UE zu WTheorie und Statistik, SS 2015, Blatt 6
1. Ein fairer W¨urfel wird 600 mal geworfen. Man verwende den zentralen Grenzwertsatz um angen¨ahert die Wahrscheinlichkeiten daf¨ur auszudr¨ucken, dassa)zwischen 90 und 110 Sechsen bzwb)mehr als 120 Sechsen auftreten.
2. Bei einer Wahlumfrage unter 4000 W¨ahlern geben 527 an, die Partei A w¨ahlen zu wollen. Man bestimme ein asymptotisches 95%-Konfidenzintervall f¨ur den W¨ahleranteil der Partei A.
3. (a) F¨ur 0 ≤ k ≤ n sei Ψn,p(k) = Pk j=0
n j
pj(1−p)n−j, das heißt Ψn,p(k) = P(X ≤ k) f¨ur eine B(n, p)-verteilte Zufallsvariable X. Man zeige: F¨ur festesnundkgilt Ψn,p(k)≤Ψn,q(k) wennp≤qist.
(b) Sei p der unbekannte Anteil der Personen in der Grundgesamtheit, die Eigenschaft A haben. Sei 0 < p0 < 1. Wir testen die Hypothese H0 : p ≥ p0. Wir ziehen eine Stichprobe vom Umfang n. Sei N die Anzahl der Personen in der Stichprobe mit Eigenschaft A. Dann hat N die B(n, p)-Verteilung. Sei 0 < α < 1 und V = {0,1,2, ..., r}, wobei r maximal gew¨ahlt wird mit Ψn,p0(r) ≤ α. Mit (a) zeige man, dass V der Verwerfungsbereich zu obigem Test mit Teststatistik N zur Irrtum- swahrscheinlichkeitαist. Weiters giltk∈V ⇔Ψn,p0(k)≤α.
(c)Unter den selben Voraussetzungen wie in (b) testen wir die Hypothese H0:p≤p0f¨ur ein vorgegebenesp0. Wir ziehen eine Stichprobe vom Um- fangn. SeiN die Anzahl der Elemente in der Stichprobe, die Eigenschaft A haben. Sei 0 < α < 1 und V ={s+ 1, s+ 2, ..., n} wobei s minimal gewahlt wird mit Ψn,p0(k)(s)≥1−α. Man zeige, dassV der Verwerfungs- bereich zu obigem Test mit TeststatistikN zur Irrtumswahrscheinlichkeit αist. Weiters giltk∈V ⇔Ψn,p0(k−1)≥1−α.
4. Sei p die Wahrscheinlichkeit dass eine Reißzwecke mit der flachen Seite auf den Boden f¨allt. Wie viele Zwecken muß man auf den Boden fallen lassen so dass mit Wahrscheinlichket≤0.05 die durchschnittliche Anzahl der Zwecken mit flacher Seite am Boden h¨ochstensp/10 vonpabweicht?
5. In einer Urne befindet sich eine unbekannte Anzahl N durchnumerierter Kugeln. UmN sch¨atzen zu k¨onnen zieht mannKugeln mit Zur¨ucklegen, und protokolliert deren NummernX1, . . . , Xn.
a)Ist ˆN = max(X1, . . . , Xn) ein Maximum-Likelihood Sch¨atzer f¨urN? b)Ist dieser Sch¨atzer erwartungstreu?
c)Wie verh¨alt sichE[N]/Nb f¨ur N→ ∞.
6. Es sei (X, Y) uniform verteilt in der Kreisscheibe {(x, y) : x2 +y2 ≤ r}, wobei r > 0 nicht bekannt ist. Man bestimme a) einen Maximum- Likelihood Sch¨atzer f¨ur R :=√
X2+Y2 und b) einen erwartungstreuen Sch¨atzer f¨urR.
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7. Es seienX, Y, Zunabh¨angige ZV, jeweils uniform verteilt auf [−12,12]. Man bestimme und skizziere die Dichten vonX+Y undX+Y+Z. Vergleiche mit dem zentralen Grenzwertsatz.
8. Es seien X1, X2, . . . unabh¨angig identisch verteilte ZV mit Verteilungs- funktionF(t) = 12+1πarctant. Dann konvergiertYn:=n−1max(X1, . . . , Xn) in Verteilung gegen eine ZVY mit VerteilungsfunktionG(t) = 1(0,∞)(t)e−πt1. (Hinweis: Logarithmieren und de l’Hˆopital.)
9. Es seienX1, X2, . . .unabh¨angig identisch verteilte Zufallsvariable mit Er- wartungswert µ. Man beweise das schwache Gesetz der grossen Zahl mithilfe der Fouriertransformierten vonSn =X1+. . .+Xn.
10. Der Zufallsvektor (X, Y) habe die Dichte f(x, y) := 1(0,4)×(1,5)(x, y)xy96, (x, y)∈R2. Man bestimmeE[X],E[Y], E[XY], E[2X+ 3Y].
11. Man bestimme Erwartungswert und Varianz einer ZVX mit Dichte f(x) := 1(0,1)(x) 12x2(1−x),x∈R.
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