Mathematik f¨ur Chemiker 2: online-Vorlesung 4.6) Differentialgleichungen: Potenzreihenansatz

Mathematik f¨ ur Chemiker 2: online-Vorlesung 4.6) Differentialgleichungen: Potenzreihenansatz

Bernd Hartke

Theoretische Chemie

Institut f¨ur Physikalische Chemie Christian-Albrechts-Universit¨at

Max-Eyth-Str. 2 24118 Kiel

hartke@pctc.uni-kiel.de

https://ravel.pctc.uni-kiel.de/

Lineare DGL n-ter Ordnung

n

X

k=0

f_k(x) · y^(k) = g(x) (1)

g(x) = 0: homogen; g(x) 6= 0: inhomogen.

• allgemeine L¨osung der homogenen DGL darstellbar als Linearkombination von n linear un- abh¨angigen, partikul¨aren L¨osungen:

y_ah =

n

X

k=1

c_k · y_ph,k (2)

Die c₁, c₂, . . . , c_n sind die notwendigen n freien Parameter.

• f¨ur die allgemeine L¨osung der inhomogenen DGL gilt:

y_ai = y_ah + y_pi (3)

• Ist eine partikul¨are L¨osung y_ph,1 der homogenen Differentialgleichung bekannt, l¨aßt sich die Ordnung der Differentialgleichung um eins reduzieren mit dem Ansatz

y = u · y_ph,1 (4)

Grundidee Potenzreihenansatz

n

X

k=0

f_k(x) · y^(k) = g(x) , Ansatz: y =

∞

X

i=0

a_i · xⁱ = a₀ + a₁x + a₂x² + · (5) mit den Ableitungen

y⁰ =

∞

X

i=1

i · a_i · xⁱ⁻¹ , y⁰⁰ =

∞

X

i=2

i(i − 1) · a_i · xⁱ⁻² , etc. (6) Vorteile:

• funktioniert i.d.R., wenn f_k(x) und g(x) Polynome (oder Taylorreihen) sind;

• keine(!) Integration n¨otig, da funktionale Form der L¨osung y (als Reihe) bereits bekannt, nur noch Koeffizienten-Zahlenwerte a_i zu bestimmen (per Koeffizientenvergleich);

• i.d.R. nur wenige y-Reihenterme explizit zu bestimmen, der Rest aus Rekursion.

Nachteile:

• f_k(x) und g(x) m¨ussen als Polynome (oder Taylorreihen) vorliegen;

• auf L¨osungsweg Hantieren mit mehreren unendl. Summenausdr¨ucken n¨otig;

• L¨osung y ist eine (unendliche) Reihe, kein einfacher Funktionsausdruck;

• versagt, wenn L¨osung nicht als Potenzreihe ausdr¨uckbar.

Beispiel 1a Potenzreihenansatz

(1 − x²) y⁰⁰ + y = 0 =b y⁰⁰ − x²y⁰⁰ + y = 0 (7) Diagnose: Lineare, homogene, gew¨ohnliche DGL 2. Ordnung; alle f_k(x) sind Polynome.

⇒ Potenzreihenansatz einsetzen:

∞

X

i=2

i(i − 1)a_ixⁱ⁻² −

∞

X

i=2

i(i − 1)a_ixⁱ +

∞

X

i=0

a_ixⁱ = 0 (8)

Koeffizientenvergleich in Potenzen von x:

x⁰ : 2a₂ + a₀ = 0 ⇒ a₂ = −1

2 a₀ (9)

x¹ : 6a₃ + a₁ = 0 ⇒ a₃ = −1

6 a₁ (10)

... ... (11)

x^k : (k + 2)(k + 1)a_k+2 + (1 − k(k − 1))a_k = 0 f¨ur k ≥ 2 (12) Rekursionsformel: a_k+2 = k(k − 1) − 1

(k + 2)(k + 1) a_k (13)

(gilt auch f¨ur i = 2 und i = 3).

a bestimmt alle a mit geradem i; a bestimmt alle a mit ungeradem i

Beispiel 1a Potenzreihenansatz

z.B.: a₄ = 1

12 a₂ = − 1

24 a₀ (14)

a₅ = 5

20 a₃ = − 1

24 a₁ (15)

... (16)

a₀ bzw. a₁ k¨onnen aus allen geraden bzw. ungeraden Termen ausgeklammert werden. Einsetzen der a_i-Werte in den Potenzreihenansatz:

y_ah = a₀

1 − 1

2 x² − 1

24 x⁴ ∓ · · ·

+ a₁

x − 1

6 x³ − 1

24 x⁵ ∓ · · ·

(17) Allgemeine L¨osung der DGL 2. Ordnung mit 2 freien Parametern.

Beispiel 1b Potenzreihenansatz

(1 − x²)y⁰⁰ + y = xⁿ (18)

inhomogene Variante von Beispiel 1a. Potenzreihenansatz einsetzen:

∞

X

i=2

i(i − 1)a_ixⁱ⁻² −

∞

X

i=2

i(i − 1)a_ixⁱ +

∞

X

i=0

a_ixⁱ = xⁿ (19)

• n gerade, z.B. n = 0: ver¨andert alle a_i mit geradem i:

x⁰ : 2a₂ + a₀ = 1 ⇒ a₂ = 1

2 − 1

2 a₀ (20)

x¹ : 6a₃ + a₁ = 0 ⇒ a₃ = −1

6 a₁ (21)

... (22)

Der Zusatzterm ¹₂ x² ist der erste Term der Reihendarstellung von y_pi: y_ai = y_ah + y_pi = y_ah + 1

2 x² + O(x⁴) (23)

Beispiel 1b Potenzreihenansatz

(1 − x²)y⁰⁰ + y = xⁿ (24)

inhomogene Variante von Beispiel 1a. Potenzreihenansatz einsetzen:

∞

X

i=2

i(i − 1)a_ixⁱ⁻² −

∞

X

i=2

i(i − 1)a_ixⁱ +

∞

X

i=0

a_ixⁱ = xⁿ (25)

• n ungerade, z.B. n = 1: ver¨andert alle a_i mit ungeradem i:

x⁰ : 2a₂ + a₀ = 0 ⇒ a₂ = −1

2 a₀ (26)

x¹ : 6a₃ + a₁ = 1 ⇒ a₃ = 1

6 − 1

6 a₁ (27)

... (28)

Der Zusatzterm ¹₆ x³ ist der erste Term der Reihendarstellung von y_pi: y_ai = y_ah + y_pi = y_ah + 1

6 x³ + O(x⁵) (29)

Beispiel 2 Potenzreihenansatz

y⁰ = 2xy (30)

Potenzreihenansatz einsetzen:

2xy = 2a₀x + 2a₁x² + 2a₂x³ + · · · = 2x

∞

X

n=0

a_nxⁿ (31)

y⁰ = a₁+2a₂x + 3a₃x² + 4a₄x³ + · · · =

∞

X

n=1

na_nxⁿ⁻¹ (32) Koeffizientenvergleich in xⁿ:

a₁ = 0, a₂ = a₀, a₃ = ²₃a₁ = 0, a₄ = ¹₂a₂ = ¹₂a₀, · · · (33) oder allgemein:

a_n =

0 f¨ur n ungerade

2

n a_n−2 f¨ur n gerade (34)

oder mit n = 2m (da nur gerade Indices):

a_2m = _2m² a_2m−2 = _m¹ _m−1¹ a_2m−4 = · · · = _m!¹ a₀ (35)

Beispiel 2 Potenzreihenansatz y_ah = a₀ + a₀x² + 1

2! a₀x⁴ + · · · + 1

m! a₀x^2m + · · · = a₀

∞

X

m=0

1

m! x^2m (36) Alternativer L¨osungsweg: Diagnose: separierbare, lineare, homogene, gew¨ohnliche DGL 1. Ord- nung; L¨osung durch Separation:

Z dy

y = 2 Z

x dx ⇒ ln|y| = x² + ˜C ⇒ y_ah = Ce^x2 (37) Eine Taylorreihenentwicklung davon liefert dieselbe Reihe wie oben:

y_ah = C

1 + x² + 1

2! x⁴ + · · ·

= C

∞

X

n=0

1

n! x²ⁿ (38)

⇒ L¨osung per Potenzreihenansatz nur, wenn kein andere L¨osungsweg m¨oglich!