1. Wahrscheinlichkeitsrechnung 2. Diskrete Zufallsvariable 3. Stetige Zufallsvariable 4. Grenzwerts¨atze 5. Mehrdimensionale Zufallsvariable

1. Wahrscheinlichkeitsrechnung

2. Diskrete Zufallsvariable

3. Stetige Zufallsvariable

4. Grenzwerts¨atze

5. Mehrdimensionale Zufallsvariable

Zufallsvariable

Eine ZufallsvariableX beschreibt eine Gr¨oße, die (nur) vom Ergebnisω∈Ω eines Zufallsvorgangs abh¨angt:

X : Ω→R

Wennω∈Ω eintritt, heißt die ZahlX(ω)RealisierungvonX. Durch ZufallsvariableX,Y kann man Ereignisse definieren, z.B.:

{X >0}={ω∈Ω :X(ω)>0}

{X ∈[−1,5]}={ω∈Ω :X(ω)∈[−1,5]}=

={−1≤X ≤5}={X ≥ −1} ∩ {X ≤5}

{1<X ≤2,Y = 3}={ω∈Ω : 1<X(ω)≤2,Y(ω) = 3}=

={X >1} ∩ {X ≤2} ∩ {Y = 3}

Unabh¨ angigkeit

Die ZufallsvariablenX₁,X₂, . . . ,X_k heißen (stochastisch)unabh¨angig, wenn P(X1∈B1,X2∈B2, . . . ,Xk ∈Bk) =

k

Y

i=1

P(Xi∈Bi) f¨ur alle (messbare)B1,B2, . . . ,Bk ⊆R.

Verteilungsfunktion

Die (kumulative) Verteilungsfunktion einer ZufallsvariablenX ist die Funktion F :R→[0,1] mit

F(x) =P(X ≤x) f¨ur allex ∈R.

Charakterisierende Eigenschaften einer VerteilungsfunktionF :R→[0,1]:

1. F ist monoton steigend (d.h.x <y ⇒F(x)≤F(y)) 2. lim_x↓−∞F(x) = 0 und lim_x↑+∞F(x) = 1

3. F ist rechtsstetig (d.h. lim_y↓xF(y) =F(x))

Diskrete Zufallsvariable

Eine ZufallsvariableX : Ω→ X heißtdiskret, wennX ⊂Rendlich oder abz¨ahlbar unendlich ist.

Wahrscheinlichkeitsverteilung:f :X →[0,1] mitf(x) =P(X =x) f¨ur allex∈ X. Daraus folgt:P(X ∈A) =P

x∈A∩Xf(x) f¨ur alle (messbare)A⊆R. Insbesondere:F(x) =P(X ≤x) =P

x^′∈(−∞,x]∩Xf(x^′) =P

x^′∈X:x^′≤xf(x^′) f¨ur allex∈ X (d.h. die VerteilungsfunktionF ist eine Treppenfunktion, die in den Stellenx∈ X um den Betragf(x) nach oben springt, w¨ahrend sie dazwischen konstant verl¨auft).

Die diskreten ZufallsvariablenX₁,X₂, . . . ,X_k sind genau dann unabh¨angig, wenn P(X1=x1,X2=x2, . . . ,Xk =xk) =

k

Y

i=1

P(Xi =xi) f¨ur alle m¨ogliche Wertex₁,x₂, . . . ,x_k ∈R.

Erwartungswert

Erwartungswert der diskreten ZufallsvariablenX: E(X) =X

x∈X

x f(x)

Der Erwartungswert ist ein Lagemaß (E(X) ist der Schwerpunkt der Verteilung vonX).

Eigenschaften des Erwartungswertes f¨ur diskrete ZufallsvariableX,X1,X2, . . . ,Xk:

I E(g(X)) =P

x∈Xg(x)f(x) f¨ur alle Funktioneng :R→R(z.B.

E(X²) =P

x∈Xx²f(x))

I X =c konstant (d.h.X(ω) =c f¨ur alleω∈Ω)⇒E(X) =c

I Linearit¨at:E Pk

i=1α_iX_i

=Pk

i=1α_iE(X_i) f¨ur alleα₁, α₂, . . . , α_k ∈R

I X₁,X₂, . . . ,X_k unabh¨angig ⇒E Qk

i=1X_i

=Qk

i=1E(X_i)

Varianz

Varianz der diskreten ZufallsvariablenX mitµ=E(X):

Var(X) =E (X −µ)²

=X

x∈X

(x−µ)²f(x)

Standardabweichung vonX:

σ=p

Var(X)

Die Varianz und die Standardabweichung sind Streuungsmaße (Var(X) ist die erwartete quadratische Abweichung der ZufallsvariablenX von ihrem

Erwartungswertµ).

Eigenschaften der Varianz f¨ur diskrete ZufallsvariableX,X1,X2, . . . ,Xk:

I Var(X) =E(X²)−(E(X))²

I X =c konstant (d.h.X(ω) =c f¨ur alleω∈Ω)⇒Var(X) = 0

I X1,X2, . . . ,Xk unabh¨angig ⇒Var Pk

i=1αiXi

=Pk

i=1α²_i Var(Xi) f¨ur alle α₁, α₂, . . . , α_k ∈R

Gleichverteilung

Eine (diskrete) ZufallsvariableX heißtgleichverteiltaufX ={x1,x2, . . . ,xk}, wennP(X =xi) =¹_k f¨ur allei ∈ {1,2, . . . ,k}.

Eigenschaften:

I E(X) = ¹_k Pk

i=1xi (d.h.E(X) ist das arithmetische Mittel vonx1,x2, . . . ,xk)

I Var(X) =

1 k

Pk i=1x_i²

−

1 k

Pk i=1xi

²

Bernoulli-Verteilung

Eine (diskrete) ZufallsvariableX heißtBernoulli-verteiltmit Parameterp∈[0,1]

(kurz:X ∼Ber(p)), wennP(X = 1) =pund P(X = 0) = 1−p.

Eigenschaften:

I E(X) =p

I Var(X) =p(1−p)

I (1−X)∼Ber(1−p)

Binomialverteilung

Eine (diskrete) ZufallsvariableX heißtbinomialverteiltmit Parameternn∈Nund p∈[0,1] (kurz:X ∼Bin(n,p)), wennP(X =k) = ⁿ_k

p^k(1−p)^n−k f¨ur alle k ∈ {0,1, . . . ,n}.

Eigenschaften:

I X1,X2, . . . ,Xn u.i.v.

∼ Ber(p)⇒ Pn i=1Xi

∼Bin(n,p) (d.h. Bin(n,p) ist die Verteilung der Anzahl des Eintretens eines bestimmten EreignissesAmit P(A) =pin nunabh¨angigen Wiederholungen des Zufallsvorgangs)

I E(X) =n p

I Var(X) =n p(1−p)

I (n−X)∼Bin(n,1−p)

I Y ∼Bin(m,p) unabh¨angig vonX ⇒(X+Y)∼Bin(n+m,p)

Geometrische Verteilung

Eine (diskrete) ZufallsvariableX heißtgeometrisch verteiltmit Parameter p∈(0,1] (kurz: X ∼Geom(p)), wennP(X =k) =p(1−p)^k−1 f¨ur allek ∈N. Eigenschaften:

I X₁,X₂, . . .^u.i.v.∼ Ber(p)⇒

P(X =k) =P(X₁= 0,X₂= 0, . . . ,X_k−1= 0,X_k = 1) f¨ur allek∈N(d.h.

Geom(p) ist die Verteilung der Anzahl der unabh¨angigen Wiederholungen des Zufallsvorgangs bis zum Eintreten eines bestimmten EreignissesAmit P(A) =p)

I E(X) = ¹_p

I Var(X) =^1−p_p2

Hypergeometrische Verteilung

Eine (diskrete) ZufallsvariableX heißthypergeometrisch verteiltmit Parametern n∈ {1,2, . . . ,N},M∈ {0,1, . . . ,N}, undN∈N(kurz:X ∼Hyper(n,M,N)), wennP(X =k) =(^Mk) (^N−Mn−k)

(^N_n) f¨ur allek ∈ {max(0,n+M−N),min(n,M)}.

Eigenschaften:

I Hyper(n,M,N) ist die Verteilung der Anzahl der Einheiten mit einer bestimmten EigenschaftE in einer Stichprobe von Umfangngezogen ohne Zur¨ucklegen aus einer Grundgesamtheit vonNEinheiten, von denenM die EigenschaftE besitzen

I E(X) =n^M_N

I Var(X) =n^M_N 1−^M_{N N−n}

N−1, wennN≥2

Poisson-Verteilung

Eine (diskrete) ZufallsvariableX heißtPoisson-verteiltmit Parameter

λ∈(0,+∞) (kurz: X ∼Pois(λ)), wennP(X =k) =^λ_k!^k e^−λ f¨ur allek ∈N0. Eigenschaften:

I X_n∼Bin n,^λ_n

⇒lim_n→∞P(X_n=k) =P(X =k) f¨ur allek ∈N0 (d.h.X_n konvergiertin VerteilunggegenX, kurz:X_n→^d X)

I E(X) =λ

I Var(X) =λ

I Y ∼Pois(µ) unabh¨angig vonX ⇒(X+Y)∼Pois(λ+µ)