T ). F¨ ur eine thermische Verteilung an Elektronen l¨ asst sich zeigen, dass die (¨ uber alle Winkel gemittelte) ¨ Anderung der Energie des Photons pro Streuung gegeben ist durch

(1)

Einf¨ uhrung in die Theoretische Astrophysik

WS 18/19 Hausaufgabenblatt V Abgabe bis 10.01., 14:00 Uhr Auf diesem Aufgabenblatt soll die Berechnung der inversen Compton Streuung, sowie die γγ- Paar-Absorption und das L¨ osen von kinetischen Gleichungen ge¨ ubt werden. Wir w¨ unschen Ihnen allen frohe Weihnachten und einen guten Rutsch ins neue Jahr!

Aufgabe 12:

Betrachtet sei die wiederholte Compton Streuung zwischen thermischen Elektronen der Tempe- ratur T und einer thermische Photonverteilung mit der differentiellen Teilchendichte dn/d ∝ ² exp(− _k

B

T ). F¨ ur eine thermische Verteilung an Elektronen l¨ asst sich zeigen, dass die (¨ uber alle Winkel gemittelte) ¨ Anderung der Energie des Photons pro Streuung gegeben ist durch

∆

= −

mc ² + α k _B T

mc ² . (1)

Im Folgenden sei angenommen, dass die Wechselwirkungen in dem betrachteten Medium von Streuprozessen dominiert werden. So l¨ asst sich die mittlere Anzahl N an Streuungen durch die optische Dicke τ _es f¨ ur Elektron Streuung absch¨ atzen zu N ' Max(τ _es , τ _es ² ).

(a) Bestimmen sie zun¨ achst den Koeffizienten α in Gl. (1) ausgehend davon, dass die Elektro- nen und Photonen im thermischen Gleichgewicht sind, so dass kein Netto-Energiegewinn stattfindet, d.h. h∆i = 0 ist.

(b) Zeigen Sie anschließend, dass alle Photonen mit einer anf¨ anglichen Photonenergie _i k _B T durch die wiederholte, inverse Compton Streuung eine charakteristische Energie von

_f ' _i exp (y) (2)

beim Entweichen aus dem Volumen aufweisen. Dabei ist der Compton Parameter y = 4 k _B T

mc ² τ _es ² , (3)

wenn das betrachtete Medium optisch dick in Bezug auf Elektron Streuung ist.

Offensichtlich steigt _f rapide mit ansteigendem τ _es an, wobei die Effizienz der inversen Compton Streuung durch den Parameter y beschrieben wird. Ab einer bestimmten Energie _max stellt sich allerdings ein kritischen Wert τ _crit ein und das Photon kann nicht mehr an Energie gewinnen - die Comptonisierung ist ’ges¨ attigt’.

(c) ¨ Uberlegen Sie sich, ausgehend von den gegebenen Gleichungen, bis zu welcher Energie _max das Photon an Energie gewinnen kann und berechnen Sie damit anschließend τ _crit .

Aufgabe 13:

F¨ ur eine ein isotropes, monoenergetisches Photonfeld der (dimensionslosen) Energie ₀ = hν ₀ /(m _e c ² ) mit der spezifischen Photonenintensit¨ at I() = I ₀ δ( − ₀ ) und eine isotrope Elektronenvertei- lung der Teilchendichte n _e , haben Sie bereits in der letzten Anwesenheits¨ ubung den Emissions- koeffizienten

j ( ₁ ) ≡ dN

dt dV d ₁ = n _e σ _T I ₀ 4 ² ₀ γ ² β ²



 

 

(1 + β)

¹

0

− (1 − β) , f¨ ur ^1−β _1+β <

¹

0

< 1 , (1 + β) −

¹

0

(1 − β) , f¨ ur 1 <

¹

0

< ^1+β _1−β ,

0 , sonst.

(2)

bestimmt.

Berechnen Sie die Gesamtzahl der emittierten Photonen (pro Zeit und Volumen).

Aufgabe 14:

Das Universum ist mit der kosmischen Hintergrundstrahlung (CMB) erf¨ ullt. Die durschnittliche Energie eines CMB-Photons ist E _CMB = 0.634 meV. Die Anzahldichte der CMB-Photonen be- tr¨ agt n _CMB = 411 cm ⁻³ . So k¨ onnen hochenergetische Gammaquanten mit den CMB-Photonen kollidieren und ein Elektron-Positron-Paar erzeugen. Der Wirkungsquerschnitt f¨ ur diesen Pro- zess ist σ = σ _T /3. Hier ist σ _T der klassische Thomson-Wirkungsquerschnitt.

(a) Welche Energie ben¨ otigen Gammaquanten, damit ihre Lebenszeit im Universum durch diesen Prozess begrenzt ist?

(b) Welches ist die mittlere freie Wegl¨ ange f¨ ur die Gammaquanten f¨ ur den Paarbildungspro- zess? Diskutieren Sie anschließend, ob Gammaquanten aus Galaktischen Quellen durch diesen Prozess annihiliert werden k¨ onnen bevor diese die Erdatmosph¨ are erreichen.

Aufgabe 15:

Die allgemeine, kinetische Gleichung f¨ ur eine differentielle Teilchendichte n(E) = dn/dE ist beschrieben durch

∂

∂E ( ˙ E n(E)) = q(E) − n(E)

T (E) . (4)

Dabei werden Prozesse die zu einem kontinuierlichen Energieverlust oder -gewinn f¨ uhren durch den Term auf der linken Seite beschrieben, wohingegen q(E) eine Quellrate bezeichnet und der zweite Terme auf der rechten Seite den Einfluss von katastrophalen Verlustprozessen.

(a) L¨ osen Sie die Differentialgleichung und zeigen Sie, dass die (nahezu) allgemeine L¨ osung gegeben ist durch

n(E) = 1 E ˙

Z E

dE ⁰ q(E ⁰ ) exp

− Z E

E

⁰

dE ⁰⁰ T (E ⁰⁰ ) ˙ E(E ⁰⁰ )

. (5)

Dabei kann es hilfreich sein, die folgenden Gr¨ oßen einzuf¨ uhren F (E) = ˙ E n(E) and τ =

Z E

dE ⁰ E(E ˙ ⁰ ) .

(b) Im Grenzfall ˙ E = 0 ist die vorangegangene L¨ osung (5) allerdings nicht g¨ ultig. Bestimmen Sie daher die (triviale) L¨ osung f¨ ur den globalen Fall, dass ˙ E ≡ 0. Geben Sie anschließend f¨ ur den Fall lokaler Nullstellen E _i von ˙ E die L¨ osung der Differentialgleichung (4) f¨ ur E = E _i an.

(c) Betrachten Sie Elektronen in der Beschleunigungsumgebung eines AGN Jets, wo ˙ E = a E − b E ² , mit a = konst, b = konst, entsprechend der Fermi-Beschleunigung und der Synchrotronk¨ uhlung. Alle Elektronen besitzen eine initiale Energie E 0 a/b, so dass q(E) = q ₀ δ(E − E ₀ ). Zudem verlassen die Teilchen den Jet nach einer konstanten Zeit T = T ₀ .

Bestimmen Sie die Teilchendichte n(E) der relativistischen Elektronen. Welche Randbe-

dingung in Bezug auf die Entweichzeit T ₀ und die Beschleunigungsrate a muss gelten, um

n(E) ∝ E ⁻² zu erhalten?

T ). F¨ ur eine thermische Verteilung an Elektronen l¨ asst sich zeigen, dass die (¨ uber alle Winkel gemittelte) ¨ Anderung der Energie des Photons pro Streuung gegeben ist durch

Einf¨ uhrung in die Theoretische Astrophysik

Aufgabe 12:

Betrachtet sei die wiederholte Compton Streuung zwischen thermischen Elektronen der Tempe- ratur T und einer thermische Photonverteilung mit der differentiellen Teilchendichte dn/d ∝ 2 exp(− k

T ). F¨ ur eine thermische Verteilung an Elektronen l¨ asst sich zeigen, dass die (¨ uber alle Winkel gemittelte) ¨ Anderung der Energie des Photons pro Streuung gegeben ist durch

∆

= −

mc 2 + α k B T

mc 2 . (1)

Im Folgenden sei angenommen, dass die Wechselwirkungen in dem betrachteten Medium von Streuprozessen dominiert werden. So l¨ asst sich die mittlere Anzahl N an Streuungen durch die optische Dicke τ es f¨ ur Elektron Streuung absch¨ atzen zu N ' Max(τ es , τ es 2 ).

(a) Bestimmen sie zun¨ achst den Koeffizienten α in Gl. (1) ausgehend davon, dass die Elektro- nen und Photonen im thermischen Gleichgewicht sind, so dass kein Netto-Energiegewinn stattfindet, d.h. h∆i = 0 ist.

(b) Zeigen Sie anschließend, dass alle Photonen mit einer anf¨ anglichen Photonenergie i k B T durch die wiederholte, inverse Compton Streuung eine charakteristische Energie von

f ' i exp (y) (2)

beim Entweichen aus dem Volumen aufweisen. Dabei ist der Compton Parameter y = 4 k B T

mc 2 τ es 2 , (3)

wenn das betrachtete Medium optisch dick in Bezug auf Elektron Streuung ist.

(c) ¨ Uberlegen Sie sich, ausgehend von den gegebenen Gleichungen, bis zu welcher Energie max das Photon an Energie gewinnen kann und berechnen Sie damit anschließend τ crit .

Aufgabe 13:

j ( 1 ) ≡ dN

dt dV d 1 = n e σ T I 0 4 2 0 γ 2 β 2



 

 

(1 + β)

− (1 − β) , f¨ ur 1−β 1+β <

< 1 , (1 + β) −

(1 − β) , f¨ ur 1 <

< 1+β 1−β ,

0 , sonst.

bestimmt.

Berechnen Sie die Gesamtzahl der emittierten Photonen (pro Zeit und Volumen).

Aufgabe 14:

(a) Welche Energie ben¨ otigen Gammaquanten, damit ihre Lebenszeit im Universum durch diesen Prozess begrenzt ist?

(b) Welches ist die mittlere freie Wegl¨ ange f¨ ur die Gammaquanten f¨ ur den Paarbildungspro- zess? Diskutieren Sie anschließend, ob Gammaquanten aus Galaktischen Quellen durch diesen Prozess annihiliert werden k¨ onnen bevor diese die Erdatmosph¨ are erreichen.

Aufgabe 15:

Die allgemeine, kinetische Gleichung f¨ ur eine differentielle Teilchendichte n(E) = dn/dE ist beschrieben durch

∂

∂E ( ˙ E n(E)) = q(E) − n(E)

T (E) . (4)

Dabei werden Prozesse die zu einem kontinuierlichen Energieverlust oder -gewinn f¨ uhren durch den Term auf der linken Seite beschrieben, wohingegen q(E) eine Quellrate bezeichnet und der zweite Terme auf der rechten Seite den Einfluss von katastrophalen Verlustprozessen.

(a) L¨ osen Sie die Differentialgleichung und zeigen Sie, dass die (nahezu) allgemeine L¨ osung gegeben ist durch

n(E) = 1 E ˙

Z E

dE 0 q(E 0 ) exp

− Z E

E

dE 00 T (E 00 ) ˙ E(E 00 )

. (5)

Dabei kann es hilfreich sein, die folgenden Gr¨ oßen einzuf¨ uhren F (E) = ˙ E n(E) and τ =

Z E

dE 0 E(E ˙ 0 ) .

Bestimmen Sie die Teilchendichte n(E) der relativistischen Elektronen. Welche Randbe-

dingung in Bezug auf die Entweichzeit T 0 und die Beschleunigungsrate a muss gelten, um

n(E) ∝ E −2 zu erhalten?

Betrachtet sei die wiederholte Compton Streuung zwischen thermischen Elektronen der Tempe- ratur T und einer thermische Photonverteilung mit der differentiellen Teilchendichte dn/d ∝ ² exp(− _k

mc ² + α k _B T

mc ² . (1)

Im Folgenden sei angenommen, dass die Wechselwirkungen in dem betrachteten Medium von Streuprozessen dominiert werden. So l¨ asst sich die mittlere Anzahl N an Streuungen durch die optische Dicke τ _es f¨ ur Elektron Streuung absch¨ atzen zu N ' Max(τ _es , τ _es ² ).

(b) Zeigen Sie anschließend, dass alle Photonen mit einer anf¨ anglichen Photonenergie _i k _B T durch die wiederholte, inverse Compton Streuung eine charakteristische Energie von

_f ' _i exp (y) (2)

beim Entweichen aus dem Volumen aufweisen. Dabei ist der Compton Parameter y = 4 k _B T

mc ² τ _es ² , (3)

(c) ¨ Uberlegen Sie sich, ausgehend von den gegebenen Gleichungen, bis zu welcher Energie _max das Photon an Energie gewinnen kann und berechnen Sie damit anschließend τ _crit .

j ( ₁ ) ≡ dN

dt dV d ₁ = n _e σ _T I ₀ 4 ² ₀ γ ² β ²

− (1 − β) , f¨ ur ^1−β _1+β <

< ^1+β _1−β ,

dE ⁰ q(E ⁰ ) exp

dE ⁰⁰ T (E ⁰⁰ ) ˙ E(E ⁰⁰ )

dE ⁰ E(E ˙ ⁰ ) .

dingung in Bezug auf die Entweichzeit T ₀ und die Beschleunigungsrate a muss gelten, um

n(E) ∝ E ⁻² zu erhalten?