Mathematik f¨ ur Chemiker 1: online-Vorlesung 2.8) Unbestimmte Ausdr¨ ucke mit l’Hospital
Bernd Hartke
Theoretische Chemie
Institut f¨ur Physikalische Chemie Christian-Albrechts-Universit¨at
Max-Eyth-Str. 2 24118 Kiel
hartke@pctc.uni-kiel.de
https://ravel.pctc.uni-kiel.de/ -1.5
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
1/x ln(|x|)
Erinnerung: unbestimmte Ausdr¨ucke
Berechnungsstrategie f¨ur Grenzwerte (in stetigen Funktionsbereichen):
Funktionswertbildung und Grenzwertbildung vertauschen:
f stetig in a ⇔ lim
x→af(x) = f(a) ⇔ lim
x→af(x) = f
x→alim x
(1) Eine solche Vertauschung ist nicht erlaubt, wenn dabei ein unbestimmter Ausdruck entsteht:
∞ − ∞, 0 · ∞ , ∞ · 0, 0
0 , ∞
∞, ∞0, 00, 1∞ (2) Dann sind nicht-allgemeine “Tricks” n¨otig, den tats¨achlichen Grenzwert (den Wert des unbe- stimmten Ausdrucks im vorliegenden Fall) zu bestimmen.
Allgemeinerer Ausweg: Regel von l’Hospital
Regel von l’Hospital
x→xlim0
f(x)
g(x) = lim
x→x0
f0(x)
g0(x) f¨ur 0
0 oder ∞
∞ (3)
(Herleitung: siehe Skript) Vorteile:
• universell anwendbar (unabh¨angig von den Funktionen f(x), g(x))
• gute Chance auf Vereinfachung des Limesausdrucks (ggf. nach mehrfacher Anwendung)
⇒ Verlassen der Situation “unbestimmter Ausdruck”
• f¨ur 00 und ∞∞; andere unbestimmte Ausdr¨ucke meist dahin umformbar Aber Vorsicht:
• nur anwendbar bei unbestimmten Ausdr¨ucken (nicht bei anderen, normalen Grenzwerten!)
Regel von l’Hospital NICHT mit Quotientenregel verwechseln
Quotientenregel der Ableitung (links steht kein! Limes):
f = u
v , f0 = vu0 − uv0
v2 (4)
Regel von l’Hospital bei unbestimmten Ausdr¨ucken:
lim u
v = lim u0
v0 f¨ur 0
0 oder ∞
∞ (5)
Regel von l’Hospital NUR bei unbestimmten Ausdr¨ucken
x→0lim
sin(x)
cos(x) = 0
1 = 0 (6)
ist kein unbestimmter Ausdruck. Trotzdem l’Hospital anwenden ist fatal:
x→0lim
sin(x) cos(x)
l0H
= lim
x→0
cos(x)
−sin(x) = − lim
x→0
cos(x)
sin(x) = −1
0 = −∞ 6= 0 (7)
limx→0 sin(x)x ist vom Typ 00 ⇒ l’Hospital anwendbar:
x→0lim
sin(x) x
l0H
= lim
x→0
cos(x)
1 = 1
1 = 1 (8)
Regel von l’Hospital, Beispiel 1
x→0lim
arcsin(x)
x (9)
ist vom Typ 00 ⇒ l’Hospital anwendbar. Dies f¨uhrt direkt aus der 00-Situation heraus:
x→0lim
arcsin(x) x
l0H
= lim
x→0
√ 1
1 − x2 = 1 (10)
Regel von l’Hospital, Beispiel 2
x→πlim
3 sin2(x)
sin2(3x) (11)
ist vom Typ 00 ⇒ l’Hospital anwendbar:
x→πlim
3 sin2(x) sin2(3x)
l0H
= lim
x→π
6 sin(x) cos(x)
6 sin(3x) cos(3x) = lim
x→π
sin(x)
sin(3x) lim
x→π
cos(x)
cos(3x) (12)
Der zweite Faktor ist unproblematisch:
x→πlim
cos(x)
cos(3x) = −1
−1 = 1 (13)
Der erste Faktor ist wieder vom Typ 00 ⇒ l’Hospital erneut anwendbar:
x→πlim
sin(x) sin(3x)
l0H
= lim
x→π
cos(x)
3 cos(3x) = −1
3 · (−1) = 1
3 (14)
Gesamtergebnis:
Regel von l’Hospital, Beispiel 3
x→0lim
1
x2 cos(x) − 1 x2
(16) ist vom Typ ∞ − ∞, kann aber durch Addition der Br¨uche in 00 umgeformt werden:
x→0lim
1
x2 cos(x) − 1 x2
= lim
x→0
1 − cos(x)
x2 cos(x) = lim
x→0
1 cos(x)
| {z }
=1
x→0lim
1 − cos(x)
x2 (17)
Der letzte Faktor ist vom Typ 00 und kann durch zweimalige l’Hospital-Anwendung bestimmt werden (siehe Gl. 8):
x→0lim
1 − cos(x) x2
l0H
= lim
x→0
sin(x)
2x = 1 2 lim
x→0
sin(x) x
l0H
= 1 2 lim
x→0
cos(x) 1
| {z }
=1
= 1
2 (18)
Gesamtergebnis:
x→0lim
1
x2cos(x) − 1 x2
= 1
2 (19)
Versagen der Regel von l’Hospital, Beispiel 4
x→∞lim tanh(x) = lim
x→∞
sinh(x)
cosh(x) = lim
x→∞
ex − e−x
ex + e−x (20)
ist vom Typ ∞∞, also ist l’Hospital erlaubt:
x→∞lim
ex − e−x ex + e−x
l0H
= lim
x→∞
ex + e−x ex − e−x
l0H
= lim
x→∞
ex − e−x
ex + e−x = . . . (21) was beliebig oft funktioniert, aber unproduktiv ist.
Auf anderen Wegen ist dieser Grenzwert leicht bestimmbar:
x→∞lim
ex − e−x
ex + e−x = lim
x→∞
ex(1 − e−2x)
ex(1 + e−2x) = lim
x→∞
1 − e−2x
1 + e−2x = 1 − 0
1 + 0 = 1 (22)
Also gilt:
• auch wenn l’Hospital erlaubt ist, f¨uhrt dieser Weg nicht zwingend zum Erfolg;
