Zur Frauenhofer–Beugung an einer Blende

28. April 2008 Dr. H. Kohler

Zur Frauenhofer–Beugung an einer Blende

Wir wollen annehmen, dass das Huygenssche Prinzip gilt. Nach dem Huygens’schen Prinzip geht von jedem Ort ~r^′ in der Blende eine Kugelwelle aus. An der Stelle ~r hat diese dann den Wert

G(~r−~r^′)∝ 1

|~r−~r^′|exp

i|~r−~r^′| λ −iωt

. (1)

An einer Stelle~rist die Wellenfunktion φ(~r) dann gegeben durch die Summe (bzw. das Integral) aller an diesem Ort einlaufender Kugelwellen

φ(~r) = Z

Blende

d²r^′G(~r−~r^′)

∝ Z

Blende

d²r^′ 1

|~r−~r^′|exp

i|~r−~r^′| λ −iωt

. (2)

Das zweidimensionale Integral ist ¨uber die Blenden¨offnung zu nehmen. Dieser Ausdruck kann nun in der uns interessierenden Geometrie weiter gen¨ahert werden. Wir sind an der Wellenfunktion an einer Stelle ~r interessiert, die weit von der Blende entfernt ist.

Wir setzen

~r =



 s₀

R 0



 . (3)

Die eckige Blende mit Mittelpunkt an der Stelle (0,0,0) habe eine Breite/H¨ohe vonB, die sehr viel kleiner als R sei. Dann k¨onnen wir wie folgt n¨ahern

|~r−~r^′| = q

(s₀−x^′/2)²+R²+y^′2 (4)

∼ R+1 2

(s₀−x^′)²+y^′2

R +. . . , (5)

wobei wir die Wurzel bis zur ersten Ordung in 1/R entwickelt haben. Der Ausdruck

|~r−~r^′|taucht im Integral von Gl. (2) zweimal auf. Im Nenner k¨onnen wir uns mit der nullten Ordnung begn¨ugen |~r−~r^′| ∼ R. Im Exponenten m¨ussen wir vorsichtiger sein und den Term erster Ordnung mitnehmen um ¨uberhaupt noch eine~r^′–Abh¨angigkeit zu haben. Hier gibt es zwei M¨oglickeiten

1. Wir nehmen den Term erster Ordnung komplett mit. Dies ist die sogenannte Fresnel–N¨aherung, oder Nahfeldn¨aherung. Sie ist immer dann anzuwenden, wenn die Ausdehnung des Beugungsmusters von derselben Gr¨oßenordnung ist, wie die Blende selbst.

2. Wir n¨ahern den Term erster Ordnung ein weiteres mal wie folgt 1

2

(s₀−x^′)²+y^′2

R ∼ 1

2

s²₀−2s₀x^′

R +. . . . (6)

Dies ist immer dann vern¨unftig, wenn s₀ ≫ B > x^′, y^′. Dies ist die sogenan- nte Frauenhofer–N¨aherung oder Fernfeldn¨aherung. Insgesamt ergibt sich in der Frauenhofer–N¨aherung damit in unserer Geometrie f¨ur die Wellenfunktion am Punkt (s₀, R,0) aus Gl. (2) folgender Ausdruck

φ(s₀, R) ∝

Z _B/2

−B/2

dx^′ Z _B/2

−B/2

dy^′1 Rexp

iR λ + is²₀

2Rλ +is₀x^′ Rλ −iωt

. (7)

Das Integral in y–Richtung ist trivial und liefert einen Vorfaktor B. Das Integral inx–Richtung ist ebenfalls leicht auszuf¨uhren. Wir erhalten

φ(s₀, R) ∝ B

Rexp^iRλ+

is2 0 2Rλ−iωt

Z _B/2

−B/2

dxe

is0x′

Rλ

∝ B Re^iRλ+

is2 0

2Rλ−iωtRλ is₀

e

is0B 2Rλ −e⁻

is0B 2Rλ

∝ B Re^iRλ+

is2 0

2Rλ−iωt2Rλ s₀ sin

s₀B 2Rλ

. (8)

Damit erhalten wir f¨ur die Intensit¨at I(s₀, R) = |φ(s₀, R)|²

∝ B⁴ R²

sin (s₀B/(2Rλ)) Bs₀/(2Rλ)

2

. (9)

Dies ist die Intensit¨atsformel in der Frauenhofern¨aherung (siehe Grafik).

-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5

0.2 0.4 0.6 0.8 1

Um die Intensit¨atsmaxima und Minima in Abh¨anigkeit vons₀zu erhalten, m¨ussen wirI(s₀, R) nachs₀ ableiten

d

ds₀I(s0, R) ∝ B⁵ 2R³λ

d dy

siny y

2

, y= Bs0

2Rλ .

Nullsetzen liefert folgende Gleichung f¨ury 0 = −2 sin²y

y + 2 cosysiny

= siny(−siny+ycosy) (10)

Diese Gleichung ist erf¨ullt, (a) wenn

siny= 0 ⇒ y^(min)_n =nπ , n∈N

⇒ s^(min)_0n = 2nπRλ

B . (11)

Diese Stellen sind offenbar Minima, da hierI(s^(min)_0n , R) = 0. Um die Maxima zu erhalten muss daher die andere

(b) Bedingung in Gl. (10) gelten y= tany .

Die grafische L¨osung diese transzendenten Gleichung zeigt (siehe Grafik) y= tany ⇒ y^(max)₀ = 0 , y^(max)_n ≈

n+1

2

π , n= 1,2, . . .

⇒ s^(max)_0n ≈ (2n+ 1)πRλ

B , n= 1,2, . . . . (12)

Es ist darauf hinzuweisen, dass diese N¨aherung f¨ur h¨ohere n immer besser allerdings nie exakt wird. Die Intensit¨at nimmt an den Maxima den Wert I(s^(max)_0n , R) ∝ ^B_R⁴2 cos²

s^(max)_0n B/(2Rλ)

an. Das heißt, dass, wenns^(max)_0n =

(2n+1)πRλ

B exakt gelten w¨urde, die Intensit¨at am Maximum verschwinden w¨urde. Tats¨achlich nimmt also die H¨ohe der Maxima in dem Maße ab, wie die N¨aherung von Gl. (12) besser wird. Beim ersten Nebenmaximum ist die N¨aherung also am schlechtesten. Hier finden wir numerischy^(max)₁ = 4.49341 gegen¨uber dem approximativen Wert 3π/2 = 4.71239. Entsprechend ist s^(max)₀₁ = 8.98682Rλ/B <3πRλ/B.

-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5

-10 -7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5 10

Allgemeiner k¨onnen wir annehmen, dass eine beliebige Blende in der x–z Ebene liege. Die Ausdehnung und Struktur der Blende werde parametrisch durch eine Funktion f(x^′, z^′) beschrieben. Falls die Blende vollkommen durchl¨assig ist, ist f = 1 im Gebiet der Blende und f = 0 ansonsten. Z. B. f¨ur obige quadratische Blende ist

f(x^′, z^′) =θ(B/2−x^′)θ(x^′+B/2)θ(B/2−y^′)θ(y^′+B/2) . (13) In der Frauenhofern¨aherung gilt nun der folgende Zusammenhang zwischen der Wellenfunktion φ(x, z) an einem Punkt~r= (x, R, z) und der Blendenfunktionf φ(x, z) ∝ 1

R Z

dx^′ Z

dy^′f(x^′, z^′) exp

iR

λ +ix²+iz²

2Rλ +ixx^′+izz^′ Rλ −iωt

. (14)

Definieren wir die zweidimensionalen Vektoren

~x^′ = x^′

z^′

, ~k = 1 Rλ

x z

, (15)

dann findet man f¨ur die Intensit¨at den kompakten Ausdruck I(x, z) ∝

2π R

2

|fe(~k)|², (16)

wobeifedie Fourier–Transformierte der Blendenfunktion ist. Dies ist die wichtigste Formel der Frauenhofern¨aherung. Das Beugungsbild von Licht an einer Blende ist das Betragsquadrat der Fouriertransformierten der Blende.