Ladungsverteilung in Kernen und
im Nukleon: Formfaktoren
Wiederholung:
Rutherford- und Mott-Streuung
Streuung gegeben durch:
( )
( ) ( )
sin 2 4
4 0 2 2 4
2 2
πε ϑ σ
Rf Ekin
zZe d
d =
Ω
erhält man durch Fermis „Goldene Regel“:
2 Annahmen: 1. kein Rückstoß => Dreierimpulse
2. Bornsche Näherung: Wellenfunktion der Teilchen gegeben durch ebene Wellen :
r h r /
1 ipx
i e
= V
Ψ
h
r r' /
1 ip x
i e
= V Ψ
Fermis Goldene Regel:
Reaktionsrate W ist gegeben durch:
⋅
= Ψ
Ψ
= V
v dE
H dn W
f i
f
σ
π
2 2
h int
I II
• H: Hamiltonoperator, der die Wechselwirkung des Stoßes beschreibt
• II: Anzahl der möglichen Energiezustände pro Energieintervall
zu II:
3 2
) 2 ( 4
πh π v
p V dE
dn
f
⋅
= ⋅
V: Normierungsvolumen; v: Geschwindigkeit der Projektile
⋅
= Ψ
Ψ
= V
v dE
H dn W
f i
f
σ
π
2 2
h int
I II
zu I: Hamiltonoperator sei gegeben durch eΦ, dann folgt:
i
f H Ψ
Ψ int e d x
V x e
d e
V e
e ip'x/ ipx/ 3 i(p' p)x/ 3
∫
∫
− Φ = Φ − −= r r h rr h r r r h
x d V e
e iqx/ 3
∫
Φ −= rr h
: Impulsübertrag nach Anwendung des Greenschen Theorems folgt:
Ladungsdichte des Targets ρ(r) = Z e f(r), wobei f(r) die normierte Ladungsverteilungsfunktion ist
i
f H Ψ
Ψ int e r d x
q V
e iqx/ 3
2 0
)
∫
− (= r
r h
r
r ρ
ε
p p qr = r'− r
x d e
r q f
V
H i Ze iqx
f
3 / 0
2 2
int (r) rr h
h r ⋅
⋅
= ⋅ Ψ
Ψ ε
∫
insgesamt gilt dann für die Reaktionsrate:
( )
2 3 / 0
2 2 3
2
) 2 (
2 4
⋅ ⋅
⋅
⋅ ⋅
=
⋅ =
∫
f r e d xq V Ze v
p W V
V
v r iqrxr h
h r h
r
h π ε
π π σ
II I
• Integral =: F(q) heißt Formfaktor. Er ist die
Fouriertransformierte der Ladungsverteilungsfunktion f(r)
• Reaktionsrate in diff. Wirkungsquerschnitt umschreiben, dann gilt:
2 4
2 2 2 2
) ) (
(
4 F q
c q
E c Z
d
dσ = hr ⋅α Ω
mit E = |p|c und a: Feinstrukturkonstante
2 4
2 2 2 2
) ) (
(
4 F q
c q
E c Z
d
d r
hr α
σ = ⋅
Ω F(qr) =
∫
f (rr)⋅eiqrxr/hd3x Diskussion:• Für die Rutherfordstreuung wird F(q) = 1, da f(r) eine Deltafunktion ist (punktförmige Ladungsverteilung)
sin 2 4
) (
4 2 2 2
ϑα σ
E c Z
d d
Rutherford
= ⋅
Ω
h
• In der Praxis:
diff. WQ messen => Formfaktor F(q) => Ladungsverteilung f(r)
• Spin des Teilchens bisher nicht berücksichtigt
Mott-Streuung
bisher: Spin nicht beachtet
jetzt: Spin des Projektils wird berücksichtigt
diff. Wirkungsquerschnitt eines Spin-Teilchens ist gegeben durch:
• macht Streuung um 180° unmöglich, da sonst Helizität keine Erhaltungsgröße mehr wäre
• Spin des Kerns = 0
−
⋅
= Ω
Ω 1 2 sin2 2
* σ β ϑ
σ
Rutherford
Mott d
d d
d
Im Experiment gilt:
Ladung der Atomkerne ist nicht punktförmig Formfaktor F(q) ≠ 1
für den diff. Wirkungsquerschnitt gilt somit:
* 2 exp
) (q d F
d d
d
Mott
⋅
= Ω
Ω
σ σ
bzw. mit eingesetzter Mott-Streuung:
2 2 2
4 2
2 2 2
exp
) 2 (
sin 1
sin 2 4
)
( F q
E c Z
d
d ⋅
−
= ⋅
Ω
β ϑ ϑ
α
σ h
Differentieller
Wirkungsquerschnitt
von
40Ca
mittlerer Ladungsradius des Kerns:
Entwicklung von F(q2) nach Potenzen von |q| ergibt:
∫
∫
∞∞
+
⋅
−
⋅
=
0
4 2
2
0
2
2 4 ( )
6 ) 1
( 4
)
( L
h f r r dr dr q
r r f q
F π π
1 <r2>
h +L
−
=
2 2 2
6 1 1 )
( q r
q
F =
∫
∞ ⋅0
2 2
2 4 r f (r) r dr
r π
0 2
2 2
2 2 2
2
2
) 6 (
) 6 (
=
−
=
−
=
dq q
q dF q
q
r h F h
• mittlerer Ladungsradius ist dann durch die Wurzel gegeben
• Ladungsverteilung ist näherungsweise durch Fermi-Verteilung gegeben
a c
e r
r f
f ( )/
1
) 0 ) (
( −
= + a = 0,54 fm c = 1,07 fm ⋅ A1/3
diff. WQ für Nukleonen
Ausgangspunkt: Mott-Streuung
• aber Rückstoß berücksichtigen!!
um Struktur der Kerne (0,8 fm) zu unter suchen benötigt man Energien von einigen GeV
Masse der Nukleonen ≈ 938 MeV/c2
E E d
d d
d
Mott Mott
* '
= Ω
Ω
σ σ
diff. WQ für Nukleonen
• magnetisches Moment des Targets muss berücksichtigt werden, da nicht nur elektr. WW auftritt, sondern auch durch Strom von
Elektron und Nukleon magn. WW
• innere Struktur bleibt zunächst unberücksichtigt
=> Teilchen ist punktförmig (Dirac-Teilchen)
• durch magn. Moment bekommt die Formel einen zusätzlichen Term
∼sin2ϑ/2
+
= Ω
Ω 1 2 tan2 2
2 / 1
τ ϑ σ
σ
Spin Mott
Punkt d
d d
d
2 2
2
4M c
= Q τ
Die Rosenbluth-Formel
+ ⋅
+
⋅
+
= Ω
Ω → 2 ( )tan( / 2)
1
) ( )
) (
( 2 2
2 2
2
2 τ ϑ
τ τ σ
σ G Q G Q G Q
d eN d
d eN d
M M E
Mott
2 2 2
4M c
= Q τ Formel enthält:
• Elektrischen Formfaktor GE, der über die Ladungsverteilung Auskunft gibt.
• Magnetischer Formfaktor GM, der die Momentverteilung enthält.
Beide sind abhängig von Q2 = -q2 und sind auf die Elementarladung e bzw. auf das Magnetische Moment µ des Teilchens normiert.
Magnetische Momente für Neutron und Proton:
N N
p p
g µ µ
µ 2,79
2 = +
=
N N
n n
g µ µ
µ 1,91
2 = −
=
Betrachte Q = 0:
Nukleon Neutron Proton magn. Formfaktor GM GMn (Q2 = 0) = −1,91 GMp (Q2 = 0) = 2,79
elektr. Formfaktor GE GEn(Q2 = 0) = 0 GEp(Q2 = 0) =1
Im Grenzfall einer punktförmigen Ladung geht GM = GE , so dass der diff. Wirkungsquerschnitt übergeht in:
+
= Ω
Ω 1 2 tan2 2
2 / 1
τ ϑ σ
σ
Spin Mott
Punkt d
d d
d
Exp. Bestimmung der Formfaktoren:
+ ⋅
+
⋅
+
= Ω
Ω → 2 ( )tan( /2)
1
) ( )
) (
( 2 2
2 2
2
2 τ ϑ
τ τ σ
σ G Q G Q G Q
d eN d
d eN d
M M E
Mott
teilt man die Rosenbluth-Formel durch (dσ/dΩ)Mott so erhält man eine Gleichung der Form:
bX a
Y = +
mit Q = const X = tanϑ/2
=> Auftragen von Y gegen X
• GM erhält man dann aus der Steigung
• GE wird dann bei bekanntem GM aus dem Achsabschnitt ϑ = 0 berechnet
Exp. Bestimmung der Formfaktoren:
es zeigt sich: alle 3 Formfaktoren (GEp, GEn und GMn) sind in gleicher Weise von Q2 abhängig.
Sie werden durch den sogenannten Dipolfit beschrieben:
2 2 2 2
2 2
2 2
) / (
71 , 1 0 )
(
) 91 (
, 1
) ( 97
, 2
) ) (
(
−
+ ⋅
=
− =
=
=
c GeV Q Q
G
Q Q G
G Q
Q G G
Dipol
Dipol n
M p
p M E
Bei kleinen Werten von Q gilt auch hier:
• G(Q2) ist Fouriertransformierte der Ladung bzw. des magn.
Momentes; Transformation => g(r): Verteilungsfunktion
• Dipolformfaktor entspricht exponentiell abfallende Verteilung:
e r
g r
g( ) = (0)⋅ −α
