Ubungen zu Analysis I¨ Blatt 4
1 Man zeige, daß f¨ur allem, n∈N,m≤n, gilt: m!(n−m)! teiltn!.
Hinweis: (n+ 1)! =n!(n+ 1−m) +n!m.
2 Definieren Sie f¨urm, n∈NdieBinomialkoeffizienten mn
∈Ndurch
n m
= ( n!
m!(n−m)!, m≤n, 0, m > n.
Es gilt dann (i) mn
= n−mn , (ii) m−1n
+ mn
= n+1m
, 1≤m≤n, (iii) Pn
k=0 n k
= 2n,
(iv) Pm k=0
n+k n
= n+m+1n+1 .
3 Man beweise die verallgemeinerte binomische Formel (0.4.87).
4 Bezeichne alsAbstandzweier reeller Zahlen den Ausdruckd(x, y) =|x−y|.
Man leite dann die sog. Dreiecksungleichung
(1) d(x, y)≤d(x, z) +d(z, y) ∀x, y, z∈R her.
Auch die Ungleichung
(2) |x+y| ≤ |x|+|y| ∀x, y∈R
wird als Dreiecksungleichung bezeichnet. Leiten sie diese bitte zuerst her und zeigen Sie, daß (1) hieraus folgt.
5 Man beweise Proposition 0.4.31 und Remark 0.4.32.
Hinweis: Der Beweis von Proposition 0.4.31 ist etwas schwierig und muß nicht unbedingt von allen erbracht werden; verwenden Sie bitte die Hin- weise aus der Vorlesung oder aus dem Buch.
