Ubungen zur Theoretischen Physik I, SS 2012 ¨
B. Kubis, C. Urbach, K. Ottnad, S. Schneider Ubungsblatt 8 ¨
A12: Einfache Tr¨ agheitstensoren
Berechnen Sie f¨ur die folgenden starren K¨orper den Tr¨agheitstensor f¨ur Drehungen um den jeweiligen Schwerpunkt:
(a) Quader (b) Zylinder (c) d¨unner Reifen
A.13: Abgebogener Stab
In dieser Aufgabe soll ein abgebogener Stab be- trachtet werden, der aus einem Halbring mit Ra- dius r und einem geraden Stab der Lnge 2r be- steht. Der Stab rotiere entlang der z-Achse (siehe Abbildung) mit einer nicht-konstanten Winkelge- schwindigkeit ω.
(a) Berechnen Sie den Tr¨agheitstensor des ab- gebogenen Stabes in Bezug auf das in der Abbildung dargestellte, k¨orperfeste Koordi- natensystem!
(b) Welches Drehmoment NA ubt das Lager im¨ (ruhenden!) Punkt A auf den Stab aus?
A.14: Satz von Steiner
Sei IijS der Tr¨agheitstensor eines Systems von N Massenpunkten mα, α = 1, . . . , N, f¨ur ein Koordinatensystem mit Ursprung im Schwerpunkt S. Zeigen Sie: In einem um~a verschobenen Koordinatensystem ist der Tr¨agheitstensor gegeben durch
Iij′ =IijS+M ~a2δij −aiaj , wobeiM =PN
α=1mα die Gesamtmasse des Systems ist.
Ubungen zur Theoretischen Physik I, SS 2012¨ 2
H.17: Schwerer Kreisel (20P.)
Wir betrachten in dieser Aufgabe den sogenannten
”schweren Kreisel“, die Bewegung eines symmetrischen Kreisels (Haupttr¨agheitsmomente I1 = I2
=. I 6= I3) im homogenen Schwer- kraftfeld. Der Ursprung sowohl des raumfesten als auch des k¨orperfesten Koordinatensystems sei dabei in den Auflage- oder Unterst¨utzungspunkt des Kreisels gelegt.
(a) Begr¨unden Sie, warum die Lagrangefunktion des Problems gegeben ist durch
L= I 2
φ˙2sin2θ+ ˙θ2 +I3
2
φ˙cosθ+ ˙ψ2
−m g l cosθ ,
wobeimdie Masse des Kreisels ist,lder Abstand des Schwerpunktes vom Auflagepunkt,g die Gravitationskonstante, undφ,θ undψ die in der Vorlesung eingef¨uhrten Eulerwinkel.
(3P.)
(b) Welche Variablen sind zyklisch? Berechnen Sie die zugeh¨origen kanonischen Impulse. (2P.) (c) Berechnen Sie die Energie des Systems, ausgedr¨uckt durch die kanonischen Impulse sowie
die nicht-zyklische Variable und ihre Ableitung. (4P.)
(d) Berechnen Sie die Euler-Lagrange-Gleichung f¨ur θ und zeigen Sie: (3P.) Iθ¨−h
(I−I3) ˙φ2cosθ−I3φ˙ψ˙ +m g li
sinθ = 0 .
(e) Zeigen Sie aus (d), dass einenutationsfreie Kreiselbewegung m¨oglich ist, d.h.θ=const.6=
0 (den trivialen Fallθ = 0 schließen wir aus). Was folgt f¨ur die zyklischen Variablen aus (b)? Diskutieren Sie sorgf¨altig die m¨oglichen L¨osungen f¨ur die Pr¨azessionsfrequenz φ.˙ (4P.)
(f) Betrachten Sie den Sonderfall des
”schnellen Kreisels“ mit sehr großem ˙ψ. Welche N¨ahe- rungsl¨osungen ergeben sich f¨ur die Pr¨azessionsfrequenzen aus (e)? Zeigen Sie, dass eine der gen¨aherten L¨osungen unabh¨angig von g ist und vergleichen Sie dieses Ergebnis mit dem aus der Vorlesung bekannten kr¨aftefreien symmetrischen Kreisel. (4P.)
