1. Wahrscheinlichkeitsrechnung 2. Diskrete Zufallsvariable 3. Stetige Zufallsvariable 4. Grenzwerts¨atze 5. Mehrdimensionale Zufallsvariable

1. Wahrscheinlichkeitsrechnung

2. Diskrete Zufallsvariable

3. Stetige Zufallsvariable

4. Grenzwerts¨atze

5. Mehrdimensionale Zufallsvariable

Stetige Zufallsvariable

Eine ZufallsvariableX : Ω→Rheißtstetig, wenn es eine Funktion f :R→[0,+∞) gibt, so dass

F(x) =P(X ≤x) = Z x

−∞

f(y)dy f¨ur allex ∈R; eine solche Funktionf heißtDichtevonX. Daraus folgt:

I P(X =x) = 0 f¨ur allex∈R

I R+∞

−∞ f(x)dx= 1

I P(a≤X ≤b) =P(a<X ≤b) =P(a≤X <b) =P(a<X <b) = F(b)−F(a) =Rb

a f(x)dx f¨ur allea,b∈Rmita≤b

I die VerteilungsfunktionF ist stetig undf(x) =F^′(x), wennf stetig an der Stellex ist

Die stetigen ZufallsvariablenX1,X2, . . . ,Xk sind genau dann unabh¨angig, wenn P(X1≤x1,X2≤x2, . . . ,Xk ≤xk) =

k

Y

i=1

P(Xi ≤xi) f¨ur allex₁,x₂, . . . ,x_k ∈R.

Marco Cattaneo @ LMU M¨unchen Einf¨uhrung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung

Erwartungswert

Erwartungswert der stetigen ZufallsvariablenX: E(X) =

Z +∞

−∞

x f(x)dx

Der Erwartungswert ist ein Lagemaß (E(X) ist der Schwerpunkt der Verteilung vonX).

Eigenschaften des Erwartungswertes f¨ur stetige ZufallsvariableX,X₁,X₂, . . . ,X_k:

I E(g(X)) =R+∞

−∞ g(x)f(x)dx f¨ur alle Funktioneng :R→R(z.B.

E(X²) =R+∞

−∞ x²f(x)dx)

I Dichtef symmetrisch umc (d.h.f(c−x) =f(c+x) f¨ur allex ∈R) und R+∞

−∞ x f(x)dx wohldefiniert ⇒E(X) =c

I Linearit¨at:E Pk

i=1αiXi

=Pk

i=1αiE(Xi) f¨ur alleα1, α2, . . . , αk ∈R

I X1,X2, . . . ,Xk unabh¨angig ⇒E Qk

i=1Xi

=Qk

i=1E(Xi)

Varianz

Varianz der stetigen ZufallsvariablenX mitµ=E(X):

Var(X) =E (X−µ)²

= Z +∞

−∞

(x−µ)²f(x)dx

Standardabweichung vonX:

σ=p

Var(X)

Die Varianz und die Standardabweichung sind Streuungsmaße (Var(X) ist die erwartete quadratische Abweichung der ZufallsvariablenX von ihrem

Erwartungswertµ).

Eigenschaften der Varianz f¨ur stetige ZufallsvariableX,X1,X2, . . . ,Xk:

I Var(X) =E(X²)−(E(X))²

I Dichtef symmetrisch umc (d.h.f(c−x) =f(c+x) f¨ur allex ∈R) und R+∞

−∞ x f(x)dx wohldefiniert ⇒Var(X) = 2R+∞

0 x²f(c+x)dx

I X1,X2, . . . ,Xk unabh¨angig ⇒Var Pk

i=1αiXi

=Pk

i=1α²_i Var(Xi) f¨ur alle α1, α2, . . . , αk ∈R

Marco Cattaneo @ LMU M¨unchen Einf¨uhrung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung

Gleichverteilung

Eine (stetige) ZufallsvariableX heißtgleichverteiltauf dem Intervall [a,b] (kurz:

X ∼U(a,b)), wenn sie die folgende Dichte besitzt:

f(x) =







0 f¨urx<a

1

b−a f¨ura≤x≤b 0 f¨urb<x

Eigenschaften:

I F(x) =







0 f¨urx<a

x−a

b−a f¨ura≤x≤b 1 f¨urb<x

I E(X) = ^a+b₂ (d.h.E(X) ist der Mittelpunkt des Intervalls [a,b])

I Var(X) =^(b−a)₁₂ ²

Exponentialverteilung

Eine (stetige) ZufallsvariableX heißtexponentialverteiltmit Parameter λ∈(0,+∞) (kurz: X ∼Exp(λ)), wenn sie die folgende Dichte besitzt:

f(x) =

0 f¨urx<0 λe^−λx f¨ur 0≤x

Eigenschaften:

I F(x) =

0 f¨urx<0 1−e^−λx f¨ur 0≤x

I E(X) = _λ¹

I Var(X) =_λ¹2

I Y ∼Exp(µ) unabh¨angig vonX ⇒min(X,Y)∼Exp(λ+µ)

Marco Cattaneo @ LMU M¨unchen Einf¨uhrung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung

Normalverteilung

Eine (stetige) ZufallsvariableX heißtnormalverteiltmit Parametern µ∈Rund σ∈(0,+∞) (kurz:X ∼N(µ, σ²)), wenn sie die folgende Dichte besitzt:

f(x) = 1

√2π σe^{−(x−µ)22σ2}

Eigenschaften:

I E(X) =µ

I Var(X) =σ²

I (αX+β)∼N(α µ+β, α²σ²) f¨ur alleα, β∈R

I X₁,X₂, . . . ,X_k unabh¨angig mitX_i ∼N(µ_i, σ_i²) f¨ur allei∈ {1,2, . . . ,k} ⇒ Pk

i=1αiXi

∼N Pk

i=1αiµi,Pk

i=1α²_i σ_i²

f¨ur alleα1, α2, . . . , αk ∈R

Standardisierung

WennX eine Zufallsvariable mitE(X) =µundVar(X) =σ²ist, heißtZ =^X−µ_σ die zuX geh¨origestandardisierte Zufallsvariable.

Daraus folgt:E(Z) = 0 und Var(Z) = 1.

Insbesondere:X ∼N(µ, σ²)⇒Z ∼N(0,1) (d.h.Z iststandardnormalverteilt).

Die Verteilungsfunktion der ZufallsvariablenZ ∼N(0,1) wird mit Φ bezeichnet (d.h. Φ(x) =P(Z ≤x)).

Daraus folgt:X ∼N(µ, σ²)⇒F(x) =P(X ≤x) = Φ ^x−µ_σ

f¨ur allex ∈R. Insbesondere:X ∼N(µ, σ²)⇒P(µ−cσ≤X ≤µ+cσ) = 2 Φ(c)−1 f¨ur alle c∈[0,+∞).

Marco Cattaneo @ LMU M¨unchen Einf¨uhrung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung

Logarithmische Normalverteilung

Eine (stetige) ZufallsvariableX heißtlogarithmisch normalverteiltmit Parametern µ∈Rundσ∈(0,+∞) (kurz:X ∼LN(µ, σ²)), wenn sie die folgende Dichte besitzt:

f(x) =

( 0 f¨urx≤0

√ 1

2π σxe⁻

(log(x)−µ)2

2σ2 f¨ur 0<x

Eigenschaften:

I log(X)∼N(µ, σ²)

I F(x) = Φ_log(x)−µ

σ

f¨ur allex ∈R

I E(X) =e^µ+σ22

I Var(X) =

e^σ2−1 e^2µ+σ2

Chi-Quadrat-Verteilung

Eine (stetige) ZufallsvariableX heißtChi-Quadrat-verteiltmitn∈N Freiheitsgraden (kurz:X ∼χ²_n), wenn sie die folgende Dichte besitzt:

f(x) =

( 0 f¨urx <0

xⁿ2−1

e^−x2

2ⁿ2Γ(ⁿ₂) f¨ur 0≤x

Eigenschaften:

I Z1,Z2, . . . ,Zn u.i.v.

∼ N(0,1)⇒ Pn i=1Z_i²

∼χ²_n

I E(X) =n

I Var(X) = 2n

Marco Cattaneo @ LMU M¨unchen Einf¨uhrung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung

Studentsche t-Verteilung

Eine (stetige) ZufallsvariableX heißtt-verteiltmitn∈NFreiheitsgraden (kurz:

X ∼tn), wenn sie die folgende Dichte besitzt:

f(x) = Γ ⁿ⁺¹₂

√nπΓ ⁿ₂

1 + x² n

⁻ⁿ⁺¹₂

Eigenschaften:

I Z ∼N(0,1) und Y ∼χ²_nunabh¨angig ⇒ Zpn Y

∼tn I E(X) = 0, wennn≥2

I Var(X) =_n−2ⁿ , wennn≥3

F-Verteilung

Eine (stetige) ZufallsvariableX heißtF-verteiltmit Freiheitsgradenm,n∈N (kurz:X ∼F_m,n), wenn sie die folgende Dichte besitzt:

f(x) =







0 f¨urx<0

m^m2 n^{n2 Γ}(^m+n₂ )

Γ(^m2)^Γ(ⁿ2)

x^m2−1

(m x+n)^m+n2 f¨ur 0≤x

Eigenschaften:

I W ∼χ²_mundY ∼χ²_n unabh¨angig⇒ ^W_{m Y}ⁿ

∼Fm,n I E(X) = _n−2ⁿ , wennn≥3

I Var(X) =_m²ⁿ_(n−2)^2(m+n−2)2(n−4), wennn≥5

Marco Cattaneo @ LMU M¨unchen Einf¨uhrung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung