Hinweis: Damit ist eine Formel der Form N e (R) = N (α(R)) gemeint.

Mathematisches Institut Prof. Dr. R. Braun

D¨ usseldorf, den 10.05.2019 Blatt 5

Ubungen zu Funktionalanalysis II ¨

1. (10P) Es sei Ω ⊂ R ⁿ ein beschr¨ anktes Gebiet, f¨ ur welches die Greenschen Formeln gelten, und es sei N (R) die Z¨ ahlfunktion der Eigenwerte des Laplace-Operators mit Dirichlet-Randbedingungen auf Ω. Es sei ρ > 0 und es sei N e die entsprechende Z¨ ahl- funktion f¨ ur Ω := e ρΩ. Dr¨ ucken Sie N e (R) durch N (R) aus.

Hinweis: Damit ist eine Formel der Form N e (R) = N (α(R)) gemeint.

Es ist bekannt, dass große Trommeln tiefere T¨ one haben als kleine Trommeln derselben Form. Diese Aussage soll quantifiziert werden, und zwar f¨ ur alle Dimensionen.

2. (10P) Es sei Q = [0, 1] ² . Aus Blatt 4 wissen wir, dass jedes u ∈ L ² (Q) eine Fourierrei- henentwicklung der Form

u(x, y) =

∞

X

k,m=1

2a _k,m sin(πkx) sin(πmy)

besitzt, so dass (a _k,m ) _{(k,m)∈ N}

∈ ` ² ( N ² ). Zeigen Sie, dass u genau dann in H ² (Q)∩H ₀ ¹ (Q) liegt, wenn (a _k,m (m ² + k ² )) _{k,m∈ N}

∈ ` ² ( N ² ).

3. (10P) Es sei Q = [0, 1] ² , es sei f ∈ L ² (Q) und es sei u die schwache L¨ osung des Dirichletproblems

∆u = f, in Q, u = 0, in ∂Q.

Verwenden Sie Aufgabe 2, um u ∈ H ² (Q) ∩ H ₀ ¹ (Q) zu zeigen.

4. (a) (3P) Zeigen Sie f¨ ur ν ∈ C und x > 0 die erste der beiden folgenden Gleichungen J ν−1 (x) + J ν+1 (x) = 2ν

x J ν (x), J ν−1 (x) − J _ν+1 (x) = 2J _ν ⁰ (x).

Hinweis: Zur Bearbeitung der Aufgabe werden beide Formeln ben¨ otigt. Da beide Beweise sehr ¨ ahnlich sind, gen¨ ugt es, einen davon durchzuf¨ uhren.

(b) (3P) Zeigen Sie f¨ ur ν ∈ Q und m ∈ N die Existenz von Funktionen P _m , Q _m ∈ Q(X), so dass

J _ν+m (x) = J _ν (x)P _m (x) + J ν−1 (x)Q _m (x).

Hinweis: Q (X) ist der Quotientenk¨ orper des Polynomrings Q [X].

(c) (4P) Seien ν ∈ Q und m ∈ N . Zeigen Sie: Wenn x > 0 eine gemeinsame Nullstelle von J _ν und J _ν+m ist, dann ist x algebraisch.

Hinweis: x ∈ R heißt algebraisch, wenn x Nullstelle eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten ist. Das im Beweis von Theorem 9.4 zitierte Resultat von Siegel wird nicht ben¨ otigt.

Abgabe: Fr, 17.05.2019, zu Beginn der Vorlesung Besprechung: 20. Mai