Ubungen zur Theoretischen Physik I, SS 2012 ¨
B. Kubis, C. Urbach, K. Ottnad, S. Schneider Ubungsblatt 1 ¨
A.1: Differentialgleichungen
Differentialgleichungen spielen in der theoretischen Physik eine sehr wichtige Rolle. In dieser Aufgabe sollen Sie an einem Beispiel ein L¨osungsverfahren kennenlernen.
(a) Wie lautet die Differentialgleichung des harmonischen Oszillators (z.B. eine Kugel an einer [horizontalen] Feder) ohne Reibung? Von welcher Ordnung ist sie? Wie sehen die Anfangsbedingungen aus? Wozu werden sie ben¨otigt?
(b) Welcher Ansatz l¨ost diese Gleichung? Bestimmen Sie damit eine L¨osung der Differential- gleichung.
(c) Wir wollen im n¨achsten Schritt die Reibung ber¨ucksichtigen. Angenommen, die Reibung sei proportional zur Geschwindigkeit. Schreiben Sie die modifizierte Differentialgleichung auf und finden Sie wie in (b) eine L¨osung. Was m¨ussen Sie beachten? Interpretieren Sie die L¨osung!
(d) Manchmal ist es praktischer, eine Differentialgleichungn-ter Ordnung in ein System von nDifferentialgleichungen erster Ordnung umzuwandeln (z.B. um sie numerisch zu l¨osen).
Man definiert daf¨ur v(t) = ˙x(t), w(t) = ˙v(t) usw. Wandeln Sie die beiden Differential- gleichungen (mit und ohne Reibung) in ein solches System um und schreiben Sie es als Matrixgleichung. Wie kann man ein solches System l¨osen?
A.2: Mehrdimensionale Integrale I
(a) Gegeben sei ein VektorfeldF~(x, y, z) = (x, y, z)T. Berechnen Sie die l¨angs folgender Pfade verrichteteArbeit
A= Z
C
F ~r(t)~
· d~r dtdt
• C1: Geradenst¨ucke von (0,0,0) ¨uber (0,0,1) ¨uber (0,1,1) zur¨uck nach (0,0,0);
• C2: Parabelbogen von (0,0,0) nach (0,1,1), zur¨uck auf Geradenst¨uck nach (0,0,0).
Was f¨allt Ihnen auf? Welche weiteren Schl¨usse k¨onnen daraus gezogen werden?
(b) Dieses Integral kann auch anders berechnet werden: Es gilt der Satz von Stokes, I
∂A
F d~r~ = Z
A
rotF d ~~ A . (1)
Dabei ist ∂A der Rand des Gebietes A. Was muss ¨uber das Gebiet und das Vektorfeld vorausgesetzt werden, damit der Satz richtig ist? Berechnen Sie das Integral aus (a) mit Hilfe der rechten Seite von Gl. (1). Welcher Weg ist hier schneller?
Hinweis:
rot~a=P
ijkǫijk∂iaj~ek =∇ ×~ ~a , wobei ~ek die Einheitsbasisvektoren sind.
Ubungen zur Theoretischen Physik I, SS 2012¨ 2
H.1: ǫ -Tensor (10 P.)
Der total antisymmetrische Tensor dritter Stufe ist definiert als
ǫijk =
1 : (i, j, k) zyklische Permutation von (1,2,3) ,
−1 : (i, j, k) antizyklische Permutation von (1,2,3), 0 : sonst.
Die Indizes i, j, k laufen von 1–3.
(a) Schreiben Sie das Vektorprodukt~a×~b mit Hilfe desǫ-Tensors. (1 p.) (b) Begr¨unden Sie, warum gilt
ǫijkǫlmn= det
δil δim δin
δjl δjm δjn δkl δkm δkn
, δij = 1 : i=j , 0 : sonst.
Das Kronecker-Symbol δij l¨asst sich auch als Einheitsmatrix deuten. Was bedeutet P
iδii? (3 p.)
(c) Berechnen Sie
X
i
ǫijkǫimn , X
ij
ǫijkǫijn , X
ijk
ǫijkǫijk .
(3 p.) (d) Beweisen Sie
~a× ~b×~c
=~b ~a·~c
−~c ~a·~b .
(3 p.)
H.2: Mehrdimensionale Integrale II (10 P.)
Es gibt noch einen weiteren wichtigen Integralsatz: den Satz von Gauß, I
∂V
F~(~r)d ~AV = Z
V
divF~(~r)dV .
Gegeben sei wieder das Vektorfeld F~ = (x, y, z)T, das das Volumen V durchstr¨omt, das von den Seiten x= 0, y = 0, z = 0, 2x+ 2y+z = 6 begrenzt wird. ∂V ist die begrenzende Fl¨ache dieses Volumens. Auf der linken Seite ist ein Fl¨achenintegral zu berechnen, auf der rechten ein Volumenintegral.
(a) Bestimmen Sie das iterierte Volumenintegral. Fertigen Sie eine Zeichnung an, um die Integrationsgrenzen zu bestimmen. ¨Uberpr¨ufen Sie das Resultat geometrisch. (5 p.) (b) Berechnen Sie jetzt das Oberfl¨achenintegral mit der Formel
I = Z
F
F x, y, z(x, y)~
·~n x, y, z(x, y) ~e3·~n x, y, z(x, y)
dxdy
sowie x, y, z vertauscht f¨ur andere Lagen der Fl¨achenelemente. ~n ist jeweils der nach außen zeigende Normalenvektor der Fl¨ache,~e3 der dritte Einheitsvektor. (5 p.)
