Aufgaben Zufallsvariable, Verteilung
Aufgabe 1
Ein Gefass enthält vier Kugeln mit den Nummern 0, l, 2, 3. Es werden zwei Kugeln nacheinander oh- ne Zurücklegen gezogen. Es sei X die erste Nummer, Y die zweite Nummer der gezogenen Kugel. Wir betrachten die zusätzlichen Zufallsvariablen Z=max(X,Y)und S=X+Y . Bestimme die Wahrschein- lichkeitsfunktion q(x)und den Erwartungswert für S und Z.
Aufgabe 2
Jemand hat bei einem Spiel anfänglich 9 Fr.-. Eine Laplace-Münze wird zweimal geworfen. Jedesmal wenn in einem Versuch die l erscheint wird das momentane Vermögen verdreifacht und jedesmal wenn 0 erscheint, wird das momentane Vermögen gedrittelt. Wie gross ist der Erwartungswert für das Vemögen des Spielers?
Aufgabe 3
Ein Gefäss enthält 20 nummerierte Kugeln. Zehn Kugeln sind mit einer l, fünf mit einer 5, vier mit einer 10 und eine Kugel mit einer 125 markiert. Eine Kugel wird zufallig gezogen und ihre Nummer X ist der Gewinn. Berechne E(X).
Aufgabe 4
Eine Münze mit den Seiten Z und K, die so beschaffen ist, dass p(Z) = 34 und p(K) = 14 gilt, wird dreimal geworfen. Es sei X die Zufallsvariable, die jedem Ergebnis dieses Experiments die Maximalzahl aufeinanderfolgender Z zuordnet. Gib die Wahrscheinlichkeitsfunktion q(x), den Erwartungswert E(X) und die Standartabweichung σvon X an.
Aufgabe 5
Einem Karton, der 6 gute und 2 defekte Stücke enthält, werden zufällig drei Stücke entnommen. Wie gross ist die erwartete Anzahl defekter Stücke?
Aufgabe 6
Einem Karton mit 8 guten und 2 defekten Chips wird solange ein Chip zufällig entnommen, bis man einen nicht-defekten erwischt. Wie gross ist die erwartete Anzahl der entnommenen Stücke?
ZHAW maro, 15. Juni 2011Zufallsvariable.tex
Lösungen Zufallsvariable, Verteilung
Aufgabe 1
z=Z(ω) =max(X,Y),ω= (X,Y). ω∈Ω′Z 1 2 3 q(z) 122 124 126 E(Z) =1·16+2·26+3·36 =146 =73.
s=S(ω) =X+Y ,ω= (X,Y). ω∈Ω′S 1 2 3 4 5 q(s) 122 122 124 122 122 E(S) =1·16+2·16+3·26+4·16+5·16=3.
Aufgabe 2
ω∈Ω 00 01 10 11 P(ω) 14 14 14 14 X(ω) 1.− 9.− 9.− 81.−
E(X) = 14(1+9+9+81) =25.−.
Aufgabe 3
ω∈Ω 1 5 10 125 P(ω) 1020 205 204 201 X(ω) 1.− 5.− 10.− 125.−
E(X) = 201(1·10+5·5+10·4+125) =10.−.
Aufgabe 4
x∈Ω′ 0 1 2 3 q(x) 641 649 2764 2764
E(X) = 641 ·0+649 ·1+2764·2+2764·3=2.25.
V(X) =641 ·(0−2.25)2+649 ·(1−2.25)2+2764·(2−2.25)2+2764·(3−2.5)2=0.4307
⇒ σ=p
V(X) =0.6563.
Aufgabe 5
Sei g für gut und d für defekt, dann gilt ω∈Ω hg,g,gi hg,g,di hg,d,di
P(ω) 1028 1528 283 somit
x∈Ω′ 0 1 2 q(x) 1028 1528 283
E(X) = 1028·0+1528·1+283 ·2=34.
Aufgabe 6
x∈Ω′ 1 2 3 q(x) 3645 458 451
E(X) = 3645·1+458 ·2+451 ·3=119.
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