Jassen und Kombinatorik 1
Jassen und Kombinatorik
Bernhard Ruh, Kantonsschule Solothurn
Vortrag gehalten am 2. Oktolustreffen in Wilen b. Sarnen
Bekannt
Die Anzahl M¨oglichkeiten aus einer Menge mitn-Elementenkauszuw¨ahlen (ohne Wiederholung, ohne Ber¨ucksichtigung der Reihenfolge) betr¨agt
n k
= n!
k! (n−k)!
Beispiel. Schweizer Lotto:
45 6
= 8 145 060
1 Das Spiel
36 Karten (6 bis As in 4 Farben) werden auf 4 Spieler verteilt. Jeder Spieler erh¨alt 9 Karten.
2 Total M¨ oglichkeiten
Es gibt total N :=
36 9
= 94 143 280 M¨oglichkeiten, 9 Karten zu erhalten.
3 Vier Bauern
Wys Anzahl M¨oglichkeiten Wahrscheinlichkeiten
4 Bauern
32 5
= 201 376 2
935 0.2% ≈ 1
500 3 Bauern
4 3
32 6
= 3 624 768 36
935 3.9% ≈ 1
25 2 Bauern
4 2
32 7
= 20 195 136 1404
6545 21.5% ≈ 1 5 1 Bauer
4 1
32 8
= 42 073 200 585
1309 44.7% ≈ 1 2 0 Bauern
32 9
= 28 048 800 390
1309 29.8% ≈ 1 3
B. Ruh, 1999
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4 Bl¨ atter
4.1 Einfache F¨ alle
Wys Anzahl M¨oglichkeiten Wahrscheinlichkeiten
9 Blatt 4 1
23 535 820 0.00% ≈ 1 25 000 000
8 Blatt 4·2·27 = 216 27
11 767 910 0.00% ≈ 1 500 000 7 Blatt 4
2
28 2
+ 1
27 2
= 4428 1107
23 535 820 0.00% ≈ 1 20 000 6 Blatt 4
2
29 3
+ 2
28 3
= 55440 9
15 283 0.06% ≈ 1
2 000 5 Blatt 4
2
30 4
+ 3
29 4
= 504252 621
115 940 0.54% ≈ 1 200
4.2 Das Vierblatt
Die konsequent weitergef¨uhrte Formel 4
2
31 5
+ 4
30 5
= 3 639 384 ist aus zwei Gr¨unden leider falsch
• Es werden auch jene Vierbl¨atter gez¨ahlt, bei denen die restlichen 5 Karten ein F¨unfblatt bilden.
Die Anzahl M¨oglichkeiten f¨ur ein Vier- und ein F¨unfblatt betr¨agt:
6
4-Blatt
· 5
5-Blatt
· 4
Farbe 4-Blatt
· 3
Farbe 5-Blatt
= 360
• Die F¨alle, bei denen manzwei Vierbl¨atter besitzt, werden doppelt gez¨ahlt. Die Abz¨ahlung dieser F¨alle habe ich nach folgendem Schema durchgef¨uhrt:
Gleiche Farbe 4·27
Ungleiche Farbe Gleiche H¨ohe Randbl¨atter 2·6·26 Innenbl¨atter 4·6·24 Ungleiche H¨ohe Zwei Randbl¨atter 2·1·6·26
Ein Randblatt 2·4·12·25 Zwei Innenbl¨atter 4·3·6·24 Dies ergibt 5436 F¨alle.
Total ergibt sich
Wys Anzahl M¨oglichkeiten Wahrscheinlichkeiten
4 Blatt 3 633 588 129 771
3 363 260 3.86% ≈ 1 25
B. Ruh, 1999
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4.3 Das Einblatt
Man besitzt genau dann (nur) ein Einblatt, wenn keine zwei Karten benachbart sind. Die Methode, welche das analoge Lottoproblem l¨ost, ist n¨utzlich:
Lottoproblem: Auf wie viele Arten kann man 6 aus 45 ziehen, ohne dass 2 benachbarte Ziffern vorkommen (z.B. 1,6,8,32,40,45)
L¨osung:Durch das Zusammenziehen 1,6,8,32,40,45−→1,5,6,29,36,40
erh¨alt man die gleichm¨achtige Menge 6 aus 40 mit der Anzahl 40
6
.
Um die Einbl¨atter abzuz¨ahlen, teile ich die 9 Karten auf die 4 Farben auf. Dies geht bis auf Farben- tausch auf 11 Arten. Eine dieser M¨oglichkeiten ist z.B. 4-4-1-0, welche 12 Farbpermutationen besitzt.
Die Anzahl M¨oglichkeiten, von einer Farbe 4 Karten ohne Nachbarn zu besitzen, betr¨agt nach obiger Idee6
4
= 15. Man kann also insgesamt 12·15·15·9 = 24300 Einbl¨atter der Sorte 4-4-1-0 besitzen.
F¨ur die anderen 10 Sorten geht man gleich vor. Insgesamt gilt Wys Anzahl M¨oglichkeiten Wahrscheinlichkeiten
1 Blatt 9 151 024 571939
5883955 9.72% ≈ 1 10
4.4 Das Dreiblatt
Ein (f¨ur mich) harter Brocken! Man startet wie ¨ublich mit der Formel D3 := 4
2
32 6
+ 5
31 6
= 21 975 156
Leider sind in dieser Formel viele F¨alle nicht ber¨ucksichtigt:
• Man besitzt noch ein Sechsblatt. Dies geht auf D3,6 = 7·4·4·3 = 336
Arten
• Man besitzt noch ein F¨unfblatt. Dies geht auf (Uebung) D3,5 = 4 ·54
gleiche Farbe
+ 10368
verschiedene Farben
= 10 584 Arten.
• Man hat wenigstens noch ein Vierblatt. Dies Anzahl dieser Varianten D3,4 = 8424 + 159 048 = 167 472
findet man m¨uhelos (naja).
• Die F¨alle, in denen man zwei Dreibl¨atter besitzt, werden doppelt gez¨ahlt. Wie mit etwas Geduld festzustellen ist, geht dies auf
D3,3 = 74 412 + 819 624 = 894 036 Arten.
B. Ruh, 1999
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• InD3,3und inD3 werden die F¨alle mit drei Dreibl¨atter dreifach gez¨ahlt. F¨ur die Anzahl M¨oglich- keiten, drei Dreibl¨atter zu besitzen, erh¨alt man nunmehr nach kurzem Nachdenken
D3,3,3 = 6 ·7·12
2 verschiedene Farben
+ 4 ·7·7·7
3 verschiedene Farben
= 1876
Nun berechnet man noch D3−D3,6−D3,5−D3,4 −D3,3 +D3,3,3 (Ein- und Ausschaltformel!) und erh¨alt
Wys Anzahl M¨oglichkeiten Wahrscheinlichkeiten
3 Blatt 20 904 604 746 593
3 362 260 22.2% ≈ 1 5
4.5 Das Zweiblatt
Dem Zweiblatt - direkt m¨uhsam zu behandeln - bleibt der grosse Rest:
Wys Anzahl M¨oglichkeiten Wahrscheinlichkeiten
2 Blatt 59 889 724 14 972 431
23 535 820 63.6% ≈ 2 3
5 Ausklang
Die Rechnungen sind fehleranf¨allig. Durch eine Simulation kann man nachpr¨ufen, dass die Zahlen einigermassen verl¨asslich sind.
H¨atte ich da nicht die M¨oglichkeit vergessen, dass beim Sechsblatt. . . ..
B. Ruh, 1999
