Ubungen zur Theoretischen Physik I, SS 2012 ¨
B. Kubis, C. Urbach, K. Ottnad, S. Schneider Ubungsblatt 2 ¨
A.3: Bewegung in einem magnetischen Monopolfeld
In der N¨ahe der Pole sei das Magnetfeld n¨aherungsweise durch ein magnetisches Monopolfeld der FormB~ ∝~r/r3 beschrieben. Die Bewegungsgleichung eines geladenen Teilchens der Masse m in diesem Feld ist dann aufgrund der Lorentz-Kraft durch
m~r¨=µ~r×~r˙ r3
gegeben. Zur Zeit t = 0 sei die Position und die Geschwindigkeit durch ~r0 bzw. ~v0 gegeben, wobei~r0 ×~v0 6= 0.
(a) Zeigen Sie, dass
d
dt|~r|˙2 = 0 und d2
dt2|~r|2 = 2|~v0|2 . (b) Zeigen Sie, dass
|~r(t)|2 =|~v0|2
t+~r0·~v0
|~v0|2 2
+ |~r0×~v0|2
|~v0|2 . (c) Zeigen Sie, dass
m ~r×~r˙+µ~r r
=. J~=const.
(d) Berechnen Sie~r(t)·J~ und schließen Sie daraus, dass~r auf einem Kegel liegt.
(e) Zeigen Sie, dass
d dt
~r
r = 1
mr2J~×~r r . (f) Zeigen Sie:
~r(t) =|~r(t)|exph
f(t)A(J~)i ~r0
|~r0| ,
wobeiA(~h)~k =~h×~k f¨ur alle Vektoren~h, ~k ∈R3. Berechnen Sie f(t).
(g) Skizzieren Sie die Bahnkurve und diskutieren Sie den Bewegungsablauf.
Ubungen zur Theoretischen Physik I, SS 2009¨ 2
Abbildung 1: Bewegtes Koordinatensystem (x′, y′, z′).
A.4: Horizontale Ablenkung eines frei fallenden K¨ orpers
Wir wollen die horizontale Ablenkung berechnen, die ein im Schwerefeld der Erde reibungsfrei fallendes Teilchen durch die Erdrotation erf¨ahrt. Dazu soll das rotierende Koordinatensystem aus Abb. 1 verwendet werden.
(a) Zerlegen Sie die Winkelgeschwindigkeit ~ω der Erde in zwei Anteile,
~ω=−ωe′1cosϕ+ωe′3sinϕ ,
wobeiϕ die geographische Breite ist, und bestimmen Sie die Bewegungsgleichungen.
(b) L¨osen Sie mit den Anfangsbedingungen~v′0 =~0 und~r′ = (0,0, h) die Bewegungsgleichun- gen.
(c) Bestimmen Sie die horizontale Ablenkung als Funktion der H¨ohe h. Wo ist die horizontale Ablenkung am gr¨oßten? Berechnen Sie die Ablenkung dort f¨ur eine Fallh¨ohe von 100 m.
Hinweis:
Sie d¨urfen die Winkelgeschwindigkeit der Erde als klein annehmen.
Ubungen zur Theoretischen Physik I, SS 2009¨ 3
H.3: Kugel- und Zylinderkoordinaten (10 P.)
Ein n¨utzliches mathematisches Hilfsmittel sind Kugelkoordinaten. Statt der kartesischen Ko- ordinaten x,y,z sind gegeben
• seine L¨ange r;
• der Polarwinkel θ, der Winkel, den der Vektor mit der z-Achse einschließt;
• sowie der Azimuthwinkel φ, der Winkel, den die Projektion des Vektors in diex-y-Ebene mit der x-Achse einschließt.
(a) Dr¨ucken Sie ~r = (x, y, z)T durch Kugelkoordinaten aus. Was ist der Wertebereich der
neuen Koordinaten? (1 p.)
(b) Berechnen Sie die drei Einheitsvektoren
~eα = ∂~r
∂α .
∂~r
∂α
, α=r, θ, φ .
Zeigen Sie, dass diese Vektoren paarweise senkrecht aufeinander stehen. Was bedeuten
diese Vektoren anschaulich? (2 p.)
(c) Rechnen Sie das Integrationsmaß dx dy dz in Kugelkoordinaten um:
dx dy dz =
det∂xi
∂α
dr dθ dφ .
Was bedeutet der dabei auftretende Faktor (die Funktional- oder Jacobi-Determinante)?
(2 p.) Wiederholen Sie (a)–(c) f¨ur Zylinderkoordinaten. Diese sind gegeben durch
• die L¨ange ρ der Projektion des Vektors in diex-y-Ebene;
• den Azimuthwinkel φ;
• die urspr¨ungliche z-Koordinate. (5 p.)
H.4: Modifiziertes Gravitationspotential (10 P.)
Nehmen Sie an, das Gravitationspotential verhalte sich wie V =−γ
r2 .
(a) Sind Energie E und 3. Komponente des Drehimpulses Lz noch erhalten? (3 p.) (b) Nutzen Sie die Erhaltungsgr¨oßen und w¨ahlen Sie ein geeignetes Koordinatensystem, um die Bewegungsgleichungen zu l¨osen. Finden Sier(t) und r(φ)! Untersuchen Sie die unter- schiedlichen F¨alle von E und L2z und bestimmen Sie, welche Bahnkurven jeweils m¨oglich
sind. (7 p.)
