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Ubungen zur Elektrodynamik ¨ Aufgabenblatt 12

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Academic year: 2021

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Prof. Dr. R. Verch PD Dr. S. Fritzsche Dr. P. Marecki

. .

Inst. f. Theoretische Physik

UNIVERSITAT LEIPZIG

Sommersemester 2008

Ubungen zur Elektrodynamik ¨ Aufgabenblatt 12

Aufgabe 34

Bestimmen Sie die (kartesischen) Dipol- und Quadrupolmomente f¨ur die Ladungsverteilungen:

(a) ̺(~x) = ̺0 (konstant) falls (x1)2+ (x2)2 ≤R2, 0≤ x3 ≤ h; außerhalb dieses Bereichs ist ̺(~x) = 0.

(b) ̺ = ̺S ist eine konstante Fl¨achenladungsdichte auf der Halbsph¨are (x1)2 + (x2)2 + (x3)2 =R2, x3 ≥0.

[5 Punkte]

Aufgabe 35

Gegeben sei eine Anordnung mit einer perfekt leitenden Kugel zentriert im Ursprung ~x = 0 und einer Punktladung q plaziert bei ~y außerhalb der Kugel.

(a) Formulieren Sie das Randwertproblem f¨ur das elektrostatische Potential ϕ der Anordnung im Außenraum der Kugel.

(b) Zeigen Sie, dass ϕ die Form hat

ϕ(~x) = 1 4πε0

q

|~x−~y| + q

|~x−~y|

mit einem ~y innerhalb der Kugel und geeignetem q. Bestimmen Sie ~y und q aus ~y und q unter Verwendung der Randbedingungen.

(Ansatz: ~y und~y liegen auf einer gemeinsamen Linie durch den Ursprung.)

(c) q/4πε0|~x−~y|entspricht dem Potential einer Punktladung im Inneren der Kugel. Sie wird als “Spiegelladung” bezeichnet. Illustrieren/erl¨autern Sie diese Bezeichnung.

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(d) Bestimmen Sie die Greensche Funktion GD(~x, ~x) f¨ur die perfekt leitende Kugel.

(Ansatz: Schreiben Sie das Ergebnis f¨ur ϕ(~x) in der Form ϕ(~x, ~y) (mit ~y =~y(~y)); ersetzen Sie ~y durch~x.)

[7 Punkte]

Aufgabe 36

Ein leitendes Material nehme ein Volumen VL ein, das wiederum ein Volumen V umschließt.

(VL stellt also eine Berandung endlicher Dicke f¨ur Vdar.) In Vseien keine Ladungen vorhan- den. Was l¨asst sich ¨uber das elektrostatische Feld innerhalb von V allgemein sagen? Was ergibt sich f¨ur den Grenzfall VL →∂V? Welche wichtige (anwendungsrelevante) Konsequenz hat die allgemeine Aussage bei dieser Anordnung?

[3 Punkte]

Abgabe: Am Mittwoch, den 16.7.2008 in der Vorlesung.

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