Erinnern Sie die Ausdr¨ ucke f¨ ur den zusammenh¨ angenden Teil der Zweipunkt- skorrelationsfunktion auf der entfalteten Skala Y 2 (r) f¨ ur

Quantenchaos (Guhr) — ¨ Ubung 14

1. Zweipunktkorrelationsfunktion

Erinnern Sie die Ausdr¨ ucke f¨ ur den zusammenh¨ angenden Teil der Zweipunkt- skorrelationsfunktion auf der entfalteten Skala Y 2 (r) f¨ ur

(a) die Wigner–Dyson Verteilung, (b) die Poisson’sche Verteilung,

(c) den harmonischen Oszillator.

2. Niveauzahlvarianz

Leiten Sie die in der Vorlesung genannte Beziehung zwischen Niveauzahlvari- anz Σ ² (L) und Y ₂ (r)

Σ ² (L) = L−2 Z L

0

(L−r)Y ₂ (r)dr her.

(a) Nutzen Sie die Beziehungen hN(E)i =

Z E

R 1 (E ⁰ )dE ⁰ und

hN(E ₁ )N (E 2 )i =

Z E

Z E

R 1 (E ₁ ⁰ )δ(E ₁ ⁰ − E ₂ ⁰ ) + R 2 (E ₁ ⁰ , E ₂ ⁰ )

dE ₁ ⁰ dE ₂ ⁰ zwischen Treppenfunktion und R ₁ bzw. R ₂ .

(b) Gehen Sie schließlich auf die entfaltete Skala.

(c) Benutzen Sie die Ausdr¨ ucke aus Aufgabe 1 um den f¨ uhrenden Term f¨ ur große L von Σ ² (L) in allen drei F¨ allen zu bestimmen.

3. Spektrale Steifigkeit

Leiten Sie die in der Vorlesung genannte Beziehung zwischen spektraler Stei- figkeit ∆ 3 (L) und Y 2 (r)

∆ ₃ (L) = L 15 − 1

15L ⁴ Z L

0

(L−r) ³ (2L ² −9Lr−3r ² )Y ₂ (r)dr

her.

(a) Gehen Sie von der Definition

∆ 3 (L) = 1 2L

min A,B

Z L

−L

dE(N(E) − AE − B) ²

aus, wobei N (E) die Treppenfunktion sei. Finden Sie A und B als Funk- tionen von N (E), indem Sie obigen Ausdruck minimieren.

(b) Benutzen Sie die Beziehungen aus Aufgabe 2 (a).

(c) Gehen Sie schließlich auf die entfaltete Skala.