Mathematik f¨ ur Chemiker 2: online-Vorlesung
4.2) Differentialgleichungen: Separation der Variablen
Bernd Hartke
Theoretische Chemie
Institut f¨ur Physikalische Chemie Christian-Albrechts-Universit¨at
Max-Eyth-Str. 2 24118 Kiel
hartke@pctc.uni-kiel.de
https://ravel.pctc.uni-kiel.de/
Diagnose der Separierbarkeit
Gew¨ohnliche Differentialgleichung erster Ordnung (implizit):
F(x, y, y0) = 0 mit y(x) und y0 = dy
dx (1)
Wenn man diese Form umschreiben kann in
y0 = f(x) · g(y) (2)
heißt die DGL “separierbar”. Dazu n¨otig:
• Umformung auf explizite Form m¨oglich (y0 steht alleine (links))
• zwei Faktoren auf der rechten Seite – einer h¨angt nur von x ab
– der andere nur von y.
f(x) und g(y) k¨onnen beliebig kompliziert sein (insbes. nicht-linear)
L¨osung durch Variablenseparation y0 = dy
dx = f(x) · g(y) (3)
“Alles mit y auf die eine Seite, alles mit x auf die andere”:
dy
g(y) = f(x) dx (4)
Integration auf beiden Seiten (s.u.!) liefert:
Z dy g(y) =
Z
f(x)dx + C (5)
Formal umstellbar zur allgemeinen L¨osung in impliziter Form:
F˜(x, y) = 0 =
Z dy g(y) −
Z
f(x)dx − C (6)
(bei uns i.d.R. aufl¨osbar nach y(x) (explizite L¨osung)).
Genauere Durchf¨uhrung der Integration
Der obige ¨Ubergang von Gl. 4 zu Gl. 5 (links Integration in y, rechts Integration in x) ist eine praktische Abk¨urzung f¨ur folgendes scheinbar korrektere Vorgehen: Wir machen links und rechts des Gleichheitszeichens genau dasselbe, n¨amlich Integration in x:
y0 = dy
dx = f(x) · g(y) ⇒ y0
g(y) = f(x) ⇒
Z y0
g(y) dx = Z
f(x)dx (7) Da y keine unabh¨angige Variable ist, sondern von x abh¨angt (y(x)), ist y0 = dy/dx bzw.
y0dx = dy, mithin:
Z y0dx g(y) =
Z
f(x)dx ⇒
Z dy g(y) =
Z
f(x) dx (8)
D.h. y0dx = dy kann als Variablensubstitution im linken Integral aufgefaßt werden, sodaß wir dort in y integrieren k¨onnen. Daher ist die obige Abk¨urzung v¨ollig korrekt:
y0 = dy
dx = f(x) · g(y) ⇒
Z dy g(y) =
Z
f(x)dx (9)
Praktisches Gelingen der Separation
Ist die DGL 1. Ordnung separierbar, also schreibbar als
y0 = f(x) · g(y) (10)
dann ist die Umformung zu
Z dy g(y) =
Z
f(x)dx (11)
immer m¨oglich. Scheitern kann die (analytische) L¨osung nur noch, wenn eines dieser Integrale nicht (analytisch) ausf¨uhrbar ist.
L¨osung per Separation der Variablen ist
• mit etwas ¨Ubung leicht und sicher diagnostizierbar
• einfach und schnell durchf¨uhrbar
• unabh¨angig von anderen DGL-Eigenschaften (z.B. (Nicht-)Linearit¨at)
Beispiel 1: Separation der Variablen y0 = dy
dx = ay , a ∈ R (12)
Diagnose: gew¨ohnliche DGL 1. Ordnung, separierbar. Durchf¨uhrung der Separation:
dy
y = a dx ⇒
Z dy
y = a Z
dx (13)
Beide Integrale sind Grundintegrale; Integration liefert die allgemeine L¨osung in impliziter Form (Integrationskonstante = 1 freier Parameter = DGL 1. Ordnung):b
ln|y| = a x + C (14)
Exponentiation links und rechts liefert die allgemeine L¨osung in expliziter Form:
y(x) = eax+C = eCeax = ˜Ceax (15) Der freie Parameter ˜C kann durch eine Anfangsbedingung festgelegt werden:
y(x = 0) = y0 = ˜Cea·0 = ˜C · 1 = ˜C (16)
Beispiel 2: Separierbarkeit nach Substitution
y0 = f(y/x) separierbar nach Substitution u = y
x (17)
Beispiel:
x2y0 − xy + y2 = 0 | : x2 ⇒ y0 = y
x − y2
x2 = y(x − y) x2 =
y
x − 1 2
2
− 1
4 (18) ist in beiden Formen nicht separierbar. Einsetzen dieser Substitution
u = y
x , du
dx = u0 = y0
x − y
x2 ⇒ y0 = xu0 + u (19) in die wie oben umgeformte DGL liefert:
xu0 + u = u − u2 ⇒ xu0 = −u2 ⇒ u0 = −1
x u2 (20) Separation und Integration:
− du
u2 = dx
x ⇒ 1
u = ln |x| + C ⇒ u(x) = 1
ln|x| + C (21) R¨ucksubstitution liefert die allgemeine L¨osung in y:
Beispiel 3: Separierbarkeit nach Substitution
y0 = f(ax + by + c) separierbar nach Substitution u = ax + by + c (23) Beispiel:
y0 = (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 (24)
ist nicht separierbar. Einsetzen dieser Substitution u = x + y , du
dx = u0 = 1 + y0 ⇒ y0 = u0 − 1 (25) in diese DGL liefert:
u0 − 1 = u2 ⇒ u0 = (u2 + 1) · 1 (26) Separation und Integration:
du
u2 + 1 = dx ⇒ arctan(u) = x + C ⇒ u = tan(x + C) (27) R¨ucksubstitution liefert die allgemeine L¨osung in y:
y = tan(x + C) − x (28)
