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Klassische Theoretische Physik I (SoSe 2018) Vorlesung: Prof. Dr. J. Tjus/ Dr. M. Zacharias

Übung: Dr. B. Eichmann

Hausaufgaben 5 Ausgabe: 08.05.2018

Abgabe: bis 15.05.2018, 10:00Uhr

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Aufgabe 5.1: Von der Kugeloberäche gleiten (10 Punkte)

Betrachten Sie einen Massepunkt der Masse m im Schwerefeld, welcher auf dem obersten Punkt einer Kugel liegt. Von dort beginnt er reibungsfrei hinunter zu gleiten und hebt an einer be- stimmten Stelle von der Kugeloberäche ab.

a.) Stellen Sie die Zwangsbedingung und die Lagrangegleichung 1. Art auf für das Gleiten auf der Kugeloberäche.

b.) Bestimmen Sie die Zwangskraft (Hinweis: Verwenden Sie den Energieerhaltungssatz).

c.) An welcher Stelle hebt der Massepunkt von der Kugeloberäche ab?

Aufgabe 5.2: Erneut auf der schiefen Ebene (8 Punkte)

Es bewegen sich zwei durch ein Seil verbundene Massepunkte m

und m

unter dem Einuss der Gravitationskraft reibungslos auf den zueinander entgegengesetzt schiefen Ebenen, welche jeweils durch einen Winkel α bzw. β beschrieben sind.

a.) Wie lautet das Prinzip von d'Alembert für die zwei Massepunkte?

b.) Zeigen Sie unter Verwendung des Prinzips von d'Alembert, dass die Bewegungsgleichun- gen durch

¨ l

= m

sin α − m

sin β m

+ m

g ,

¨ l

= − ¨ l

gegeben sind.

c.) Bestimmen Sie die Längen l

und l

wenn zum Zeitpunkt t = 0 , beiden Massen in Ruhe

sind und m

sich bei einer Position l

bendet.

Aufgabe 5.3: Sphärisches Pendel (12 Punkte)

Wir betrachten ein sphärisches Fadenpendel der Länge l , das im Koordinatenursprung auf- gehängt und an dessen Ende eine Masse m befestigt ist. Es wirke die Gewichtskraft in negative z -Richtung.

(a) Welche Zwangsbedingung gilt oenbar für das System? Verwenden Sie Kugelkoordinaten als verallgemeinerte Koordinaten und zeigen Sie, dass die Lagrangefunktion gegeben ist durch

L = m 2

θ ˙

+ sin

(θ) ˙ ϕ

+ mgl cos(θ)

(b) Zeigen Sie, dass aus den Lagrange-Gleichungen zweiter Art folgt, dass die Gröÿe P

= ml

sin

(θ) ˙ ϕ

erhalten ist, und die Bewegungsgleichung θ ¨ + g

l sin(θ) − h

cos(θ)

sin

(θ) = 0 (1)

für das System gilt, wobei h = sin

(θ) ˙ ϕ .

Die Lösung der Dierenzialgleichung (1) kann in elliptischen Integralen F (θ, h) =

Z

0

dθ

p 1 − h

sin

(θ

) geschrieben werden. Im Folgenden betrachten wir einige Spezialfälle:

(c) Betrachten Sie den Fall ϕ = const. und zeigen Sie, dass sich die Lösung der Bewegungs- gleichung für θ für die Anfangsbedingungen θ(0) = 0 und θ(0) = ˙ ωa als

ωt = 2 a F

θ 2 , 2

a

.

ergibt. (Hinweis: Verwenden Sie die Gesamtenergie als erstes Integral der Bewegung.) (d) Betrachten Sie nun den Fall θ = θ

= const. und zeigen Sie, dass für diesen Fall gilt

˙

ϕ = ˙ ϕ

=

r g

l cos(θ

) = const.