Hans Walser Umkehrung
Arbeitskreis Geometrie der GDM Saarbrücken, 14. – 16. September 2018
Zusammenfassung: Die Umkehrung einer klassischen Schulaufgabe (Sekundarstufe) führt zu einer Verallgemeinerung der Begriffe „Thaleskreis“ und „Ortsbogen“.
1 Wie das Problem entstand
Eine klassische Aufgabe im Abiturtraining geht so (vgl. etwa Weber und Zillmer 2002, S. 66, Aufg. DA 32): Gegeben sind ein Punkt P
(
−1,−2)
und eine Parabel p:y=x2. Gesucht sind die Tangenten von diesem Punkt an die Parabel sowie der eingeschlossene Winkel.Nun kann man die Frage umkehren: Wir geben nicht den Punkt P sondern den Schnitt- winkel vor und suchen nach den passenden Punkten P.
Zunächst lösen wir die Schulaufgabe.
Es gibt zwei Herangehensweisen:
Erster Lösungsweg: Wir nehmen alle Geraden durch den Punkt P und wählen dann die- jenigen aus, welche die Parabel p berühren. Dieser Lösungsweg benötigt nur Kenntnisse der quadratischen Gleichung (10. Schuljahr)
Zweiter Lösungsweg: Wir nehmen alle Tangenten an die Parabel p und wählen diejeni- gen aus, welche durch den Punkt P verlaufen. Dieser Lösungsweg benötigt auch Diffe- rentialrechnung (11. Schuljahr).
2 Gibt es einen geometrischen Lösungsweg?
Den gibt es, und er ist verfahrensmäßig sehr einfach. Er geht im Prinzip für alle Kegel- schnitte.
2.1 Parabel
Wir arbeiten mit dem Brennpunkt F und der Leitlinie l der Parabel p (Abb. 1a).
Abb. 1: Parabel. Erster Schritt
Wir schneiden den Kreis k um P durch F und mit der Leitlinie l in Q1 und Q2 (Abb. 1b).
Die Mittelsenkrechten der Strecken FQ1 und FQ2 sind die gesuchten Tangenten t1 be- ziehungsweise t2 (Abb. 2a).
Abb. 2: Parabeltangenten
Die Berührungspunkte liegen auf den Loten zur Leitlinie l durch Q1 und Q2 (Abb. 2b).
Diese Konstruktion folgt aus der Abstandsdefinition und der Reflexionseigenschaft der Parabel.
2.2 Ellipse
Die Tangentenkonstruktion für die Ellipse geht im Prinzip analog. Von einer Ellipse e seien die beiden Brennpunkte F1 und F2 sowie die Länge 2a der langen Achse bekannt (Abb. 3a).
P
l F
P
Q1
Q2 k
l F
a) b)
P
Q1 t1
t2
Q2 k
l F
P
Q1 B1
t1
t2 B2
Q2 k
l F
a) b)
Abb. 3: Ellipse
Als ersten Schritt zeichnen wir einen Kreis l mit dem Zentrum F2 und dem Radius 2a (dieser Kreis entspricht der Leitlinie der Parabel) sowie einen Kreis k um P durch den anderen Brennpunkt F1. Die Schnittpunkte der beiden Kreise bezeichnen wir mit Q1 und Q2 (Abb. 3b).
Die Mittelsenkrechten der Strecken F1Q1 und F1Q2 sind die gesuchten Tangenten t1 be- ziehungsweise t2 (Abb. 4a). Die Berührungspunkte liegen auf den Strecken F2Q1 und F2Q2 (Abb. 4b).
Abb. 4: Ellipsentangenten
Bemerkung 1: Die Konstruktion ist asymmetrisch, indem die beiden Brennpunkte un- terschiedlich verwendet werden.
Bemerkung 2: Die in der Schule übliche Konstruktion der Ellipsentangente benutzt die Affinität. Die Ellipse wird affin zu einem Kreis aufgeblasen, dabei wird der Punkt P
P
F1 F2
2a
e e
P
F1 F2
2a 2a
Q1
Q2 l k
a) b)
P
F1 F2
2a
Q1
Q2 t1
t2 l k
P
F1 F2
2a
Q1
Q2 t1
t2 B1
B2 l k
a) b)
e e
mitgenommen. Dann werden die Kreistangenten gezeichnet und anschließend das Gan- ze rückwärts abgebildet. Diese Konstruktion ist nicht auf die Hyperbel übertragbar.
Bemerkung 3: Wenn der Brennpunkt F2 (nach links) ins Unendliche abrauscht ergibt sich aus der Abbildung 4 die Situation der Parabel.
Bemerkung 4: Wenn wir die beiden Brennpunkte F1 und F2 zusammenfallen lassen, ergibt sich eine einfache Tangentenkonstruktion an den Kreis, welche ohne den Thales- kreis auskommt.
Bemerkung 5: Die Konstruktion für die Hyperbel geht völlig analog zur Ellipse.
3 Umkehrung
Von welchen Punkten aus sehen wir die Parabel unter einem vorgegebenen Winkel?
3.1 Gibt es ähnliche Fragen?
Von welchen Punkten aus sehen wir eine Strecke unter einem vorgegebenen Winkel?
Die Lösung ist das Ortsbogenpaar, im Sonderfall des rechten Winkels der Thaleskreis.
Wir können die Strecke durch ein Polygon ersetzen: von welchen Punkten aus sehen wir das regelmäßige Siebeneck (Abb. 5a) unter einem Winkel von 60°? Die Lösung ist der Außenrand der Kreisfiguration der Abbildung 5b. Die Kreise sind Ortsbogen für den Winkel 60° über den Diagonalen des Siebenecks.
Abb. 5: Regelmäßiges Siebeneck gesehen unter 60°
Wir werden im Folgenden die Parabel auf Kegelschnitte verallgemeinern: von welchen Punkten aus sehen einen Kegelschnitt unter einem vorgegebenen Winkel? Zunächst untersuchen wir die Situation für rechte Winkel (Thalesproblem).
4 Rechte Winkel als Sehwinkel
Von welchen Punkten aus sehen wir einen Kegelschnitt unter einem rechten Winkel?
a) b)
4.1 Parabel
Die Thaleskurve ist die Leitlinie der Parabel (Abb. 6). Der Beweis ist eine schöne Übung in Parabelgeometrie.
Abb. 6: Parabel und Leitlinie als Thaleskurve
4.2 Ellipse
Wir erhalten interessanterweise einen Kreis (Abb. 7). Die Thaleskurve einer Ellipse ist also ein Kreis. Der Beweis ist recht happig.
Die Ecken der „Umrechtecke“ einer Ellipse liegen auf einem Kreis.
Abb. 7: Ellipse und Thaleskreis
4.3 Hyperbel
Die Thaleskurve existiert nur für a>b und ist ebenfalls ein Kreis.
5 Beliebige Winkel als Sehwinkel
Gesucht sind die Punkte, von denen aus ein gegebener Kegelschnitt unter einem vorge- gebenen Winkel α gesehen wird.
5.1 Parabel
Die gesuchten Punkte liegen auf einem Hyperbelast (Abb. 8).
Auf dem zweiten Hyperbelast (magenta in Abb. 8) liegen die Punkte, von denen aus die Parabel unter dem Winkel 180°−α gesehen wird. Einer der beiden Brennpunkte der Hyperbel ist auch Brennpunkt der Parabel.
Abb. 8: Parabel und Hyperbelast
Die Abbildung 9 zeigt die Hyperbelschar für Sehwinkel α ∈
{
10°,20°,...,90°}
. DieKurven sind eine Art Niveaulinien für α . Die Hyperbeln haben einen Brennpunkt ge- meinsam, dies ist auch der Brennpunkt der Parabel.
Abb. 9: Hyperbelschar
5.2 Ellipse
Die Abbildung 10 zeigt zwei Beispiele.
Abb. 10: Ellipse
Die gesuchte Punktmenge ist kein Kegelschnitt mehr. Analoges gilt für die Hyperbel.
a) b)
Dank
Der Autor dankt Kolleginnen und Kollegen des Liechtensteinischen Gymnasiums Vaduz für Anregungen und Hinweise.
Websites
[1] Hans Walser: Sehwinkel bei Kegelschnitten (abgerufen 15.06.2018):
www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/S/Sehwinkel_Kegelschnitte/Sehwinkel_Kegelschnitte.htm [2] Hans Walser: Tangente an Kegelschnitt (abgerufen 03.06.2018):
www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/T/Tangente_an_Kegelschnitt/Tangente_an_Kegelschnitt.htm
[3] Hans Walser: Thaleskreis an Ellipse und Hyperbel (abgerufen 15.06.2018):
www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/T/Thaleskreis_E_H/Thaleskreis_E_H.htm [4] Hans Walser: Kreistangente ohne Thaleskreis (abgerufen 18.06.2018):
www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kreistangente_o_Tk/Kreistangente_o_Tk.htm
[5] Hans Walser: Tangente an Ellipse und Hyperbel (abgerufen 19.06.2018):
www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/T/Tangenten_E_H/Tangenten_E_H.htm
Literatur
Weber, Karlheinz und Zillmer, Wolfgang (2002): Mathematik Gymnasiale Oberstufe.
Grundkurs Aufgabenbuch. Analysis, Analytische Geometrie und Lineare Algebra. Stochastik. Berlin – Frankfurt M: Duden Paetec Schulbuchverlag.
ISBN 3-89818-110-3.
Last modified 19/06/2018
