Prof. B. Batlogg WS 2006/07
Ubungen zur Festk¨ ¨ orperphysik I L¨ osungen zu Serie 9
1 Schwere und leichte L¨ ocher
Ec Ev
m− m+
E
k
In Silizium und Germanium - wie auch in vielen anderen Halbleitern - kommen schwere und leichte L¨ocher vor. Diese Aufgabe stellt eine vereinfachte Version zur Absch¨atzung ihrer partiellen Konzentrationen dar. Analog zum einfachen ”Zwei-B¨ander Modell” schrei- ben wir mit C = 2(2π~2)−3/2:
n = C(mn)32(kBT)32 exp
µ−Ec
kBT
p± = C(m±)32(kBT)32 exp
Ev−µ kBT
Mit der Neutralit¨atsbedingung finden wir:
n = p++p−=p
= C(m
3 2
++m
3 2
−)(kBT)32 exp
Ev−µ kBT
Somit gilt:
p± = m
3 2
±
m
3 2
++m
3 2
−
p
Die Neutralit¨atsbedingung verlangt weiter:
n2 =p2 =n·p=C2m
3
n2(m
3 2
++m
3 2
−)(kBT)3exp
Ev−Ec
kBT
Daraus folgt mit Egap =Ec −Ev :
p = Cm
3
n4(m
3 2
++m
3 2
−)12(kBT)32 exp
−Egap
2kBT
Damit erh¨alt man f¨ur die partiellen Konzentrationen der schweren und leichten L¨ocher
p± =Cm
3
n4 m
3 2
±
(m
3 2
++m
3 2
−)12
(kBT)32 exp
−Egap
2kBT
Im Unterschied zu einem Halbleiter, der nur ein Minimum am Γ-Punkt besitzt, weist Ge acht energetisch ¨aquivalente Minima im Leitungsband auf (deren Besetzung nur zur H¨alfte in der ersten Brillouin-Zone liegt). Um die Situation von Germanium mit dem Halbleiter in dieser Aufgabe zu vergleichen, nehmen wir an, dass die Gesamtzahl der besetzten Zust¨ande (Ellipsoide) f¨ur beide gleich sei. Da bei Ge im Leitungsband ein h¨oherer Entartungsgrad (2·4 = 8) als im hier angenommenen Fall (2·1 = 2) vorliegt, bedeutet dies f¨ur Germanium, dass im thermischen Gleichgewicht das chemische Potential n¨aher an den Valenzb¨andern liegen muss als f¨ur den hier betrachteten Modell-Halbleiter. Dies kommt davon, dass die Zustandsdichte im Leitungsband durch die Entartung gr¨osser wird und damit die Fermifunktion energetisch nach unten verschoben werden muss, um p=n zu erf¨ullen.
2 Intrinsische Ladungstr¨ agerkonzentration
Die Zustandsdichten im Leitungs- bzw. Valenzband sind gegeben durch:
Dn,p(E) = V (2π)3
2
~2 32
(E−Ec,v)12(m∗n,p)32
wobei (m∗n)3(m∗p)3 das Produkt der Hauptachsenwerte des effektiven Massentensors des Leitungsbandes (Valenzbandes) darstellt:
(m∗n,p)3 =m∗n,p1m∗n,p2m∗n,p3
Um die totale Zustandsdichte zu berechnen, sind Informationen ¨uber die jeweilige Band- struktur n¨otig. F¨ur die Ladungstr¨agerkonzentration im thermischen Gleichgewicht gilt:
nc = 2
m∗nkBT 2π~2
3 2
exp
µ−Ec
kBT
pv = 2
m∗pkBT 2π~2
3 2
exp
Ev −µ kBT
und f¨ur die intrinsische Ladungstr¨agerkonzentration:
ni = pi =√ncpv
= 2(m∗nm∗p)34
kBT 2π~2
32
exp
Ev −Ec
2kBT
Um die totale Ladungstr¨agerkonzentration zu berechnen, sind wiederum Informationen uber die jeweilige Bandstruktur n¨otig.¨
Si:Bulk-Si hat 6 gleichwertige Minima im Leitungsband (”valley degeneracy”). Dies muss bei der Berechnung von Dn und nc ber¨ucksichtigt werden. Jedes Minimum bzw. dazu- geh¨orige Band tr¨agt denselben Anteil zu Dn(E) resp. nc bei. Die totale Zustandsdichte im Leitungsband ist somit gegeben durch:
Dn(E)tot = 6Dn(E)
und die totale Ladungstr¨agerkonzentration im Leitungsband durch:
ntotc = 6nc
Im Valenzband sieht die Situation etwas anders aus. Dieses setzt sich zusammen aus dem
”heavy-hole” und dem ”lighthole” Band. Diese haben ihre Maxima im Zonen-Zentrum.
Somit gilt:
Dp(E)tot = Dp,lh(E) +Dp,hh(E) ptotv = pv,lh+pv,hh
Schliesslich erh¨alt man die intrinsische Ladungstr¨agerkonzentration bei Raumtemperatur durch:
ni(300 K) = p
ntotc ptotv
= 2
kB300 K 2π~2
32 q
6(m∗n)32((m∗p,hh)32 + (m∗p,lh)32) exp
−EGap
2kB300 K
= 4.57·1015m−3
GaAs: In GaAs gibt es nur ein Leitungsbandminimum (im Zonen-Zentrum) und somit gilt:
Dn(E)tot =Dn(E) ntotc =nc
Die Situation f¨ur das Valenzband ist dieselbe wie f¨ur Si. Die Zustandsdichte und die Ladungstr¨agerkonzentration sind somit gegeben durch:
Dp(E)tot =Dp,lh(E) +Dp,hh(E) ptotv =pv,lh+pv,hh
und die intrinsische Ladungstr¨agerkonzentration bei Raumtemperatur ist gegeben durch:
ni(300 K) = p
ntotc ptotv
= 2
kB300 K 2π~2
32 q
(m∗n)32((m∗p,hh)32 + (m∗p,lh)32) exp
−EGap
2kB300 K
= 2.611·1012m−3 Man beachte: ni,Si≫ni,GaAs
3 Bohrsches Wasserstoffmodell f¨ ur St¨ orstellen in Halb- leitern und entartete Halbleiter
Die Zust¨ande der St¨orstellenelektronen k¨onnen in einer halbklassischen N¨aherung wie ein Wasserstoffatom in einem Medium mit Dielektrizit¨atskonstanteεbeschrieben werden. Der Grundzustand entspricht einem s-Zustand mit dem entsprechenden Bohr’schen Radius
a) Ionisationsenergie: Ei =E0m∗/(meε2); E0 = 13.6 eV; Ei = 0.659 meV
b) Radius der ersten Bohrschen Bahn: r1 =aBεme/m∗; aB = 0.529 ˚A; r1 = 642 ˚A c) Die Wellenfunktionen der St¨orstellen ¨uberlappen, falls der mittlere Abstand kleiner
als der erste Bohr’sche Durchmesser ist. Unter Annahme eines einfach kubischen Gitters f¨ur die St¨orstellen heisst das, dass die Konzentration an Tellur gr¨osser sein muss alsNDmin = (2r1)−3. Dar1 = 642 ˚A folgt NDmin = 4.72·1014 cm−3. St¨orbandlei- tung ist dann wichtig, wenn die Donatoren und Akzeptoren noch nicht wesentlich ionisiert sind, d.h. f¨ur kBT ≤Ei = 0.659 meV, also unterhalb T = 7.7 K.
F¨ur Silizium ergibt sich analog:
r1 =εme
m∗rBohr = 18.75 ˚A.
Und f¨ur die minimale St¨orstellenkonzentration erh¨alt man: NDmin >1.90·1019 cm−3.
4 Maximal erreichbarer Widerstand von Ge bei Zim- mertemperatur
Nach dem Massenwirkungsgesetz kann bei gegebener Temperatur durch p-Dotierung die Konzentration der Elektronen im Leitungsband verringert werden; im Falle von Germa- nium werden damit Ladungstr¨ager mit einer h¨oheren Beweglichkeit (Elektronen) durch solche mit einer tieferen Beweglichkeit (L¨ocher) ersetzt, was die Leitf¨ahigkeitσ verringert:
∂σ
∂p = 0 = −bn
n2i
p2 +bp ⇒pmax=ni
bn
bp
1 2
Beachten Sie, dass die 2. Ableitung ∂∂p2σ2 positiv ist, das heisst, das gefundene Extremum ist ein Minimum. Daraus folgt f¨ur σmin:
σmin
e = bnn2i
ni(bn/bp)12 +ni(bn/bp)12bp = 2ni(bnbp)12 F¨ur reines Germanium ist
σi
e = ni(bn+bp) ρmax
ρi = σi
σmin
= (bn+bp)/(2(bnbp)12) Numerisch: bn/bp = 2.11,ρmax/ρi = 1.07, somit: ρmax= 61 Ωcm.
