Aufgabenlösungen zu Kapitel 1 bis 3

(1)

Inhaltsverzeichnis:

Aufgabenlösungen zu Kapitel 1 bis 3 ... 2

Lösung zu Aufgabe 1 ... 2

(2)

Aufgabenlösungen zu Kapitel 1 bis 3

Lösung zu Aufgabe 1

- wenn bei einer Vollerhebung der Aufwand (Zeitaufwand, Kostenaufwand) zu groß ist,

- wenn nicht alle statistischen Einheiten für eine Vollerhebung erreichbar sind, - bei zerstörenden Prüfungen (Untersuchung auf Haltbarkeit,

Geschmacksprüfungen),

- wenn eine Vollerhebung nicht genauer ist, als eine Teilerhebung (z.B. Prognose über Kaufverhalten in 2 Jahren).

a) Zufallsstichprobe: Jedes Objekt der Grundgesamtheit hat die gleiche Wahrscheinlichkeit in die Stichprobe zu gelangen.

b) Schichtenstichprobe (stratified sampling): Die Grundgesamtheit wird auf Basis einer oder mehrerer Merkmale in Schichten eingeteilt.

c) Klumpenstichprobe (cluster sampling): Aus der Grundgesamtheit werden Gruppen (Klumpen) von statistischen Einheiten (meist Personen) zufällig ausgewählt.

Innerhalb dieser Klumpen wird dann eine Vollerhebung durchgeführt.

d) Repräsentative Stichprobe (Quotenverfahren): Die Stichprobe enthält die Werte gewisser Merkmale mit den gleichen Quoten, wie in der Grundgesamtheit.

1. Stufe: Einteilung aller Schüler in Bundesländer und Schulformen entspricht einer Schichtenstichprobe.

2. Stufe: Zufallsauswahl von konkreten Schulen innerhalb eines Bundeslandes und einer Schulform entspricht einer Klumpenstichprobe.

a) 18,4

b) - berichtigen (wenn gut begründete Spekulation), - streichen,

- durch Mittelwert der nicht fraglichen Daten ersetzen.

c) - streichen,

- durch Mittelwert der nicht fraglichen Daten ersetzen, - ergänzen (wenn bekannt).

(3)

Lösung zu Aufgabe 5 a)

Umsatz pro Verkaufsfläche

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6

Verkaufsfläche in 1000 qm

Umsatz in Mio EUR

Beim Datensatz 5 handelt es sich mit großer Wahrscheinlichkeit um einen Ausreißer.

a) - streichen oder

- ersetzen durch Wert, der durch Interpolation (linear, kubisch) der vorhergehenden Werte zustande kommt.

Merkmal Merkmalsausprägung Merkmalstyp

Herstellername HP, IBM, Lexmark, … qualitativ-nominal

Preis 0 - 10 000 EUR quantitativ - stetig oder

quantitativ - diskret

Gewicht 0 - 10 kg quantitativ - stetig

Seitenzahl pro Minute

0 - 100 Seiten quantitativ - diskret

Gesamturteil Sehr gut, gut, mittel, schlecht, sehr schlecht

qualitativ ordinal

(4)

Merkmalsträger Merkmal Merkmalsausprägungen Merkmalstyp Einzelne

Glühbirne

Funktionsfähigkeit Funktioniert, funktioniert nicht

qualitativ – nominal Einzelne

Glühbirne

Lebensdauer 0 - 50 Jahre quantiativ – stetig

Lieferung mit 100 Glühbirnen

Anzahl der Defektstücke

1 - 100 quantitativ –

diskret Glühbirnentyp

eines Herstellers

Qualität bei einem Warentest

Sehr gut, gut, mittel, schlecht, sehr schlecht

qualitativ – ordinal

Klasse Nr. Länge des Drahtstücks in mm Anzahl

1 [487.5, 491.5) 4

2 [491.5, 495.5) 3

3 [495.5, 499.5) 8

4 [499.5, 503.5) 9

5 [503.5, 507.5) 5

6 [507.5, 511.5) 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

[487.5, 491.5) [491.5, 495.5) [495.5, 499.5) [499.5, 503.5) [503.5, 507.5) [507.5, 511.5)

(5)

i) a)

(

¹ ² ² ² ³ ³ ³ ³ ³ ⁴ ⁴

)

²^,⁷³

11 1

11 30 =

= + + + + + + + + + +

= x b) ~x =3

ii)

x =

³⁹⁷⁺³^⋅³⁹⁸⁺⁷^⋅³⁹⁹⁺₂₀⁵^⋅⁴⁰⁰⁺²^⋅⁴⁰¹⁺²^⋅⁴⁰²

=

⁷⁹⁹⁰₂₀

= 399 , 5

iii)

x =

²⁰^⋅⁵⁵⁺¹²^⋅⁶⁵⁺¹⁰^⋅⁷⁵⁺⁸^⋅⁸⁵₆₄⁺⁶^⋅⁹⁵⁺⁴^⋅¹⁰⁵⁺²^⋅¹¹⁵⁺²^⋅¹²⁵

=

⁴⁷⁸⁰₆₄

= 74 , 6875

Median der Frauen = 80, weil 70, 70,70, 80,80, 80, 180.

Arithmetisches Mittel der Frauen =(70+70+70+80+80+80+180)/7=90.

Median der Männer = 90, weil 50, 60, 70, 80, 90, 90, 90, 90, 100.

Arithmetisches Mittel der Männer =(50+60+70+80+90+90+90+90+100)/9=80.

Je nach gewähltem Lageparameter kann in diesem Beispiel eine andere Aussage erzählt werden.

Lösung zu Aufgabe 11 a) x=394 b) x=12,16 Lösung zu Aufgabe 12 a) ~x =2000 x =5400 b) ~x =3500 x =7000 Lösung zu Aufgabe 13 entfällt

Gegeben ist Messreihe 9, 13, 7, 5, 11. Berechnen Sie

a) den arithmetischen Mittelwert: 9

5

11 5 7 13

9+ + + + =

= x

b) empirische Varianz: 10

4

4 16 4 16

2 = 0+ + + + =

s

empirische Standardabweichung: s= 10 Lösung zu Aufgabe 15

(6)

2 , 20 100

104 2 103 102 3 101 3 100 4 99 2 98 2 97 2 96

20

⋅ = + +

⋅ +

⋅

= +

=

B A

x

Empirische Varianz

221053 ,

19 5

2 , 100 20 104 2 103 102 3 101 3 100 4 99 2 98 2 97 2 96

221053 ,

19 1

2 , 100 20 102 3 101 4 100 8 99 4 98

2 2

2 2 2

2 2

2

⋅ ≈

−

⋅ + +

⋅ +

⋅

= +

⋅ ≈

−

⋅ +

⋅

= +

B A

s s

a) Median = 8, weil die Messreihe geordnet lautet 5, 7, 8, 9, 13;

Spannweite = 13-5 = 8.

b) Median = 8,5, weil die Messreihe geordnet lautet 5, 7, 8, 9, 13, 20;

Spannweite = 20 - 5 = 15.

a) x g g 105,3333g

6 632 6

106 108 107 103 103

105+ + + + + = ≈

= ,

b)

g s

0656 , 2

6 2 , 5 4

6 108 632 107 106 105 103 2

2 2

2 2 2 2 2 2

≈

− = + +

+ +

= ⋅

c) Median=105,5g; Spannweite = 108g-103g = 5g.

a) 498,96667

30

5 , 509 1 5 , 505 5 5 , 501 9 5 , 497 8 5 , 493 3 5 , 489

4⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ≈

≈

x mm

b)

2 2

2 29,223

29

96667 , 498 30 5 , 509 1 5 , 505 5 5 , 501 9 5 , 497 8 5 , 493 3 5 , 489

4 mm

s ≈ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ ≈

405 ,

≈5

s mm

c) Median = 499

d) Spannweite=509 – 488 = 21.

Lösung zu Aufgabe 19 a) x=17,2972 mm

b) s² =0,008260 c) s=0,0909

(7)

Maschine A: x=701,05 [ml]; s² ≈0,7868 [ml²]; s≈0,8870 [ml];

Maschine B: x=700,9 [ml]; s²≈3,0421 [ml²]; s≈1,7442 [ml]

Klasse Lebensdauer in Jahren absolute Häufigkeit

1 [0 ; 2,5) 10

2 [2,5 ; 5) 7

3 [5 ; 7,5) 5

4 [7,5 ; 10) 2

5 [10 ; 12,5) 1

10

7

5

2

1

0 2 4 6 8 10 12

[0 ; 2,5) [2,5 ; 5) [5 ; 7,5) [7,5 ; 10) [10 ; 12,5)

a) x=3,64; ~x =3,79; s²=10,27; s=3,20; R=11,77 b) x=3,95; s²=8,29; s=2,88

a) arithmetisches Mittel x der x-Werte (Größe): 173 cm arithmetisches Mittel y der y-Werte (Gewicht): 72,26667 kg Standardabweichung s der x-Werte (Größe): 6,047 cm _x Standardabweichung s der y-Werte (Gewicht): 7,56 kg _y

(8)

07 , 41 14

267 , 72 173 15 ...

73 175 75 174 73 173 76 171 69 171 65 170 69 169 65 166 62 165 59

163⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + − ⋅ ⋅ =

empirischer Korrelationskoeffizient = =0,8979 sy

sx sxy rxy

Streudiagramm

50 55 60 65 70 75 80 85 90

160 165 170 175 180 185 190

Größe

Gewicht

b) arithmetisches Mittel x der x-Werte (Größe): 173 cm

arithmetisches Mittel y der y-Werte (Einkommen): 3 140 EUR Standardabweichung s der x-Werte (Größe): 6,047 cm _x

Standardabweichung s der y-Werte (Einkommen): 1 285,52 EUR _y empirische Kovarianz s : 471,429 EUR cm _xy

empirischer Korrelationskoeffizient: 0,06065

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

160 165 170 175 180 185 190

Größe

Einkommen

(9)

Lösung zu Aufgabe 23 Korrelationskoeffizient r = 0,8470.

Regressionsgerade f(x)=2,427⋅(x−1,57)+8,39 Lösung zu Aufgabe 24

b) x=0,852; y=4,757; s_x=0,342; s_y =1,851; s_xy =0,50157; Gleichung der Regressionsgeraden:y=4,2766x+1,1134 d) r≈0,7911

e) y=5,5193x+0,4110; r≈0,9699 Lösung zu Aufgabe 25

a. r = 0,8682

a) x=20,3; y=48,8; sx=10,68; sy=14,66; sxy =−155,708

Gleichung der Regressionsgeraden f⁽x⁾ =−¹^,³¹⁹⁶

(

x−²⁰^,³³³⁴

)

+⁴⁸^,⁸⁸⁸⁹ b) Bei einer Einsinktiefe von 16 mm muss man mit einer Stahlhärte von 54,607

kg/mm rechnen.

c) r_xy =−0,9773; R² =0,9552;

d) Der hohe Wert des Bestimmtheitsmaßes legt nahe, dass sich die Varianz der Stahlhärte fast vollständig durch die Einsinktiefe erklären lässt.

a) Regressionsgerade: y = 0,5428 x + 40,5669 b) r = 0,9131 ⇒ R² = r² = 0,8337

c) c1) und c2) Beide brauchbar, da R² jeweils groß.

c3) Lineare Regression, denn die Bestimmtheitsmaße sind fast gleich hoch ⇒ einfachere Regression wählen

d) Wenn die Männer ein zusätzliches Lebensjahr älter werden, werden die Frauen 0,54 Lebensjahre älter. D. h. bei älter werdenden Gesellschaften schließt sich die Lücke zwischen Männer- und Frauen-Lebenserwartung zunehmend.