L¨ Pr¨
Aufgabe 6.1
Da der Richtungsvektor~v =
0 3 0
der Geradeng parallel zury-Achse verl¨auft, liegt auch die Gerade parallel zur y-Achse.
Aufgabe 6.2
Da der Richtungsvektor ~v =
0 7 2
der Geraden g parallel zur yz-Ebene verl¨auft, liegt auch die Gerade parallel zur yz-Ebene.
Aufgabe 6.3
Da (0,0,0) der (ungeschriebene) Anfangspunkt der Geraden g ist, geht sie durch den Ursprung des Koordinatensystems (Ursprungsgerade).
Aufgabe 6.4
Richtungsvektor:~v =~rB−~rA=
7
−3 0
−
4
−7 1
=
3 4
−1
g:
x y z
=
4
−7 1
+t
3 4
−1
Aufgabe 6.5
Richtungsvektor der parallelen Geraden:~v =
3 4
−5
h:
x y z
=
3 0 2
+t
3 4
−5
Aufgabe 6.6
m¨oglicher Richtungsvektor parallel zur z-Achse:~v =
0 0 1
g:
x y z
=
4
−3 0
+t
0 0 1
Aufgabe 6.7
g:
x y z
=
−7 4 0
+t
−4 6 0
,
(a) t= 5 ⇒ (−27,34,0) (b) t= 0 ⇒ (−7,4,0)
(c) t=−1 ⇒ (−3,−2,0) (d) t= 12 ⇒ (−9,7,0)
Aufgabe 6.8
P(20,6,9) in g:
x y z
=
5
−4 4
+t
3 2 1
einsetzen:
20
6 9
=
5
−4 4
+t
3 2 1
15 10 5
=t
3 2 1
⇒
t= 5 t= 5 t= 5
⇒ P ∈g
Oder mit Kreuzprodukt: −→
AP =
20
6 9
−
5
−4 4
=
15 10 5
−→AP ×~v =
0 0 0
⇒ −→
AP und ~v sind kollinear ⇒ P ∈g
Aufgabe 6.9
−→AB=
−1 1 7
−
−3 0 6
=
2 1 1
−→AC =
3
−3 3
−
−3 0 6
=
6
−3
−3
−→AB×−→
AC =
0 12
−12
⇒ −→
AP und ~v sind nicht kollinear
⇒ A,B und C liegen nicht auf einer Geraden.
~rP =~rA+ 1 3·−→
AB =
3 5
−3
+ 1 3
9
−9 9
=
6 2 0
⇒ P(6,2,0)
Aufgabe 6.11 S1(x, y,0):
x= 3 y= 0
0 = −1 +t ⇒ t = 1 ⇒ S1(3,0,0) S2(0, y, z):
0 = 3 ⇒ keine L¨osung ⇒ S2 existiert nicht y= 0
z =−1 +t S3(x,0, z):
x= 3
0 = 0 ⇒ jedes t ist L¨osung ⇒ g ⊂π3 z =−1 +t
Aufgabe 6.12
g:
x y z
=
4
−3 4
+t
−3 1 1
; h:
x y z
=
−5 0 7
+t
3
−1
−1
~
u×~v =
−3 1 1
×
3
−1
−1
=
0 0 0
⇒ ~u und ~v sind kollinear.
Also sind g und h parallel oder zusammenfallend.
A(4,−3,4)∈h?
4
−3 4
=
−5 0 7
+t
3
−1
−1
⇒
9 = 3t
−3 =−t
−3 =−t
⇒
t= 3 t= 3 t= 3
⇒ g und h fallen zusammen (g =h)
Aufgabe 6.13
g:
x y z
=
0 5 6
+t
1 3 3
; h:
x y z
=
1 11 12
+t
4 12 12
~
u×~v =
1 3 3
×
4 12 12
=
0 0 0
⇒ ~u und~v sind nicht kollinear.
Also sind g und h parallel oder zusammenfallend.
A(0,5,6)∈h?
0 5 6
=
1 11 12
+t
4 12 12
⇒
−1 = 4t
−6 = 12t
−6 = 12t
⇒
t=−14 t=−12 t=−12
⇒ g und h sind parallel (g kh)
Aufgabe 6.14
g:
x y z
=
3
−6 0
+t
−1 2 1
; h:
x y z
=
7 2 4
+t
3 2 1
~
u×~v =
−1 2 1
×
3 2 1
=
0 4
−8
⇒ ~u,~v nicht kollinear.
Also sind g und h windschief oder schneidend.
3−s= 7 + 3t
−6 + 2s= 2 + 2t s= 4 +t
⇒
−s−3t = 4 2s−2t = 8 s−t = 4
⇒ s= 2 t=−2
⇒ g∩h=S(1,−2,2)
Aufgabe 6.15
g:
x y z
=
7 2 1
+t
3
−1 1
; h:
x y z
=
6 6 1
+t
−2 3 1
~
u×~v =
3
−1 1
×
−2 3 1
=
−4
−5 7
⇒ ~u,~v nicht kollinear.
Also sind g und h windschief oder schneidend.
7 + 3s= 6−2t 2−s= 6 + 3t ⇒
3s+ 2t=−1
−s−3t= 4 ⇒ keine L¨osung
⇒ g und h sind windschief (g∩h={ })
Aufgabe 6.16
g
~ v
−→AP d
A P
P(1,7,1); g:
x y z
=
3 3 1
+t
−2 2 1
⇒ −→
AP =
−2 4 0
FParallelogramm =d· |~v|=
−→AP ×~v
d=
−→AP ×~v ~v
=
4 2 4
−2 2 1
= 6 3 = 2
Aufgabe 6.17
g:
x y z
=
3 1 2
+s
−7 0 0
; h:
x y z
=
8 1
−8
+t
8 7 0
Es gibt kein k ∈Rmit k·
−7 0 0
=
8 7 0
⇒ g ∦h
g h
d
~ u
~v
~ v
~ u
−−→ AB A
B
−→AB=~rB−~rA=
8 1
−8
−
3 1 2
=
5 0
−10
VSpat =d· |~u×~v|=
(~u×~v)·−→
AB
d=
(~u×~v)·−→
AB ~u×~v
= |490|
0 0
−49
= 490 49 = 10
Aufgabe 6.18 (neu)
g:
x y z
=
6 2
−5
+s
0 0 1
; h:
x y z
=
−1
−2
−11
+t
7 4 4
(a) s=−2:
x y z
=
6 2
−5
−2
0 0 1
=
6 2
−7
t= 1:
x y z
=
−1
−2
−11
+ 1
7 4 4
=
6 2
−7
(b)
~u =
0 0 1
= 1 und
~v =
7 4 4
= 9
~
u2 = 9·~u=
0 0 9
und~v2 = 1·~v =
7 4 4
Richtung der 1. Winkelhalbierenden:~u2+~v2 =
7 4 13
Richtung der 2. Winkelhalbierenden:~u2−~v2 =
−7
−4 5
w1:
x y z
=
6 2
−7
+t
7 4 13
w2:
x y z
=
6 2
−7
+t
−7
−4 5
Aufgabe 6.19 (neu)
g:
x y z
=
11
−13 3
+t
0 1 1
; Q(5,−7,0)
d d g
~ v
~
rA ~rP
O
Q
A P
P1 P2
∈ ⇔
11
−
⇔ −
−→QP = 9
11 t−13
t+ 3
−
5
−7 0
= 9
6 t−6 t+ 3
= 9
p(6)2+ (t−6)2+ (t+ 3)2 = 9 (6)2+ (t−6)2+ (t+ 3)2 = 81
2t2−6t= 0
t1 = 3 ⇒ P1(11,−10,6) t2 = 0 ⇒ P2(11,−13,3)
