definiert. Berechnen Sie die ersten Folgenglieder und stellen Sie dann eine Hypothese f¨ ur eine nicht rekursive Formel zur Berechnung von a n+1 auf.

Anwesenheits¨ ubungen zur Ingenieur-Mathematik I WS 2017/2018

Blatt 1 24.10.2017

Aufgabe 1: Eine reelle Folge (a _n ) n∈ N sei durch die Vorschrift a ₀ = 1,

a _n+1 = a _n + 1 3 ⁿ⁺¹

definiert. Berechnen Sie die ersten Folgenglieder und stellen Sie dann eine Hypothese f¨ ur eine nicht rekursive Formel zur Berechnung von a _n+1 auf.

L¨ osung:

a ₀ = 1

a ₁ = a ₀ + ₃

¹ = 1 + ¹ ₃ = ⁴ ₃ a ₂ = a ₁ + ₃

¹ = ⁴ ₃ + ¹ ₉ = ¹³ ₉ a ₃ = 1 ₂ + ₃

¹ = ¹³ ₉ + ₂₇ ¹ = ⁴⁰ ₂₇ . . .

a _n+1 l¨ aßt sich schreiben als:

a _n+1 =

n+1

X

k=0

1 3

k

Mit Hilfe der Geometrischen Reihe (vgl. Skript) l¨ aßt sich dies umschreiben zu

a _n+1 =

n+1

X

k=0

1 3

k

= 1 − ¹ ₃ n+2

1 − ¹ ₃

= 1 − ₃

¹

2 3

= 3 − ₃

¹

2

=

1

2 (3 ⁿ⁺² − 1) 3 ⁿ⁺¹

Aufgabe 2: Es seien (a _n ) n∈ N , (b _n ) n∈ N reelle konvergente Folgen mit Grenzwerten a, b ∈ R . Zeigen Sie:

a n + b n −→ a + b.

L¨ osung:

|(a _n + b _n ) − (a + b)| = |(a _n − a) + (b _n − b)|

Dreiecksungl.

≤ |a n − a|

| {z }

<˜

f¨ ur n>N

(˜ )

+ |b n − b|

| {z }

<˜

f¨ ur n>N(˜ )

< 2˜ f¨ ur n > max (N ⁰ (˜ ), N (˜ ))

Aufgabe 3: Zeigen Sie mit Hilfe vollst¨ andiger Induktion, dass

n

X

k=0

3(k + 1) = 3

2 (n + 1)(n + 2)

L¨ osung:

Induktionsanfang (IA): F¨ ur n = 0 ist die Formel korrekt:

0

X

k=0

3(k + 1) = 3 = 3 2 · 1 · 2

Induktionsannahme (IAn): Die Formel

n

X

k=0

3(k + 1) = 3

2 (n + 1)(n + 2)

sei richtig f¨ ur ein n ∈ N .

Induktionsschritt (IS): n n + 1

Behauptung: Die Formel ist korrekt f¨ ur n + 1 ∈ N :

n+1

X

k=0

3(k + 1) = 3

2 (n + 2)(n + 3)

Beweis:

n+1

X

k=0

3(k + 1) =

n

X

k=0

3(k + 1) + 3(n + 2) ^(IAn) = 3

2 (n + 1)(n + 2) + 3(n + 2)

= 3

2 (n + 2) ((n + 1) + 2) = 3

2 (n + 2)(n + 3) X

Also gilt die Formel f¨ ur alle n ∈ N .