Rubidium-dotierten Helium-Nanotr¨ opfchen

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Aufbau eines Velocity-Map-Imaging-Spektrometers und winkelaufgel¨ oste Spektroskopie an

Rubidium-dotierten Helium-Nanotr¨ opfchen

Diplomarbeit

vorgelegt von Lutz Fechner Freiburg im Breisgau, im M¨ arz 2011

Prof. Dr. Frank Stienkemeier

Fakult¨ at f¨ ur Mathematik und Physik

Albert-Ludwigs-Universit¨ at Freiburg

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Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 1

2 Das Velocity-Map-Imaging-Spektrometer 5

2.1 Grundlegende Funktionsweise des Spektrometers . . . 5 2.2 Simulation des Spektrometers und Optimierung der Elektrodengeometrie . 14 2.3 Technischer Aufbau des Spektrometers . . . 22 2.4 Software für Datenaufnahme und deren Echtzeit-Analyse . . . 27 3 Helium-Nanotröpfchen und Photoionisation 33 3.1 Helium und Helium-Nanotröpfchen . . . 33 3.2 Theorie der Photoionisation . . . 38

4 Experimenteller Aufbau 51

4.1 Aufbau für Messungen mit kommerziellen Dispensern . . . 51 4.2 Aufbau für Messungen an der Tröpfchen-Apperatur . . . 53 4.3 Lasersystem und Optik . . . 56

5 Ergebnisse 59

5.1 Charakterisierung des Spektrometers . . . 59 5.2 Messungen an Rubidium aus der Gasphase . . . 65 5.3 Messungen an Rubidium-dotierten Helium-Nanotr¨opfchen . . . 76

6 Zusammenfassung und Ausblick 103

iii

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iv Inhaltsverzeichnis

A Anhang 107

A.1 Veröffentlichungen . . . 107 A.2 Fotos und Pläne . . . 108 A.3 Korrelationsdiagramm für RbHe₂₀₀₀ . . . 110 A.4 Mathematische Relation bei der Herleitung der Invers-Abel-Transformation 111 A.5 Quelltexte . . . 112 A.6 Beschreibung der Software-Oberfäche . . . 116

Literatur/Quellen 119

Abbildungsverzeichnis 130

Abk¨urzungsverzeichnis 131

Danksagung 133

Erkl¨arung 135

(5)

1 Einleitung

Der innere Aufbau unserer Welt war ¨uber Jahrtausende hinweg stets Gegenstand der Forschung. Die Existenz einer mikroskopischen Struktur der Objekte unserer Alltagser- fahrung postulierte Demokrit schon um etwa 400 v. Chr. Immer wieder jedoch ¨anderte sich die Vorstellung der kleinsten Einheiten der Materie, immer komplexer wurden die zu Grunde liegenden Theorien.

1814 beobachtete von Fraunhofer dunkle Linien im Spektrum der Sonne und damit einen ersten Hinweis auf eine

”neue“ Physik, die unser Weltbild so nachhaltig ändern sollte [Fra17]. Deren Entwicklung nahm allerdings noch einige Jahrzehnte in Anspruch. Erst zu Beginn des 20. Jahrhunderts, mit Entdeckung des Planckschen Stahlungsgesetzes 1900 [GS00], Einsteins Quantisierung des elektromagnetischen Feldes 1905 [Ein05] und der Ent- wicklung des Bohrschen Atommodells 1913 [Boh13], konnte die moderne Quantenmechanik begründet und Fraunhofers Beobachtungen erklärt werden.

Die bis dahin rein empirisch durchgef¨uhrten Untersuchungen von Lichtspektren, die

”Spek- troskopie“, erfuhr einen enormen Anschub. Mit Hilfe von Licht war es nun nicht nur m¨oglich, Elemente in Proben zu identifizieren, sondern auch ihre innere Struktur von Ato- men und Molek¨ulen direkt sichtbar zu machen und die neuen Theorien gewissermaßen auf die Probe zu stellen.

Das Aufkommen des Lasers¹ ab 1960 [Mai60] mit seinen charakteristischen Eigenschaf- ten spielte für die Entwicklung der neuen Techniken eine wichtige Rolle. Heute sind die verschiedenen Varianten der Laserspektroskopie, etwa die Absorptions-, LIF²-, Raman-, Ionisations- oder zeitaufgelöste Pump-Probe-Spektroskopie eines der wichtigsten Instru- mente der experimentellen Atom- und Molekülphysik [Dem08].

Zahlreiche Vorteile, etwa die Reduktion des oft auflösungslimitierenden Doppler-Effekts, ergeben sich durch Spektroskopie an Molekülstrahlen. Eine interessante Variante stellt hierbei die Verwendung eines Strahls aus Helium-Nanotröpfchen dar, großen Helium- Clustern bestehend aus 1000 oder mehr Heliumatomen. Wie atomares Helium sind auch diese Tröpfchen transparent für infrarotes, sichtbares und sogar UV-Licht [JKM93] und damit in den meisten Spektroskopie-Experimenten

”unsichtbar“. Allerdings sind sie in der Lage, sowohl Atome [STN90], einfache Di- oder Trimere, aber auch etwa komplexe Fuller-

1Light Amplification byStimulatedEmission of Radiation (engl.) - Lichtverst¨arkung durch stimulierte Emission von Strahlung

2Laser-InducedFluorescence (engl.) - Laserinduzierte Fluoreszenz

1

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2 1. Einleitung ene [CFHQ97], große Cluster - etwa Mg₂₅₀₀ [DDF05] - oder organische Molek¨ule [WS03]

mit sich zu f¨uhren. Dabei sind sie chemisch inert, mit etwa 380 mK [HHT97] ¨außerst kalt und zeigen wie makroskopische Mengen Heliums suprafluides Verhalten [GTV98].

Diese Eigenschaften machen die Tr¨opfchen zu einer

”idealen Matrix“ f¨ur Spektroskopiean- wendungen (sog. HENDI³-Spektroskopie) [TV04]. Die Wechselwirkung mit ihren Dotan- ten ist verglichen mit anderen Matrizen sehr klein, so dass typischen Matrix-Effekte, eine Verschiebung und Verbreiterung der beobachteten Linien, extrem gering sind [GSS92].

Daneben werden die Dotanten effektiv gekühlt, befinden sich also nach kurzer Zeit in ihren Vibrations- und Rotations-Grundzuständen, was speziell für die Infrarotspektroskopie einen großen Vorteil darstellt [Har97]. Schließlich ist auch die Bildung extrem schwach gebundener Verbindungen auf dem Tröpfchen möglich [MHH09], da die Bindungsenergie effektiv abgeführt werden kann.

Viele der bekannten Spektroskopieverfahren wurden bereits erfolgreich auf dotierte Helium- Nanotr¨opfchen angewendet, darunter zeitaufgel¨oste Pump-Probe-Spektroskopie [MHH09]

oder LIF-Spektroskopie [WS03], aber auch die Ionisation der Dotanten mit daran anschlie- ßender Photoelektronenspektroskopie ist m¨oglich [LD05]. Durch Verwendung von hinreichend starken oder gepulsten Lasern und MPI⁴- oder REMPI⁵-Prozessen [VDL65, MM80]

gelingt dabei auch die effektive Ionisation von Dotanten mit sehr hohem Ionisationspoten- zial.

Zur Messung der Energie- und Richtungsverteilungen der Photoelektronen, aus denen auf die innere Struktur der ionisierten Teilchen geschlossen werden kann, existieren verschiedene Techniken. Die wohl einfachste Möglichkeit ist der direkte Nachweis der in einen kleinen, durch den Detektor abgedeckten Raumwinkel emittierten Elektronen. Aus der Flugzeit bis zum Detektor kann die kinetische Energie der Elektronen bestimmt werden (Field-Free Time-of-Flight⁶), durch Variation der Position des Detektors im Raum die Winkelver- teilung [ALJZ89]. Allerdings sind die Elektronen sehr schnell, so dass die resultierenden kleinen Flugzeiten zu einer Limitierung der Energieauflösung führen. Die Messung muss zudem für verschiedene Winkel wiederholt werden, wobei stets nur ein kleiner Teil der in den gesamten Raum emittierten Elektronen detektiert wird. Dadurch verlängert sich die Messzeit entsprechend, der Einfluss von Rauschen auf dem Detektor nimmt zu.

Mit der ZEKE-Spektroskopie⁷ [MDSS84] gelingt zwar eine drastische Steigerung der Ener- gieauflösung und eine Abdeckung des gesamten Raumwinkels, jedoch sind winkelaufgelöste Messungen prinzipiell nicht möglich. Die Verwendung einer Magnetischen Flasche [KR83]

erlaubt zwar die Abdeckung des halben Raumwinkels bei der Messung der Energien, die Messung der Winkelverteilung ist jedoch nur bedingt m¨oglich.

Die Abdeckung des gesamten Raumwinkels bei gleichzeitiger Messung aller auftretenden Energien und Emissionswinkel von Elektronen als auch von Ionen wird durch sog. Imaging-

3HeliumNanodropletIsolation (engl.) - Isolation in Helium-Nanotr¨opfchen

4Multi-PhotonIonization (engl.) - Mehrphotonen-Ionisation

5Resonance-EnchancedMulti-PhotonIonization (engl.) - Resonanz-¨uberh¨ohte Mehrphotonen-Ionisation

6Field-Free Time-of-Flight (engl.) - Feldfreie Flugzeit

7Zero-ElectronKineticEnergy-Spectrosopy (engl.) - Spektroskopie von Elektronen mit verschwindender Energie

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3 Verfahren möglich [TCPJ88]. Dabei werden die Teilchen über geeignete elektrische Felder auf einen Detektor beschleunigt und ortsaufgelöst nachgewiesen. Die sich ergebende Inten- sitätsverteilung erlaubt Rückschlüsse auf Emissionswinkel und die anfängliche kinetische Energie [BPHH96]. Diese Spektrometer erzeugen ein Abbild der anfänglichen Geschwin- digkeitsverteilung der Teilchen und werden aus diesem Grund als Velocity-Map-Imaging⁸- oder kurz VMI-Spektrometer bezeichnet.

Ursprünglich wurden für die Beschleunigung homogene Felder verwendet, was auf Grund der dafür notwendigen Elektrodengitter zu Störungen in den Bildern führte. Eppink und Parker verzichteten 1997 erstmals auf diese und demonstrierten das nach Ihnen benannte Elektrodendesign [EP97] mit inhomogenen Feldern, welches zu einer massiven Verbes- serung der Bildqualität und damit der Energie- und Winkelauflösung der Spektrometer führt. Seitdem stehen für die meisten Anwendungen der Photoelektronenspektroskopie mit entsprechend konzipierten, modernen VMI-Spektrometern geeignete und sehr effizien- te Instrumente zur Verfügung.

Im Rahmen dieser Arbeit wurde ein solches VMI-Spektrometer speziell für die winke- laufgelöste Photoelektronenspektroskopie an dotierten Helium-Nanotröpfchen konzipiert und aufgebaut. Es soll zukünftig in den zeitaufgelösten Femtosekunden-Pump-Probe- Experimenten der Abteilung Molekül- und Nanophysik eingesetzt werden. Darüberhinaus ist das Spektrometer in der Lage die Geschwindigkeitsverteilung von Ionen abzubilden.

Beide Anwendungsmöglichkeiten werden zunächst mittels eines geeigneten REMPI-Prozes- ses an Rubidium demonstriert. Neben seiner relativ einfachen Ionisierbarkeit im Sichtbaren zeichnet sich Rubidium dadurch aus, dass mit diesem Element einfach dotierte Helium- Nanotröpfchen, das System RbHe_N, vergleichsweise gut bekannt und charakterisiert ist [Bün06]. Die vorliegende Arbeit umfasst die weltweit erste winkelaufgelöste Spektrosko- pie von Photoelektronen und -ionen des RbHe_N-Systems, wie sie für solche Systeme mit Alkalimetallen bisher nur für NaHe_N durchgeführt wurde [Log08]. Die im Rahmen dieser Arbeit durchgeführten Messungen enthüllen interessante Details über die Wechselwirkung zwischen Helium-Nanotröpfchen und seinem Rubidium-Dotanten und tragen damit zur aktuellen Diskussion dieses Themas bei [PAA10].

8Velocity-Map-Imaging (engl.) - Abbilden einer Geschwindigkeitsverteilung

(8)

4 1. Einleitung

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2 Das Velocity-Map-Imaging- Spektrometer

In diesem Kapitel wird zunächst die grundlegende Funktionsweise eines Velocity-Map- Imaging-Spektrometers erläutert. Weiterhin wird die Konzeption und der technische Auf- bau des im Rahmen dieser Arbeit realisierten Spektrometers präsentiert. Die zwecks einer Optimierung der Elektrodengeometrie hinsichtlich maximaler Energieauflösung bei der Spektroskopie von Photoelektronen und der Abschätzung des Einflusses von Magnetfel- dern durchgeührten Simulationen werden vorgestellt. Die Beschreibung des technischen Aufbaus des Spektrometers umfasst neben dem konkreten Entwurf die Auswahl geeigneter Komponenten und Materialien. Abschließend soll die Funktionsweise der ebenfalls im Rahmen dieser Arbeit entwickelten Software für die Aufnahme und Echtzeit-Verarbeitung der Daten vorgestellt werden.

2.1 Grundlegende Funktionsweise des Spektrometers

Ein Velocity-Map-Imaging¹- oder kurz VMI-Spektrometer dient zur Untersuchung von Geschwindigkeitsverteilungen geladener Teilchen, die in einem definierten Volumen, typischerweise durch Photoionisation erzeugt werden. Die anfängliche räumliche Verteilung der Teilchen hingegen soll dabeinichtGegenstand der Messung sein und daher auch möglichst keinen Einfluss auf die Ergebnisse besitzen.

Abbildung 2.1 zeigt schematisch den typischen Aufbau eines VMI-Spektrometers. Ein La- ser erzeugt durch Photoionisation in einem definierten Volumen geladene Teilchen, die mittels einer geeigneten Ionenoptik auf eine planare, ortsauflösende Detektorfläche beschleunigt werden. Typischerweise handelt es sich dabei um ein System aus einem MCP² und einem Phosphorschirm, der mittels einer CCD-Kamera rückseitig beobachtet wird.

Die Funktionsweise eines MCPs ist in Abbildung 2.2 dargestellt. Auf der Vorderseite ein- fallende Teilchen erzeugen innerhalb der Kanäle mit einem typischen Durchmesser von etwa 8µm durch Kollision mit den Wänden Sekundärelektronen. Diese werden durch eine angelegte Spannung beschleunigt und erzeugen ihrerseits weitere Elektronen. Es kommt zu einer lawinenartigen Verstärkung. Auf der Rückseite des MCPs tritt an entsprechen-

1Velocity-Map-Imaging (engl.) - Abbilden einer Geschwindigkeitsverteilung

2MicroChannelPlate (engl.) - Mikrokanalplatte

5

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6 2. Das Velocity-Map-Imaging-Spektrometer

CCD-Kamera Phosphorschirm MCP

Ionenoptik

ê

_y

ê

_x

ê

_z

Ionisationsgebiet

Abb. 2.1: Schema eines Velocity-Map-Imaging-Spektrometers. Ein Laser erzeugt in einem definierten Raumvolumen durch Photoionisation geladene Teilchen. ¨Uber eine geeignete Ionenoptik werden diese auf ein ortsaufl¨osendes Detektorsystem bestehend aus MCP, Phosphorschirm und Kamera abgebildet.

der Stelle ein Elektronenschauer aus. Dieser kann anschließend auf den Phosphorschirm beschleunigt werden und erzeugt dort einen kurzen Lichtblitz, der mit der CCD-Kamera aufgezeichnet werden kann.

2.1.1 Abbildung einer Geschwindigkeitsverteilung

Im Folgenden soll zun¨achst ein punktf¨ormiges Ionisationsgebiet angenommen werden. Ab- schnitt 2.1.4 beschreibt die realistische Situation eines ausgedehnten Gebietes und die sich daraus ergebenden Konsequenzen. Abbildung 2.1 zeigt das verwendete Koordinatensystem dessen Ursprung im Punkt der Ionisation liege.

Zum Zeitpunkt der Ionisation durch den Laser befindet sich jedes der Teilchen in diesem Punkt und besitzt eine Geschwindigkeit~vi = (vxi, vyi, vzi), deren Verteilung gemessen werden soll. Über ein elektrisches FeldE~ entlang êz werden die Teilchen nun in Richtung Detektorfläche beschleunigt und treffen dort auf von ~v_i abhängige Punkte P~_i = (x_i, y_i).

Die durch die Beschleunigung auf die Teilchen übertragene Energie soll dabei groß ge- genüber ihrer anfänglichen kinetischen Energie sein. Mathematisch handelt es sich bei dieser Projektion um eine surjektive, lineare Abbildung des dreidimensionalen Raums der Geschwindigkeiten in den zweidimensionalen Raum der Punkte auf der Detektoroberfläche:

P :R³−→R², ~v7−→P~ . (2.1) Die Abbildung istnicht injektiv. Wie Abbildung 2.3 veranschaulicht, werden verschiedene Geschwindigkeitsvektoren{~vj} also auf den selben PunktP~ abgebildet.

Aus dem Ort des Auftreffens auf der Detektoroberfl¨ache kann also nicht auf eine bestimmte Geschwindigkeit ~v_i oder zumindest einen Betrag |~v_i| geschlossen werden. Selbst wenn

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2.1. Grundlegende Funktionsweise des Spektrometers 7

10µm 8µm

Elektronenschauer einfallendes Teilchen

Sekundär- Elektronen

+

Abb. 2.2: Aufbau und Funktionsweise eines MCPs. Auf der Vorderseite (oben) ein- fallende Teilchen erzeugen innerhalb der Kanäle (Durchmesser typisch 8µm) Se- kundärelektronen. Auf der Rückseite des MCPs treten diese Elektronenschauer wieder aus. Entnommen aus [And08], bearbeitet.

B C

Detektor

êz

êx

A

F

E

v

C

v

B

v

A

Abb. 2.3: Teilchen verschiedener Geschwindigkeiten~vA,~vB und~vC mit|~vB| 6=|~vA|=

|~vC| werden auf den selben Punkt P auf dem Detektor abgebildet. Auf Grund unter- schiedlicher Flugzeiten unterscheiden sich die Komponentenv_x der Teilchen.

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ê

x

ê

z

r x z

f(r,y

₀

) F(x,y

₀

)

Abb. 2.4: Skizze zur Herleitung der Abel-Transformation. Dargestellt sind Schnitte durch die Verteilungen f(r, y) undF(x, y)für ein festes y=y₀. Ein Beobachter blickt aus Richtung eˆ_z auf die zylindersymmetrische Verteilung f. Er verfügt über keinerlei Entfernungsinformation und sieht daher stets das entlang der eˆz-Richtung integrierte Signal F.

dieser für die Teilchen festgelegt ist, ist der Rückschluss auf die Geschwindigkeitsvektoren nicht möglich. Die Projektion verwirft jegliche Information über die Geschwindigkeitskom- ponente vz.

Um für jedes Teilchen den kompletten Geschwindigkeitsvektor ~v angeben zu können, müssen die durch die Projektion verlorenen Informationen auf anderem Wege beschafft werden. Bei der Verwendung eines linear polarisierten Lasers für den Photoionisations- prozess wird mit der Polarisationsrichtung ˆεgenau eine Raumrichtung ausgezeichnet, die Geschwindigkeitsverteilung ist bezüglich dieser zylindersymmetrisch (Abschnitt 3.2). Die Polarisationsrichtung kann zur Detektorfläche parallel gewählt werden. Im Folgenden soll für diesen Fall der mathematische Zusammenhang zwischen einer umy zylindersymmetri- schen Verteilung f(r, y) und ihrer ProjektionF auf die Detektorfläche hergeleitet werden.

Gegeben sei eine zylindersymmetrische Verteilung f(r, y). Ein unendlich weit entfernter Beobachter blicke aus Richtung ˆe_z auf die gegebene Verteilung (Abbildung 2.4). Er sieht stets das entlang der ˆez-Richtung integrierte SignalF(x, y):

F(x, y) = Z ∞

−∞

f(r, y) dz= 2 Z ∞

0

f(r, y) dz . (2.2)

Es ist r² =x²+z², also

dz= r

√

r²−x² dr . (2.3)

Damit gilt nach Substitution und Anpassung der Integrationsgrenzen F(x, y) = 2

Z ∞

|x|

f(r, y)r

√

r²−x² dr . (2.4)

(13)

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

2 4 6 8 10 F(x)

x

Abb. 2.5: Abel-TransformierteF(x) der Funktionf(r) =δ(r−1).

Dies ist die sogenannteAbel-Transformationmit der sich das f¨ur den Beobachter sichtbare BildF aus der Verteilung f berechnen l¨asst.

Als einfaches Beispiel f¨ur eine gegebene Verteilung betrachten wir einen Zylindermantel mit Radius 1, gegeben durch f(r, y) = δ(r−1). Mit (2.4) ergibt sich die transformierte Funktion F zu

F(x, y) = ( ₂

√1−x² x≤1

0 x >1 . (2.5)

Diese Funktion divergiert für|x|= 1, also an jenen Punkten wo der Beobachter tangential auf den Zylindermantel blickt. Dieses Verhalten resultiert aus der radial unendlich schma- len Verteilung und tritt etwa in Expermimenten dementsprechen nicht auf. Die Projektion ist wie die Verteilung f unabhängig von y, ihre Abhängigkeit vonx ist in Abbildung 2.5 dargestellt.

2.1.2 Formale Rekonstruktion der Geschwindigkeitsverteilung

Mit der Abel-Transformation lässt sich aus einer vorgegebenen Verteilung f das sich bei einer Projektion ergebende BildF berechnen. Im Experiment liegt jedoch die umgekehrte Situation vor: Das BildF wird beobachtet, die Verteilung f muss berechnet werden. Im Folgenden soll zunächst die dafür benötigte Rücktransformation formal hergeleitet werden, auch wenn sie für Messdaten auf Grund ihrer Struktur praktisch nicht zu verwenden ist.

Mit der Rekonstruktion aus Messdaten besch¨aftigt sich am Anschluss Abschnitt 2.1.3.

Eine partielle Integration von (2.4) bez¨uglichr ergibt F(x, y) = 2

h

f(r, y)p

r²−x² i∞

r=|x|−2 Z ∞

|x|

df(r, y) dr

pr²−x²dr . (2.6) Unter der Voraussetzung, dass f(r, y) für r −→ ∞ schneller abfällt als 1/r, entfällt der erste Summand. Ableiten des Ausdruckes nachx ergibt mit der Leibnizregel für Parame-

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10 2. Das Velocity-Map-Imaging-Spektrometer terintegrale³ [BSMM06]

dF(x, y) dx = 2

Z ∞

|x|

df(r, y) dr

√ x

r²−x²dr . (2.7)

Wir definieren eine Funktion g in Abh¨angigkeit vom BildF, verwenden (2.7) und zeigen anschließend, dassg(r, y) die zum Bild geh¨orige und gesuchte Verteilung f(r, y) darstellt:

g(r, y) :=−1 π

Z ∞

|r|

dF(x, y) dx

√ 1

x²−r² dx (2.8)

=−1 π

Z ∞

|r|

Z ∞

|x|

df(˜r, y) d˜r

√ 2x

˜ r²−x²

√ 1

x²−r² d˜rdx (2.9)

=−1 π

Z ∞

|r|

Z ∞

|x|

df(˜r, y) d˜r

2x

p(˜r²−x²) (x²−r²)d˜rdx (2.10)

=−1 π

Z ∞

|r|

Z |˜r|

|r|

2x

p(˜r²−x²) (x²−r²)dx

!df(˜r, y)

d˜r d˜r . (2.11)

Im letzten Schritt wurde dabei der Satz von Fubini verwendet [Kön04]. Das eingeklam- merte Integral in diesem Ausdruck ergibt wie in Abschnitt A.4 gezeigtπ. Somit gilt unter Berücksichtigung vonf(r, y)−→0 fürr−→ ∞

g(r, y) =− Z ∞

|r|

df(˜r, y)

d˜r d˜r =−f(∞, y) +f(r, y) =f(r, y) . (2.12) Damit ist der gesuchte Zusammenhang zwischenf undF hergestellt. Aus (2.12) und (2.8) folgt die sog. Invers-Abel-Transformation:

f(r, y) =−1 π

Z ∞

|r|

dF(x, y) dx

√ 1

x²−r²dx . (2.13)

Die Form dieses Ausdrucks offenbart die Probleme, die beim Versuch, eine Geschwindig- keitsverteilung aus Messdaten zu rekonstruieren auftreten: Das Bild ist durch die endliche Größe etwa der Pixel des verwendeten CCD-Chips nur für diskrete Wertexi bekannt und zusätzlich wie alle Messwerte mit Rauschen behaftet. Die Ableitung vonF nach der Orts- koordinate x kann daher nur näherungsweise als Differenzenquotient berechnet werden.

Auf Grund des vorhandenen Rauschens werden u.U. einzelne Werte der Ableitung ohne physikalische Ursache sehr groß. Gerade im Bereich der unteren Integrationsgrenze führt dies zu großen Integranden, die eine Rekonstruktion der tatsächlichen Verteilung f auf diesem Wege stark einschränken bzw. unmöglich machen.

3 d dt

Rβ(t)

α(t) q(s,t) ds=Rβ(t) α(t)

∂q(s,t)

∂t ds+β⁰(t)·q(β(t),t)−α⁰(t)·q(α(t),t)

(15)

2.1. Grundlegende Funktionsweise des Spektrometers 11 2.1.3 Rekonstruktion aus Messdaten: Die BASEX-Methode

Um die beschriebenen Probleme zu umgehen und die Verteilungen auf einfache Weise aus gemessenen Bildern rekonstruieren zu können, wurden zahlreiche numerische Methoden entwickelt. Im Folgenden soll die BASEX-Methode⁴, einer der neueren, häufig verwendeten und sehr erfolgreichen Ansätze vorgestellt werden [DOMR02].

Im Raum der Verteilungen f wird ein geeigneter Satz von Basisfunktionen ˜f_k gewählt, deren Projektionen ˜Fk auf den Detektor über (2.4) analytisch bekannt sind. Prinzipiell ist die Wahl der Basisfunktionen beliebig, jedoch sollte sie einige Eigenschaften erfüllen um praktikabel zu sein:

• Jede Funktion sollte (einfach) analytisch integrierbar sein, um die Abel-Transforma- tion tatsächlich durchführen zu können.

• Die durch die Transformation entstehenden Intensit¨atsverteilungen sollten die Dar- stellung hinreichend kleiner Strukturen erlauben.

• Auf noch kleineren Distanzen sollten die Projektionen hinreichend glatt sein.

Folgende Basis erf¨ullt diese Anforderungen:

f˜_k(r) = e

k² k²r

σ 2k²

exp

−r σ

2

. (2.14)

Dabei ist σ ein Parameter, der die Ausdehnung der Funktionen über r und die Position ihrer Maxima bestimmt. Um die oben genannten Eigenschaften zu erfüllen, sollteσ in der Größenordnung der kleinsten Struktur liegen, die vom verwendeten Detektorystem noch aufgelöst werden kann. Die Abel-Transformation dieser Funktionen ergeben sich mit (2.4) zu:

F˜k(x) = 2σρk(x)



1 +

k²

X

l=1

"

x σ

−2l l

Y

m=1

k²+ 1−m

(m−1/2) m

#

 . (2.15)

In Abbildung 2.6 sind einige Verteilungen ˜f(r) und ihre Projektionen ˜F(x) gezeichnet.

Auf Grund der Linearität der Abel-Transformation bilden die ˜F_k als Abbildung einer Basis der Verteilungsfunktionen eine ebensolche im Raum der Projektionen. Jedes in den Messungen erhaltene Bild kann nach dieser entwickelt werden. Fürk−→ ∞ ergeben sich Funktionen ˜Fk, deren Maxima sich bei immer größeren ˜x befinden. Für einen Detektor endlicher Größe kann der Index k in Abhängigkeit von σ nach oben beschränkt und mit einer endlichen Basis gearbeitet werden. Entwickelt man das Bild F nach den ˜F_k, ergibt sich die gesuchte Verteilungf aus der entsprechenden Linearkombination der ˜fk.

4BasisSetExpansion-Methode

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- 20 - 10 0 10 20

r

x F_k(x) f_k(r)

~

k 201816141210 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 σ=1

Abb. 2.6: Einige der Basisfunktionenf˜k(r) (oben) für die BASEX-Methode und ihre durch die analytische Abel-Transformation (2.4) auf den Detektor abgebildeten Pro- jektionen F˜_k(x) (unten). Mit aufsteigendem Index k liegen die Maxima der beiden Kurven bei immer größeren Beträgen vonr bzw. x.

2.1.4 Einfluss des endlichen Ionisationsvolumens

Bislang wurde angenommen, dass die geladenen und sp¨ater auf den Detektor projizierten Teilchen in einem Raumpunkt entstehen. Im realen Experiment ist das Ionisationsgebiet jedoch immer auf einen endlichen Raumbereich ausgedehnt, der sich bei Photoionisations- Experimenten oftmals durch die Gestalt des fokussierten Lasers ergibt.

Abbildung 2.7 zeigt den Strahlverlauf eines fokussierten Lasers. Dieser wird dabei als sog.

Gaußsches Lichtb¨undel betrachtet. Der Durchmesser des Strahls erreicht einen endlichen minimalen Wert w_R. In einem Raumbereich bez¨uglich der Ausbreitungsrichtung vor und

Rayleigh-Bereich w_R

2z_R

Ausbreitungsrichtung

Abb. 2.7: Verlauf des Durchmessers eines fokussierten Laserstrahls entlang der Aus- breitungsrichtung. Der Durchmesser bleibt stets endlich und erreicht im Fokus sein Minimum wR. Im Bereich±z_R um diesen Punkt besitzt der Laser einen nahezu konstanten Durchmesser. Der Bereich, innerhalb dessen w ≤ √

2w_R gilt, wird als Ray- leighbereich bezeichnet, z_R als Rayleighl¨ange.

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Repeller Extractor Ground

d₁ d₂ 2r_E

2r_G

UE

UR

Abb. 2.8: Schema eines Eppink-Parker-Elektrodendesigns mit Repeller- sowie offener Extractor- und Ground-Elektrode.

hinter dieser Taille hat der Laserstrahl einen nahezu konstanten Durchmesser und damit eine ebenso konstante Intensität. Dieser Bereich wirdKonfokalbereich genannt, die Hälfte seiner Ausdehnung in Strahlachse als Rayleighlänge z_R bezeichnet. Zu Beginn und am Ende dieses Bereichs ist der Durchmesser des Strahls um den Faktor√

2 gr¨oßer als an der Taille. Es gilt [ZZ09]:

w_R= 2λf

πd (2.16)

z_R= πw²_R

4λ . (2.17)

Dabei istλdie Wellenl¨ange,f die Brennweite der Linse unddder Durchmesser des Strahls vor der Fokussierung.

Findet die Ionisation nun in einem endlich großen Bereich statt, so ist der Auftreffpunkt eines bestimmten Teilchens auf den Detektor im Allgemeinen nicht mehr nur abhängig von seinem anfänglichen Geschwindigkeitsvektor, sondern auch vom genauen räumlichen Auf- enthaltsort zu Beginn der Beschleunigung. Ein VMI-Spektrometer soll jedoch Geschwin- digkeitsverteilungen abbilden, keine räumlichen Strukturen. Um dies zu erreichen, müssen die unterschiedlichen Startpunkte der einzelnen Teilchen über eine geeignete Ionenoptik, also durch Verwendung eines geeigneten inhomogenen elektrischen Feldes kompensiert werden. Gelingt dies, hängt der Auftreffpunkt ausschließlich von der anfänglichen Ge- schwindigkeiten der Teilchen ab. Diese Ortsfokussierung wird möglich, da die Teilchen mit unterschiedlichen Ortskoordinaten zu Anfang auf ihren individuellen Trajektorien im inhomogenen Feld unterschiedliche Feldgradienten und eine individuelle Gesamtbeschleu- nigung erfahren.

Eine einfache und häufig verwendete Geometrie zur Erzeugung eines geeigneten inhomogenen Feldes für diese Aufgabe ist das sog.Eppink-Parker-Design [EP97]. Es besteht aus einem System aus drei Elektroden, der geschlossenen Repeller- sowie den beiden offenen Extractor- und Ground-Elektroden (Abbildung 2.8). Die Ground-Elektrode liegt auf Erd- potenzial, an der Repeller-Elektrode dagegen eine an die kinetischen Energien der Teilchen angepasste Beschleunigungsspannung U_R an. In Abhängigkeit der Elektrodengeometrie - den Abständed1undd2und den LochradienrE undrGder offenen Elektroden - ergibt sich ein im Sinne der oben beschrieben Ortsfokussierung ein ideales Verhältnis der Spannun- gen an Extractor- und Repeller-Elektrode 0≤U_E/U_R<1. Mit der Wahl der hinsichtlich

(18)

14 2. Das Velocity-Map-Imaging-Spektrometer maximaler Auflösung zu wählenden Geometrie und dem zugehörigen Spannungsverhältnis beschäftigt sich das folgende Kapitel.

2.2 Simulation des Spektrometers und Optimierung der Elek- trodengeometrie

Für die in Zukunft geplanten Experimente sollen die Geometrie des Eppink-Parker-Elek- trodendesigns (Abbildung 2.8) so gestaltet sein, dass die erreichbare Energieauflösung speziell bei der Abbildung von Elektronen möglichst groß ist. Wie in Abschnitt 2.1.4 beschrieben, müssen Elektronen mit identischen Geschwindigkeitsvektoren~v, jedoch unterschiedlichen Startpunkten im Raum dazu durch geeignete inhomogene Felder auf den selben Punkt des MCPs abgebildet werden. Dort sollen sie ohne Nachbeschleunigung Se- kundärelektronen erzeugen, wofür sie eine gewisse kinetische Energie benötigen.

Typischerweise haben MCPs ihren maximalen Wirkungsgrad für Elektronen bei einer kinetischen Energie von etwa 1500 eV-2000 eV. Wird die Spannung an der Repeller-Elektrode zu −2000 V gewählt, erhalten die Elektronen eine Energie in dieser Größenordnung. Der genaue Wert hängt von der Spannung an der Extractor-Elektrode bzw. von dem sich ergebenden Potenzial im Ionisationsgebiet ab. Bei Verwendung eines Helium-Tröpfchenstrahls erhalten die Elektronen bei der Photoionisation ähnliche kinetische Energien wie bei Ioni- sationsprozessen aus der Gasphase (Abschnitt 3.2.3). Für die Simulationen wird deshalb eine RepellerspannungURvon−2000 V und eine kinetische Energie der Elektronen vor der Beschleunigung von 2 eV festgelegt, für die Größe des Ionisationsgebiets ein Durchmesser von 2 mm angenommen. Für die Simulationen kommt die kommerzielle Software Simion 7.0 [DDA90] zum Einsatz.

Simion kann das Potenzial in jedem Punkt des Raums berechnen, welches sich durch eine beliebig vorgegebene Geometrie der Elektroden ergibt. Daraus ergeben sich die Tra- jektorien geladener Teilchen, die sich zwischen den Elektroden aufhalten. Mathematisch handelt es sich um ein Dirichlet-Randwertproblem [Fli08]. In einem Volumen V gilt die Poisson-Gleichung

∆Φ =−4πρ , (2.18)

auf dem RandR=∂V wird das Potenzial mit Φ = Φ₀fest vorgegeben. Ohne Raumladun- gen wird aus der Poisson-Gleichung eine homogene partielle Differenzialgleichung zweiter Ordnung, die Laplace-Gleichung ∆Φ = 0. Diese kann numerisch n¨aherungsweise gel¨ost werden⁵.

Die am Raumpunkt~r auf die geladenen Teilchen wirkende Beschleunigung ist dann gegeben durch

~a(~r) = q

mE(~~ r) =−q

mgrad Φ(~r) , (2.19)

5Simion bedient sich dabei der Finite-Elemente-Methode, einer weit verbreiteten Technik zum numerischen L¨osen von Differenzialgleichungen, siehe etwa [BSMM06] oder [Bat07].

(19)

2.2. Simulation des Spektrometers und Optimierung der Elektrodengeometrie 15 wobeiqdie Ladung,mdie Masse des Teilchens undE~ das elektrische Feld darstellt. Zusam- men mit den bekannten Anfangsbedingungen, der Geschwindigkeit und dem Startpunkt kann die Trajektorie simuliert werden.

Nach einmaligem Lösen des Randwertproblems für eine vorgegebene Geometrie lässt sich das Potenzial bzw. das elektrische Feld für beliebige Elektrodenspannungen sehr schnell berechnen. Auf Grund der Linearität der Laplace-Gleichung gilt das Superpositionsprin- zip und das Gesamtfeld ergibt sich aus der Summe der je nach anliegender Spannung entsprechend skalierten Einzelfelder der Elektroden.

2.2.1 Strategie zur Optimierung der Elektrodengeometrie

Bereits vor Beginn der Optimierung wurde der grundsätzliche Aufbau sowie der Abstand zwischen dem Mittelpunkt des Ionisationsbereichs und der Vorderfläche des MCPs zu 480 mm festgelegt (Abschnitt 2.3). Bei dieser Länge treffen die simulierten Elektronen in ersten Versuchen das MCP relativ weit am äußeren Rand, die gesamte aktive Fläche wird ausgenutzt.

Durch entsprechende Simulationen sollen die Abständed₁undd₂ zwischen den Elektroden sowie die Radien rE und rG (Abbildung 2.8) ihrer Öffnungen nun hinsichtlich maximaler Ortsfokussierung optimiert werden. Die genannten Parameter werden dabei systematisch geändert, das Spannungsverhältnis dann für jede sich so ergebende Geometrie bezüglich maximaler Ortfsokussierung optimiert. Jene Geometrie, die mit dem für sie optimalen Spannungsverhältnis die beste Ortsfokussierung erreicht soll dann im Aufbau realisiert werden. Die nachfolgend beschriebene Vorgehensweise basiert auf der in [Bar08] beschriebenen.

Um für jede Geometrie ein Maß für die Güte der erreichten Ortsauflösung angeben zu können, wird zunächst ein endliches Ionisationsvolumen definiert. Auf einem Würfel der Kantenlänge 2 mm, dessen Mittelpunkt im Ursprung des in Abschnitt 2.1 definierten Ko- ordinatensystems mittig zwischen Repeller- und Ground-Elektrode liegt, werden 27 Elek- tronen erzeugt: 8 auf den Ecken, 12 auf den Mittelpunkten der Kanten, 6 auf den Mittel- punkten der Flächen und eines im Zentrum des Würfels.

Die Elektronen verlassen die Orte ihrer Entstehung alle mit der selben Geschwindigkeit unter dem gleichen Winkel Φ zur Achse des Spektrometers. Auf Grund ihres identischen Geschwindigkeitsvektors soll das Spektrometer sie im Idealfall auf einen einzigen Punkt auf dem MCP beschleunigen. Im Allgmeinen jedoch erreichen die Elektronen den Detektor jedes in einem individuellen Punkt (x_i,Φ/y_i,Φ). F¨ur den mittleren Auftreffpunkt (¯x_Φ/¯y_Φ) gilt

¯ x_Φ = 1

27

X

i=1

x_i,Φ und y¯_Φ= 1 27

27

X

i=1

y_i,Φ , (2.20)

(20)

16 2. Das Velocity-Map-Imaging-Spektrometer die mittlere Abweichung der einzelnen Elektronen von diesem Wert ist gegeben durch

∆RΦ = v u u t

1 27

27

X

i=1

h

(xi,Φ−x¯Φ)²+ (yi,Φ−y¯Φ)² i

. (2.21)

Wie in Abschnitt 3.2 noch gezeigt wird, sind die Geschwindigkeitsverteilungen unabhängig von Φ, es treten somit alle möglichen Werte gleichwahrscheinlich auf. Es kann prinzipiell nicht vorausgesetzt werden, dass die räumliche Fokussierung durch die Ionenoptik für alle dieser Winkel gleich gut funktioniert. Aus diesem Grund wird die Größe ∆RΦ im Algorithmus für verschiedene Φ simuliert. Anschließend wird der größte der aufgetretenen Werte für die weitere Beurteilung der Geometrie angesetzt:

∆R= max{∆R_Φ} . (2.22)

Der Radius der entstehenden Kreisfl¨ache ist gegeben durch R= max

q

¯ x²_Φ+ ¯y_Φ²

. (2.23)

Nun kann ein Qualit¨atsfaktor Q = R/∆R definiert werden, der in den Simulationen zu maximieren ist. Wie noch gezeigt wird, besitzt dieser Faktor einen direkten Zusammenhang zur theoretischen Energieaufl¨osung des Spektrometers (2.31):

E_kin

∆E_kin = 1 2Q .

Aus Symmetriegründen kann der Bereich für Φ auf [0^◦,180^◦] eingeschränkt werden. Erste Simulationen zeigen, dass eine Rasterung des Winkels in Schritten von 10^◦ ausreichend ist, um das minimale ∆R_Φ für eine bestimmte Konfiguration zu finden. Eine Reduzierung der Schrittweite ergibt keine signifikant abweichenden Werte fürQ.

Für jede untersuchte Elektrodengeometrie wird das Verhältnis der Spannungen an Repel- ler- und Extractor-ElektrodeU_E/U_R∈[0,1] nun systematisch variiert. Um die erhaltenen Qualitätsfaktoren für unterschiedliche Geometrien tatsächlich vergleichen zu können muss sichergestellt werden, dass jede Geometrie in der Simulation tatsächlich bei dem für sie optimalen Spannungsverhältnis getestet wird. Ist die Schrittweite für dieses Verhältnis in der Simulation zu groß, kann es vorkommen, dass eine bestimmte Geometrie nur bei für sie ungünstigen Verhältnissen getestet wird und dadurch im direkten Vergleich mit anderen Geometrien benachteiligt ist.

Es zeigt sich, dass die FunktionenQ(UE/UR) alle eine ähnliche Form besitzen. Es existiert jeweils ein einziges, sehr scharfes Maximum bei einem bestimmten Spannungsverhältnis sowie ein stetiger Abfall für größere oder kleinere Werte (Abbildung 2.11). Dieser Verlauf der Funktionen legt für die Bestimmung der Position des Maximums ein Intervallschach- telungsverfahren nahe: Zu Beginn wird das Verhältnis der Spannungen mit einer relativ großen Schrittweite von 0,1 erhöht. Der erhaltene Wert für Q wird dabei zunächst mit

(21)

2.2. Simulation des Spektrometers und Optimierung der Elektrodengeometrie 17

Abb. 2.9: Schnittansicht einer Geometrie in der Simulation mit Trajektorien einiger fokussierter Elektronen (rot) und ¨Aquipotenziallinien (gr¨un). Deutlich zu erkennen sind die sich ausbildenden Ionenlinsen.

jedem Schritt größer, erreicht im i-ten Schritt einen maximalen Wert und wird danach wieder kleiner. Sobald bei einem bestimmten Verhältnis (U_E/U_R)_i+1 ein Wert ermittelt wird, der kleiner ist als sein Vorgänger (U_E/U_R)_i ist die Position des Maximums auf den Bereich

(UE/UR)_i−1,(UE/UR)_i+1

eingeschränkt. Die Variation der Verhältnisse kann nun abgebrochen und in diesem Intervall mit einer um den Faktor 10 kleineren Schrittwei- te von ∆ (U_E/U_R) = 0,01 wiederholt werden. Durch Iteration wird sehr schnell die noch von Simion unterstützte minimale Schrittweite von 10⁻⁶erreicht. Das optimale Spannungs- verhältnis ist damit auf eine Genauigkeit bestimmt, die weit über der im Experiment er- reichbaren liegt. Der Quelltext für die Bestimmung des optimalen Spannungsverhältnisses für eine gegebene Geometrie findet sich in A.5.

Eine systematische Suche nach der optimalen Geometrie mit einer Auflösung von beispiels- weise 1 mm in diesem vierdimensionalen Raum der geometrischen Parameter d₁, d₂, r_E und rG ist auf Grund der enormen Anzahl zu testender Geometrien und der damit ver- bundenen Rechenzeit selbst mit diesem Algorithmus praktisch nicht möglich. Statt dessen werden daher zunächst die Radienr_E undr_Gauf einen festen Wert gesetzt und die beiden Abstände d1 und d2 systematisch in groben Schritten variiert. Im zweiten Schritt erfolgt die entsprechende Optimierung der beiden Radien bei denen im ersten Schritt gefundenen optimalen Werten für die Abstände. Die beiden Schritte werden im Bereich der aufgetretenen Optima daraufhin mit einer deutlich kleineren Schrittweite wiederholt. Obwohl das Verfahren auch im diskretisierten vierdimensionalen Raum der geometrischen Freiheits- grade höchstwahrscheinlichnicht das globale Maximum vonQfinden wird, liefert es doch zumindest die Parameter für eine Geometrie, mit der sich eine sehr gute Ortsfokussierung erzielen lässt.

Abbildung 2.9 zeigt beispielhaft den Schnitt durch eine der simulierten zylindersymmetri- schen Geometrien, sich ergebende ¨Aquipotenziallinien sowie die Trajektorien einiger durch die Wahl des optimalen Spannungsverh¨altnisses fokussierter Elektronen.

2.2.2 Die optimale Elektroden-Geometrie

Nach anfänglicher Festlegung der Radien der Elektrodenöffnungen auf je 15 mm, wurden die oben beschriebenen vier Schritte der Optimierung durchgeführt, die Parameter

(22)

(a) Schritt 1 (84 Simulationen): Das Maximum inQwird f¨urd1=50mmund d2= 70mm erreicht.

(b) Schritt 2 (54 Simulationen): Das Maximum in Q wird f¨ur rE = 20mm und r_G=25mmerreicht.

(c) Schritt 3 (671 Simulationen): Die Wahl f¨allt auf das Maximum, welches f¨ur d₁ = 63mm und d₂ = 62mm erreicht wird.

(d) Schritt 4 (257 Simulationen): Die Wahl f¨allt auf das Maximum, welches f¨ur r_E =20mm und r_G= 22,5mm erreicht wird.

Abb. 2.10: Erhaltene Qualit¨atsfaktoren Q in den vier durchgef¨uhrten Schritten der Optimierung.

(23)

(a) Elektronen verschiedener Energien bei einer Spannung an der Repeller- Elektrode von −2000V.

(b) Elektronen mit einer kinetischen Energie von 0,5eV bei verschiedenen Spannungen an der Repeller-Elektrode.

Abb. 2.11: Verlauf vonQ mit dem Spannungsverh¨altnisUE/UR.

der Geometrie also wechselseitig systematisch variiert. Abbildung 2.10 zeigt die jeweiligen Ergebnisse. Die im Sinne der maximalen Ortsfokussierung und der Kompaktheit der Elektroden abschließend als optimal angesehene Elektrodengeometrie hat folgende Abmes- sungen:

d₁= 63,0 mm d₂= 62,0 mm rE = 20,0 mm

rG= 22,5 mm . (2.24)

Mit dieser Konfiguration wird in der Simulation für Elektronen einer kinetischen Energie von 2 eV und einem Spannungsverhältnis vonUE/UR= 0,726905 ein Qualitätsfaktor von Q≈495,16 erreicht.

Abbildung 2.11a zeigt den Verlauf von Q in Abhängigkeit des Spannungsverhältnisses für Elektronen verschiedener Energien bei einer nach wie vor fester Absolutspannung von −2000 V an der Repeller-Elektrode. Die erreichten Werte für Q sind ähnlich groß und liegen nahezu an der selben Position. Allerdings ist zu beachten, dass der Radius R und die mittlere Abweichung ∆R für die langsameren Elektronen bedeutend kleiner sind. Andere auflösungsbegrenzende Faktoren im Experiment werden für diese Elektronen ggf. eine größere Auswirkung besitzen. In der Abbildung ist außerdem zu sehen, dass die Auflösung für niederenergetische Elektronen mit Abweichungen des Spannungsverhältnis U_E/U_R schneller abfällt. Das korrekte Spannungsverhältnis ist für das Erreichen einer sehr guten Ortsfokussierung generell von großer Wichtigkeit, jedoch im besonderen Maße in diesen niedrigen Energiebereichen.

Messungen an den langsamen Elektronen sollten daher nach M¨oglichkeit bei geringeren Beschleunigungsspannungen geschehen, die entsprechend gr¨oßere Strukturen in den Bil-

(24)

20 2. Das Velocity-Map-Imaging-Spektrometer dern nach sich ziehen. Abbildung 2.11b zeigt den Verlauf von Q im Abhängigkeit des Spannungsverhältnisses für Elektronen einer kinetischen Energie von 0,5 eV bei Verwen- dung verschiedener absoluter Spannungswerte an der Repeller-Elektrode. Das Spannungs- verhältnis, bei der die maximale Auflösung erreicht wird, ist unabhängig von der Be- schleunigungsspannung. Außerdem ist zu sehen, dass die Kurven für niedrige Spannungen entsprechend breiter werden. Für eine Spannung von −500 V ergibt sich ein Verlauf der nahezu identisch ist mit der Kurve für Elektronen einer kinetischen Energie von 2 eV bei einer Spannung von −2000 V (Abbildung 2.11a). Der Verlauf der Kurven hängt also lediglich vom VerhältnisEkin/UR ab, das Verhältnis UE/UR ist universell.

Der Radius der auf der Detektor entstehenden Kreisfläche ist in guter Näherung durch jene Elektronen bestimmt, die unter einem Winkel von 90^◦ zur Achse des Spektrometers, also in einer Ebene parallel zum Detektor emittiert werden. Würden homogene Felder verwendet, gelte für den RadiusR

R=v_TT , (2.25)

wobei v_T die anfängliche Geschwindigkeit der Elektronen und T die Flugzeit bis zum Detektor bezeichnet. Die Anordnung von drei Elektroden unter Verwendung homogener Felder wird häufig bei Flugzeitmassenspektrometern verwendet und ist unter dem Namen Wiley-McLaren-Design [WM55] bekannt. Für die Flugzeit lässt sich folgender Ausdruck herleiten:

T = rm

q

r2x E1

− E1

E2

r2x E1

+ s

2xE1

E₂² +2d2

E2

+ L

√2xE1+ 2d2E2

!

(2.26) Dabei ist m die Masse des Teilchens, q seine Ladung, x der Abstand des Zentrums des Ionisationsgebietes von der Extractor-Elektrode entlang der Spektrometerachse, d₁ und d₂ die Abst¨ande zwischen den Elektroden undE₁ undE₂ die entsprechenden elektrischen Felder zwischen diesen.

F¨ur die Abst¨ande der Elektroden aus (2.24) und die entsprechenden optimalen Spannungen ergibt sich so T = 29,5025 ns. Mit

v_T =

r2E_kin

m_e (2.27)

folgt

R= 29,5025 ns·

r2Ekin

me

. (2.28)

Der Radius ist also demnach proportional zur Quadratwurzel der kinetischen Energie der Elektronen. Abbildung 2.12 zeigt diesen Zusammenhang zusammen mit einem entsprechenden simulierten Verlauf mit den inhomogenen Feldern. Beide Funktionen zeigen die angesporchene Proportionalität, allerdings ergeben sich in der Simulation stets kleinere Werte für den Radius. Eine mit dem Faktor 0,84417 skalierte Version des für homogene Felder analytisch berechneten Verlaufs stimmt sehr gut mit dem simulierten überein.

(25)

Abb. 2.12: Verlauf von R mit der kinetischen Energie der Elektronen. Gezeigt ist ein f¨ur homogene Felder analytisch berechneter sowie der f¨ur die optimale Elektroden- geometrie simulierte Verlauf. Durch eine Skalierung stimmen beide Kurven sehr gut

¨uberein.

Analog zu einer (perfekten) optischen Linse verkleinert die geschaffene Ionenlinse das ent- stehende Bild also ohne es jedoch zu verzerren. Es gilt:

R= Λv_TT mit Λ = 0,84417 . (2.29)

Neben dem Maximalwert für Q wäre der Verlauf der Kurven Q(U_E/U_R) ebenfalls ein Kriterium zur Auswahl der Geometrie. Jene, für die über einen breiten Bereich relativ hohe Werte fürQzu erreichen sind wären ggf. jenen vorzuziehen, die bei einem bestimmten Verhältnis zwar ein höheren Wert für Q ermöglichen, bei kleinen Schwankungen des Wertes jedoch nur bedeutend schlechtere Werte erlauben. Werden entsprechende Kurven für verschiedene, teils sehr unterschiedliche Geometrien erstellt, zeigen sich jedoch keine signifikanten Unterschiede.

Für die Elektronen einer bestimmten kinetischen Energie gibt der Qualitätsfaktor Q der Ortsfokussierung eine untere Grenze für die räumliche Auflösung an. Unter der Annahme, dass der Fehler durch Anwenden der Invers-Abel-Transformation nicht größer wird, lässt sich die Energieauflösung des Spektrometers abschätzen: Wird (2.27) in (2.29) eingesetzt, ergibt sich

R= Λ

r2E_kin

m_e T . (2.30)

Daraus folgt gemäß Gauß’scher Fehlerfortplanzung unter Annahme von ansonsten fehler- freien Größen der schon früher erwähnte Zusammenhang zwischen Auflösung des Spek- trometers undQ:

Ekin

∆E_kin = 1 2

R

∆R = 1

2Q . (2.31)

(26)

22 2. Das Velocity-Map-Imaging-Spektrometer 2.2.3 Einfluss von Magnetfeldern

F¨ur die Teilchenbewegung wurde bisher lediglich die Pr¨asenz des mittels der Elektroden erzeugten elektrischen Feldes angenommen. Neben dessen Einfluss auf die Trajektorien der Teilchen wirkt jedoch auch der magnetische Anteil der Lorenzkraft, aus (2.19) wird

~a(~r) = q m

E(~~ r) +~v(~r)×B(~~ r)

, (2.32)

wobei B das Magnetfeld bezeichnet. Insbesondere f¨ur leichte, schnelle Teilchen wie eben Elektronen kann dies signifikante Auswirkungen auf die Trajektorien haben.

Betrachten wir das entlang des gesamten L¨ange des Spektrometers homogenes Erdmagnet- feld mit seinen zwei Komponenten in bez¨uglich des Lotes senkrechter B⊥ ≈ 43µT bzw.

horizontaler B_k ≈21µT Richtung [GFZ10]. Die senkrechte Komponente steht bez¨uglich der Spektrometerachse longitudinal, die horizontale transversal. Erstere wirkt nur auf die Geschwindigkeitskomponente der Elektronen senkrecht zur Spektrometerachse. Es kommt zu einer reinen Drehung des entstehenden Bild auf dem Detektor (Abbildung 2.13b).

Die Magnetfeldkomponente senkrecht zur Spektrometerachse hingegen wirkt nur auf die Geschwindigkeitskomponente in Beschleunigungsrichtung der Teilchen. Diese bewegen sich alle die meiste Zeit in Richtung des Detektors weswegen die Ablenkung f¨ur alle Teilchen n¨aherungsweise die selbe ist. Das Bild auf dem Detektor verschiebt sich. (Abbildung 2.13c).

Wirken beide Magnetfeldkomponenten gemeinsam, sind beide angesprochenen Effekte zu erwarten (Abbildung 2.13d). Zu beachten ist, dass das Spektrometer sehr viel sensibler auf die transversale Magnetfeldkomponente reagiert.

Gerade für die Messungen an Elektronen ist es daher äußerst wichtig, die Magnetfelder wie das Erdmagnetfeld oder Felder verschiedener Aufbauten im Labor gut abzuschirmen und für den Aufbau des Spektrometers selbst geeignete (nicht-magnetische) Materialien zu wählen.

2.3 Technischer Aufbau des Spektrometers

Im folgenden Abschnitt soll der technische Aufbau des Spektrometers beschrieben werden. Dabei werden die Ergebnisse des letzten Kapitels - die optimalen Maße der Elek- trodengeometrie und die Notwendigkeit einer guten Abschirmung gegenüber äußeren Ma- gnetfeldern - berücksichtigt. Abbildung 2.14 zeigt den Aufbau des Velocity-Map-Imaging- Spektrometers, eine bemaßte Skizze befindet sich im Anhang (Abbildung A.3). Zentrales Element des Aufbaus innerhalb der Vakuumkammer ist das Flugrohr aus sauerstofffreiem Kupfer (OF-Cu, CW008A) mit einem Innendurchmesser von 124 mm. Am unteren En- de ist dieser auf einer Länge von 179 mm auf 127 mm vergrößert. Auf der Innenseite des Rohres entsteht so eine Kante gegen die der erste von insgesamt vier Teflonringen fixiert ist. Die Ringe zentrieren, haltern und isolieren die drei Elektroden. Der Teflonring zwischen Repeller- und Extractor-Elektrode ist breiter und verfügt über vier Bohrungen, jede mit einem Durchmesser von 10 mm. Sie bilden den Zugang für den Laserstrahl und die Teilchen. Die Laserebene liegt mittig zwischen Repeller- und Extractor-Elektrode.

(27)

2.3. Technischer Aufbau des Spektrometers 23

S

B_L B_T MCP

(a) Ohne Magnetfeld

S

B_L B_T MCP

(b) Longitudinaler Anteil

S

B_L B_T MCP

(c) Transversaler Anteil

S

B_L B_T MCP

(d) Beide Anteile

Abb. 2.13:Einfluss einzelner Komponenten bzw. des kompletten Erdmagnetfeldes auf die Trajektorien von mit −2000V beschleunigten Elektronen mit anfänglicher kineti- scher Energie von1eV. Der senkrechte Anteil des Erdmagnetfeldes mitB⊥≈43µT ist bezüglich der Spektrometerachse longitudinal, der horizontale mit B_k ≈ 21µT transversal. Die Bilder zeigen die Trajektorien der Elektronen und ihre Auftrefforte auf dem MCP aus Blickrichtung der Kamera. In allen Bildern ist die Trajektorie eines Elektrons zur besseren Übersicht grün gefärbt. Ebenfalls eingezeichnet ist die Lage des geografischen Süd- bzw. magnetischen Nordpols.

(28)

Flugrohr

CCD-Kamera

μ-Metall

MCP &

Phosphorschirm

Teflonringe Elektroden

Ground Extractor Repeller

μ-Metall μ-Metall

Objektiv

Turbomolekular- Pumpe

Druck- messkopf

Lichtabdeckung

Abb. 2.14: Schnittansicht des gesamten Velocity-Map-Imaging-Spektrometers.

(29)

2.3. Technischer Aufbau des Spektrometers 25 Die Elektroden sind aus Bronze (CuSn₈, CW453K) gefertigt und haben einen Außen- durchmesser von 120 mm. Sie verf¨ugen ¨uber auf die Teflonringe passende Aussparungen.

Ladungen, die sich während der Experimente auf den Ringen sammeln, können auf Grund der isolierenden Eigenschaft von Teflon nicht abfließen und erzeugen störende elektrische Felder. Um die Ladungen abzuschirmen verfügen die Elektroden über Schürzen der Dicke 10 mm, welche zusätzlich für eine hohe mechanische Stabilität der nur 1 mm dicken Elek- troden sorgen. Die Abstände der Elektroden d1 und d2 sowie die Radien ihrer Löcher r_E und r_G (Abbildung 2.8) betragen:

d₁ = 63,0 mm d₂ = 62,0 mm r_E = 20,0 mm rG= 22,5 mm

Diese Parameter waren das Ergebnis der zur Optimierung der Ortsfokussierung durch- geführten Simulationen im vorhergehenden Kapitel. Ein auf den Innendurchmesser des Kupferrohrs passender Ring aus gleichem Material fixiert die Elektrodenanordnung im Rohr. Gleichzeitig erlangt das Rohr trotz der relativ geringen Wandstärke in diesem Be- reich wieder an mechanischer Stabilität. Im Bereich der Elektroden verfügt es zusätzlich

¨

uber einige Langlöcher die sowohl für die elektrische Kontaktierung der Elektroden als auch zur Erzeugung eines gewissen Pumpquerschnitts bezüglich der entstehenden Hohlräume zwischen Elektrodenschürzen und Flugrohr dienen. Durch die besondere Art der Konstruk- tion, insbesondere der Halterung der Elemente ohne Gewindestäbe, besitzt das Spektro- meter nahezu perfekte Zylindersymmetrie.

Im Abstand von 480 mm von der Laserebene befindet sich die Vorderseite der Einheit aus Chevron-MCP und Phosphorschirm (APD PS31378, PHOTONIS [Pho]), deren aktive Fläche einen Durchmesser von etwa 40 mm besitzt. Der verwendete Phosphor (Typ P20) erzeugt Lichtblitze von etwa 4 ms (Abklingzeit den Intensität von 90% auf 10%). Das emittierte Licht zeigt bezüglich der Wellenlänge eine mehrere 100 nm breite Verteilung mit einem Maximum bei 550 nm [Pro].

Aus einem Abstand von etwa 130 mm filmt eine CCD-Kamera (Scout scA1400-30gm, Bas- ler [Bas]) mit einer Auflösung von 1390 px×1040 px und 30 Bildern pro Sekunde über ein lichtstarkes Objektiv (XNP 1.4/23-0902, Schneider Kreuznach [Sch]) den Phosphor- schirm. Der 8 bit-CCD-Chip (Sony ICX285) ist besonders um das Intensitätsmaximum des verwendeten Phosphorschirms sehr lichtempfindlich. Die Kamera kommuniziert über einen Gigabit-Ethernet-Anschluss mit dem zur Auswertung der Bilder verwendeten Com- puter. Eine Abdeckung aus Aluminium schirmt die Kamera bzw. den Phosphorschirm von Umgebungslicht ab.

Die Einheit aus MCP und Phosphorschirm ist über passend gefertigte Teflon-Isolatorhülsen und Gewindestäbe an einem Kupferbauteil befestigt, welches wiederum das Flugrohr hal- tert. Die Konzentrizität des Flugrohrs im umgebenden Stahlrohr wird knapp über der Höhe der Elektroden durch eingeschweißte Stahlelemente und entsprechende am Kupfer- rohr verschraubte Ringsegmente aus Teflon sichergestellt. Die gesamte Kupferkonstruktion

(30)

26 2. Das Velocity-Map-Imaging-Spektrometer ist über einige Stahlelemente an einem Durchgangsflansch gehaltert. Dieser enthält zusätz- lich entsprechende Hochspannungs-Durchführungen für die am MCP, am Phosphorschirm und den Elektroden benötigten Spannungen. Die innere Konstruktion kann so in einem Stück nach oben aus der Vakuumkammer gezogen werden.

Die Verwendung der Materialien Kupfer und Bronze für nahezu den gesamten Innenauf- bau ist der Vermeidung von Magnetfeldern geschuldet, da bei der Abbildung von Elek- tronen solche zu erheblichen Veränderung der Trajektorien führen (Abschnitt 2.2.3). Für die Vakuumkammer und alle sonst verwendeten Stahlteile kommt soweit möglich nicht- magnetischer Stahl (316LN-ESR [1.4429-ESU] bzw. 316Ti [1.4571]) zum Einsatz. Zusätz- lich sind die Magnetfelder, insbesondere das Erdmagnetfeld, durch mehrere µ-Metall- Folien (CONETIC AA, DETAKTA [Det]) der Stärke 0,15 mm innerhalb der Kammer sowie einer doppelten Lage spezieller Folien gegen stärkere Felder (NETIC S3-6, DE- TAKTA) der Stärke 0,10 mm abgeschirmt. Diese können etwa von Magneten der Kammer benachbarter Ionengetterpumpen oder Kaltkathoden-Drucksensoren verursacht werden.

Unterhalb der Elektroden wird die leere Kammer noch relativ weit fortgeführt, so dass der Elektromotor der Turbomolekularpumpe (TMU 261P, Pfeiffer Vacuum [Pfe], Pump- leistung etwa 200 l/s) und des ggf. verwendeten Kaltkathoden-Druckmesskopfes möglichst keinen Einfluss haben. Der Druck innerhalb der Kammer liegt während Messungen bei etwa 1,5·10⁻⁸mbar und darunter.

Die Folien innerhalb der Kammer verfügen notwendigerweise über Löcher und bilden darüberhinhaus beim Überlapp mit der jeweils nächsten Folie Spalten. Magnetfelder sind in einer Distanz zu diesen Öffnungen, die dem dreifachen des jeweiligen Durchmessers entsprechen, hinreichend gut abgeschirmt [Bar08]. Dies wurde bei der Gestaltung der Ab- schirmung nahezu überall berücksichtigt. Eine Ausnahme bildet der oberen Bereichs des Spektrometers. Über der Einheit aus MCP und Phosphorschirm sind zwei Schilde aus µ- Metall-Folie angebracht. Um freie Sicht auf den Phosphorschirm zu gewährleisten, müssen die Löcher in diesen Schilden relativ groß sein. Ihr Durchmesser beträgt 50 mm. Um die magnetischen Felder wie oben beschrieben abzuschirmen, müsste ein entsprechendes Schild etwa 150 mm vom MCP entfernt angebracht werden. Dadurch vergrößert sich der Abstand zur außerhalb der Vakuumkammer angebrachten Kamera erheblich. Der vom Objektiv ab- gedeckte Raumwinkel und damit die Intensität der aufgenommenen Signale nimmt dras- tisch ab, er ist proportional zum reziproken quadratischen Abstand. Bei der Abschirmung der Magnetfelder in diesem Bereich muss also einen Kompromiss eingegangen werden.

Durch den Photoelektrischen Effekt kann ein eingestrahlter Laser Elektronen aus dem Metall des Flugrohrs oder den Elektroden extrahieren. Diese werden bei Messungen mit Photoelektronen ebenfalls auf den Detektor beschleunigt und stören die Messung. Aus diesem Grund sind diese Bauelemente mit einer dünnen Schicht aus Platin überzogen. Platin verfügt über eine sehr hohe Austrittsarbeit von 5,65 eV [BS05] so dass der angesprochene Effekt reduziert werden kann.

Aus den Simulationen des vorangegangenen Kapitels wird darüberhinaus ersichtlich, dass die exakte Stabilisierung des SpannungsverhältnissesU_E/U_Rfür die Güte der Ortsfokussie- rung äußerst wichtig ist. Der Wert dieses Verhältnisses hängt dabei nicht von den absoluten Spannungswerten ab. Daher ist es sinnvoll, die Spannung für die Extractor-Elektrode über

(31)

2.4. Software für Datenaufnahme und deren Echtzeit-Analyse 27 einen geeigneten Spannungsteiler direkt aus der Spannung an der Repeller-Elektrode zu generieren. Im Experiment bleibt so im Idealfall nur ein Freiheitsgrad, mit dem die erhaltenen Bilder skaliert werden können. Der Schaltplan des von der Elektronikwerkstatt des Institutes gebauten Gerätes befindet sich im Anhang (Abbildung A.2). Mit Bauteilen hinreichender Qualität kann das Spannungsverhältnis so dauerhaft auf eine Genauigkeit von weniger als 0,1% eingestellt werden. Sicherzustellen ist natürlich weiterhin eine ebenso gute oder bessere Stabilität der Repeller-Spannung.

2.4 Software f¨ ur Datenaufnahme und deren Echtzeit-Analyse

Bei Messungen mit dem VMI-Spektrometer fallen erhebliche Mengen von Rohdaten an.

Die Kamera erfasst bis zu 30 Bilder pro Sekunde mit jeweils ¨uber 1,4 Millionen Bild- punkten. Jedem Bildpunkt wird ein Wert auf einer 8 bit-Grauskala (0 =b

”schwarz“, 255

=b

”weiß“) zugeordnet. Mit jeder Sekunde Messzeit entstehen so etwa 41 MB Daten, deren Speicherung für eine spätere Analyse sehr unpraktikabel ist. Die in den Bildern enthaltene Informationen müssen daher schon während der Messung, ich Echtzeit extrahiert werden.

Im Folgenden werden zwei M¨oglichkeiten vorgestellt, dies zu bewerkstelligen sowie die im Rahmen dieser Arbeit daf¨ur erstellte Software.

Eine sehr einfache Methode, die Informationen der Einzelbilder zusammenzufassen ist das Aufsummieren derselben ¨uber die gesamte Messzeit. Dieses Verfahren entspricht der klassischen Langzeitbelichtung eines photoaktiven Mediums und erzeugt pro Messung ein einziges Bild. Vor der Addition eines Bildes kann von diesem zus¨atzlich ein Untergrund abgezogen werden. Viele Informationen, etwa der Zeitpunkt des Auftretens der einzelnen Ereignisse oder ihre Form gehen bei diesem Verfahren allerdings verloren.

Eine Alternative bietet das sog. Zentroid-Verfahren, was zwar deutlich aufwändiger ist, bei dem jedoch sämtliche Informationen über die einzelnen Ereignisse erhalten bleiben.

Bei diesem Verfahren werden die auf den einzelnen Bildern auftretenden Ereignisse von der Software erkannt und analysiert. Jedes einzelne Ereignis erzeugt einen Datensatz, bestehend etwa aus Position seines Schwerpunkts, seiner Größe, Form und dem Zeitpunkt seines Auftretens. Mit wenigen Zahlenwerten ist jedes Ereignis somit vollständig charakterisiert, die Datenmenge bleibt relativ gering (typischerweise unter 1 MB pro 10⁵ Ereignis- se). Aus den erhaltenen Koordinaten und einem geeigneten Binning können im Anschluss der Messung insbesondere Intensitätsverteilungen erzeugt werden, die den Ergebnissen des erstgenannten Verfahrens entsprechen.

Die Zentroid-Technik setzt abhängig von der Ereignisrate und der Bildgröße eine relativ hohe Rechenleistung voraus, ist aber auf modernen Büro-Computern, insbesondere bei effizienter Auslastung der heute praktisch immer vorhandenen Mehrkern-CPU⁶ durch- aus durchführbar. Die im Rahmen dieser Arbeit erstellte LabVIEW-Software [Nat08] un- terstützt zwei und mehr Prozessorkerne, nutzt beide vorgestellten Analyseverfahren parallel und soll im folgenden vorgestellt werden. Einzelne Programmknoten sowie die grobe

6CentralProcessingUnit (engl.) - Hauptprozessor

(32)

28 2. Das Velocity-Map-Imaging-Spektrometer Reihenfolge der angewandten Filter basieren teilweise auf einer in [Bar08] vorgestellten Software f¨ur einen Prozessorkern.

Um effektiv mehrere Prozessorkerne auslasten zu können, müssen die einzelnen Analyse- schritte weitgehend unabhängig voneinander ablaufen. Abbildung 2.15 zeigt schematisch den Ablauf der Einzelbildanalyse in der erstellten Software. Die einzelnen Knoten des Pro- gramms kommunizieren ausschließlich über Warteschlangen (engl.: “queues“) miteinander.

Sie erhalten ein Bild aus einer solchen und speichern es nach erfolgter Bearbeitung in der nächsten Warteschlange. Während ein Kern der CPU ein bestimmtes Bild innerhalb eines Programmknotens bearbeitet, kann ein zweiter dies für ein anderes Bild in einem anderen Knoten durchführen.

Alle Knoten werden innerhalb von Endlosschleifen immer wieder ausgef¨uhrt. Der erste Knoten

”Get Image“ prüft bei jedem seiner Durchläufe, ob gewisse Abbruchkriterien erfüllt sind. Ist etwa eine hinreichende Anzahl Bilder aufgenommen oder eine gewisse Mess- zeit verstrichen wird keine neues Kamerabild mehr angefordert. Statt dessen erzeugt der Knoten ein nur 1 px×1 px großes, schwarzes Bild und speichert dies in der ihm nachgeschal- teten Warteschlange “queue1“. Danach wird die Schleife dieses Knotens beendet, er also nicht mehr ausgeführt. Das erzeugte Bild erreicht nun nacheinander die anderen anderen Knoten und signalsiert diesen das Ende der Messung. Sie kopieren es daraufhin jeweils in die nächste Warteschlange und stellen ihre Arbeit ein. Wird kein Programmknoten mehr ausgeführt, ist die Messung beendet, die erhaltenen Daten werden abgespeichert.

2.4.1 Detaillierter Ablauf der Einzelbildanalyse

Im Folgenden wird der Ablauf der Einzelbildanalyse anhand der verschiedenen Programm- knoten geschildert. Die Nummerierung der Knoten bezieht sich dabei auf Abbildung 2.15.

1. In der Kamera: Jedes Einzelbild wird direkt in der Kamera auf 1040×1040 Bild- punkte zurechtgeschnitten, die Breite der Bilder also reduziert. Dies geschieht durch Verwendung der sog. Area Of Interest⁷-Funktion der Kamera. Der von der Kamera beobachtete Phosphorschirm als rundes Objekt kann mit einem solchen quadratischen Bildausschnitt voll erfasst werden. Die zum Computer transferierte Daten- menge reduziert sich so um gut 25%.

2. Netzwerkkarte: Die Bilder erreichen den PC ¨uber eine dedizierte Netzwerkkarte (PRO/1000GT 1x 1000Base-T PCI, Intel [Int]). F¨ur diese Karte existieren seitens des Kamera-Herstellers spezielle, sog. Performance-Treiber, die die Auslastung der CPU auch bei hohem Netzwerk-Datenstrom gering halten [Bas10].

3. Knoten

”Get Image“: Dieser Knoten liest die Bilder von der Kamera ein und speichert sie in der ersten Warteschlange

”queue1“.

7Area Of Interest (engl.) - Bereich von Interesse

(33)

2.4. Software f¨ur Datenaufnahme und deren Echtzeit-Analyse 29 Intel PRO/1000GT

1x 1000Base-T PCI Gigabit-Ethernet

Get Image

Mask Morphology

Low-Pass Binarize

Integrate Analyze

queue1

queue2 queue3

queue4 queue5

queue6

x/y-Koordinaten [px]

Fläche [px²]

Elongation-Faktor Bild-ID

Event-ID

Event-ID auf Bild Zeit [ms]

CCD-Kamera 1

2

3

4 5

6 7

8 9

Abb. 2.15: Schema der Echtzeit-Einzelbildanalyse. Jedes aufgenommene Bild durchläuft nacheinander die voneinander unabhängig arbeitenden Knoten der Soft- ware. Es ergeben sich zwei Datensätze: Die Daten aus dem Zentroid-Verfahren und ein aufsummiertes Bild.

(a) Aufsummierter Datensatz (b) Zentroid-Datensatz

Abb. 2.16: Vergleich zwischen den Datens¨atzen aus der Summations- und der Zentroid-Technik. Im Bildausschnitt sind exemplarisch vier Ereignisse zu erkennen.

Der Zentroid-Datensatz enth¨alt zus¨atzlich eine Zeitinformation.