Rutherford Streuung

Rutherford Streuung

Historisch: Streuung von α-Teilchen an Metallfolien Ernest Rutherford , 1906

Allgemein: Streuung geladener Teilchen an anderen geladenen Teilchen unter der Wirkung der Coulomb-Kraft.

F

F

r

q

= Z

·e

q

= Z

·e

12 2 2

0 12 2 1 2

1

1 ˆ

4 F

F ^r

r e

Z

Z ⋅ ⋅ = −

ε π

⋅

− ⋅

=

Zentralkraft, entlang der Verbindungslinie.

α-Teilchen aus radioaktiven Präparaten waren historisch die bevorzugten Projektile.

Z₁ = +2e Masse M₁ = 4 amu E₁ ≈ 5 MeV

Darf man bei der Rutherford-Streuung nicht-relativistisch rechnen?

Geschwindigkeit der α-Teilchen:

s 10 m 55 . MeV 1

5

v 2

1

1

= ⋅ = ⋅

M e

051 .

v c

= 0

1 v

2

1 ⎟ = = −

⎠

⎜ ⎞

⎝

−⎛ c

Nicht-relativistische Rechnung ist noch zulässig!

Reichweite von α-Teilchen mit E = 5MeV in Luft: ca. 3.5 cm

Dichte der Luft bei Normalbedingungen:

Unter der Annahme, daß die mittlere Ionisationsenergie für die Luftmoleküle ca. 35 eV beträgt, kann man die Zahl der Stöße N eines α-Teilchen berechnen:

3 25 23

0 2.69 10 m

4 . 22

10 02 .

6 1

mol mol

1

⋅

⋅ =

= l

n

Mittlere Zahl der Stöße eines

1 . 42 10

eV

35 MeV

5 = ⋅

= N

3.5 cm

Fläche A

Im Volumen A·3.5cm sind n

·A·3.5cm Luftmoleküle vorhanden.

Die Zahl der „Trefferstöße“ N = 1.42·10

. Der totale Wirkungsquerschnitt für einen Stoß ist also:

19 2 2

3 25

5

0

m 10

5 . 1 m

10 5 . m 3 10 69 . 2

10 42 . 1 cm

5 .

3

−

−

= ⋅

⋅

⋅

⋅

= ⋅

⋅

⋅ ⋅

=

σ n A

A N

„Ionisationsradius“: π r

= σ r

= 2.2·10

m

Rutherford Versuch:

Streuung von α-Teilchen an dünnen Metallfolien (z.B. Goldfolien, weil sich Gold sehr dünn ohne Löcher zu Folien verarbeiten läßt).

Annahme: Ionisationsquerschnitte sind ähnlich wie bei Luft.

Reichweite in Gold: d

/ρ

·3.5cm

= 1.29kg/m

= 19.3·10

kg/m

d

2.3·10

m = 2.3µm.

D.h. man benötigt sehr dünne Goldfolien.

Schematische Streuanordnung:

Metallfolie

Detektor

Radioaktives Präparat

α-Teilchen

Historisch (1906): Detektor war eine Kombination aus:

Szintillationsschirm + Lupe

+ menschliches Auge

+ Gehirn (Zähler ) Wichtigstes Meßergebnis:

Es gibt Streuereignisse bei großen Winkeln ϑ bis 180°.

Die meisten Teilchen werden jedoch unter ganz kleinen Winkeln gestreut.

1/sin⁴(ϑ/2) divergiert sogar für ϑ → 0

Die Rutherford‘sche Streuformel kann mit folgenden Annahmen hergeleitet werden:

1. Das Atom hat einen positiv geladenen Kern, Ladung +Z₂·e 2. Praktisch die gesamte Masse des Atoms ist in diesem Kern.

3. Der Kern hat einen Radius von ~ 10^-14m

4. Auf das α-Teilchen (Projektil) wirkt ausschließlich die Coulomb-Kraft durch das elektrische Feld.

r r r

e

E ⋅ Z ⋅

= πε

4

1

Da die Atomradien ca. 10^-10m betragen, ist das Volumen des Kerns V_kern zum Atomvolumen V_atom sehr klein:

12 3

10 14

atom

kern

10

m 10

m

10

−

−

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

≈ ⎛ V

V

Das Innere des Atoms ist fast vollständig leer!

Neutralität des Atoms nach außen: Um den Kern befinden sich Z₂ negative Elementarladungen, Elektronen, mit verschwindend kleiner Masse.

Sehr knappe Herleitung der Rutherford-Streuformel

Stoßparameter p:

Kraft F immer in Richtung r Drehimpulserhaltung.

Drehimpuls: M·

x r = M·v

·r·sin(ϕ)

≈

M·v

·r·p/r = M·v

·p

Aus der Drehimpulserhaltung kann nun ein Zusammenhang zwischen dem Stoßparameter p und dem Streuwinkel ϑ hergeleitet werden.

Eine Herleitung findet man z.B. in Haken/Wolf, Atom- und Quantenphysik, S.44-46 . Man erhält:

) v cot(

4 2

2 1

2 0 0

2 2

⋅ ⋅ ϑ

= πε

M e

p Z

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0 2 4 6 8 10 12

cot(Streuwinkel/2)

Streuwinkel

2 2

2 2

0 0

2 1 1

4 2 v sin ( /2)

dp Z e d

M ϑ

πε ϑ

= − ⋅

Um die Zahl der „Treffer“ im Bereich p , p +dp zu berechnen, benötigt man die Ableitung:

ϑ d dp

Damit kann man jetzt den differentiellen

Wirkungsquerschnitt berechnen.

dΩ

ϑ

dϑ p

dp

Differentieller Wirkungsquerschnitt

Fläche: da = 2πp·dp (Kreisring)

Dünne Folie, Dicke D, Fläche A

N : Dichte der Goldatome (pro Volumeneinheit)

„Aktive Fläche“: dA = 2πp·dp·N·D·A

dΩ

ϑ

dϑ p

dp

Wahrscheinlichkeit für einen Stoß unter dem Winkel ϑ , ϑ - d ϑ:

he Gesamtfläc

Fläche Aktive

2 =

=

= N D p dp

A

W dA π

Das Raumwinkelelement dΩ ist im wesentlichen: (

)

Werden n α-Teilchen pro Zeiteinheit „eingeschossen“:

Ω

⋅

⋅ ϑ ⋅

πε ⋅ Ω =

ϑ D N d

M e Z n

d

dn ( )

) 2 / ( sin

1 )

v (

4 ) 4

(

4 )

, (

2 4 02 2

0

4 2 2

Mit E_kin = 1/2Mv₀² und Z₂ = 2 ( für α-Teilchen) erhält man den Rutherford-WQ:

) ( sin

1 ) 16

(

2 1

4 2

0

2 1 2

⋅ ϑ

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

⋅ πε

⋅

= ⋅ Ω ⋅

Ω = σ

E

e Z

Z d DN

n dn d

d

Charakteristisch:

1/E

∝

1/sin

(ϑ/2)

Diese starke Winkelabhängigkeit erfordert Messungen über einen weiten Dynamikbereich

!

Wichtigste experimentelle Befunde:

Coulomb-Gesetz ist auch noch für sehr kleine Stoßparameter p (große ϑ nahe 180°) erfüllt.

R

< 6·10

m

Abweichungen (anomale Rutherford-Streuung) bei E

> 5 MeV und großen Streuwinkeln ϑ .

Kernradius kann bestimmt werden.

Einfluß der Kernkräfte ab R ≅ 10

m

Dichte der Kerne: 10

mal Atomdichte!