-Achse mit Winkel 90◦. b) Drehung um x-Achse mit Winkel 30◦ und dann axiale Streckung von dery-Achse mit Faktor 2.
c) Normalprojektion auf diexy-Ebene und dann Drehung um diey-Achse mit Winkel 45◦.
Aufgabe 6: Verkn¨upfungen von Bewegungen
Der Punkt P(2,3,−1) wird in der genannten Reihenfolge nacheinander abgebildet:
• Spiegelung am Ursprung
• Drehung um diez-Achse mit Winkel -90◦
• Spiegelung an der y-Achse
• Spiegelung an der Ebene E:x+y= 0
Bestimme die Koordinaten des so erhaltenen Bildpunktes P0 und die Matrix, welcheP in P0 ¨uberf¨uhrt.
Aufgabe 7: Bewegungen
a) Bestimme die Matrix der Achsenspiegelung an der Geraden g:
x y z
=t
2
−1
−2
. b) Bestimme die Matrix der Ebenenspiegelung an der Ebene E: 2x−y−2z= 0.
Aufgabe 8: Fixelemente
Bestimme die Menge aller Fixelemente der folgenden Matrizen:
A=
3 5 3 3 4 5 6 9 8
B =
3 5 3 3 4 5 4 1 8
C=
4 −2 5
−6 5 −10 12 −8 21
D= 19
4 1 8
7 4 −4
−4 8 1
Aufgabe 9: Fixelemente und Parameter
a) F¨ur welchen Wert vons hat die MatrixM =
0 1 4 0.5 0 0 0 s 0
Fixvektoren?
b) Bestimme f¨ur diesen Fall die Menge aller Fixvektoren.
Aufgabe 10: Art der Bewegung
Bestimme bei folgenden Matrizen die Art der beschriebenen Bewegung:
A= 19
−7 4 4
4 −1 8
4 8 −1
B = 19
4 1 8
7 4 −4
−4 8 1
C = 19
1 8 −4
8 1 4
−4 4 7
