12 n n n + 6 n 2. a n = b ix i m i=0 c ix i. a n = ± falls n > m b n c n. falls n = m 0 falls n < m. = 12 n 2

(1)

Blatt Nr 03.04

Mathe Vorkurs Online - ¨Ubungen Blatt 3

MV 04 Blatt 03 Kapitel 3.2 Grenzwerte

Brueche Folgen Nummer: 15 0 2004030001 Kl: 14G Grad: 30 Zeit: 30 Quelle: keine W

Aufgabe 3.1.1:Bestimmen Sie den Wert, gegen den die Folge f¨urn→ ∞strebt:

12·n²+ 16·n+ 7 8−10·n+ 6·n² Parameter:

xn =n−te Zahl im Bruch (n∈1..6)xn>0 Der Bruch lautet also: x^x₄¹^·−ⁿ²x⁺₅·^xn²+^·ⁿx⁺₆·^xn³2

In dieser Aufgabe sindx1= 12 x2= 16 x3= 7 x4= 8 x5= 10 x6= 6.

Erkl¨arung:

Wenden Sie die Regel zum Erweitern von Br¨uchen an. Sei an=

Pⁿ

i=0bixⁱ P^m

i=0cixⁱ mitbn6= 06=cm, dann gilt

an= Pⁿ

i=0bixⁱ P^m

i=0cixⁱ →







±∞ fallsn > m

bn

cn fallsn=m 0 fallsn < m Rechnung:

12·n²+16·n+7 8−10·n+6·n² =

12·n2

n2 +¹⁶_n2^·ⁿ+_n2⁷

8

n2−¹⁰n2^·ⁿ+⁶_n2^·ⁿ²

= ¹²⁺

16 n+_n2⁷

8 n2−¹⁰n+6

→ ¹²⁺⁰⁺⁰0−0+6 = 2 Angebotene L¨osungen:

× 2 ² ³⁵₄ ³ ⁸₅ ⁴ ⁷₆

5 0 ⁶ ⁸₇ ⁷ ∞ ⁸ −³⁵₄

9 1

2 ¹⁰

7

8 ¹¹

5

8 ¹²

3 2

Fehlerinterpretation:

× 2 richtig

2 35

4 DF: falsche Limesbildung

3 8

4 7

5 0 DF: falsche Limesbildung

6 8

7 DF: falsche Limesbildung Kehrbruch

7 ∞ DF: falsche Limesbildung

8 −³⁵4 DF: falsche Limesbildung

9 1

10 7

11 5

12 3

(2)

MV 04 Blatt 03 Kapitel 3.2 Grenzwerte Wurzel Folgen Nummer: 36 0 2004030003 Kl: 14G Grad: 40 Zeit: 30 Quelle: keine W

p25·n²+ 6·n+ 10−p

25·n²+ 4·n+ 6 Parameter:

xn =n−te Zahl in der Wurzel (n∈1..6)x₁=x₄ xn>0 Der Term lautet also:√

x₁·n² +x₂·n +x₃−√

x₄·n² +x₅·n + x₆

In dieser Aufgabe sindx1= 25 x2= 6 x3= 10 x4= 25 x5= 4 x6= 6.

Erkl¨arung:

Seian=√

bn−√cn, undbn, cnsind asymptotisch gleich und√

bn+√cn>0 und√

bn+√cn geht nicht gegen 0, dann gilt

an = p

bn−√cn = (√

bn−√cn)·(√

bn+√cn)

√bn+√cn

= bn−cn

√bn+√cn

.

Rechnung:

√25·n²+ 6·n+ 10−√

25·n²+ 4·n+ 6

= ⁽^√²⁵^·ⁿ²⁺⁶^·ⁿ⁺¹⁰⁻√^√²⁵^·ⁿ²⁺⁴^·ⁿ⁺⁶⁾^·⁽^√²⁵^·ⁿ²⁺⁶^·ⁿ⁺¹⁰⁺^√²⁵^·ⁿ²⁺⁴^·ⁿ⁺⁶⁾ 25·n2+6·n+10+√

25·n2+4·n+6 Regel: Differenzen von Wurzeln

= p_n²⁵₂^·ⁿ²⁺⁶^·ⁿ⁺¹⁰⁻⁽²⁵^·ⁿ²⁺⁴^·ⁿ⁺⁶⁾

(25+⁶n+_n2¹⁰)+p_n₂

(25+⁴n+_n2⁶) 3. binomische Formel

= ²^·ⁿ⁺⁴

n·p

25+⁶n+_n2¹⁰+p

25+n⁴+_n2⁶ teilweise Wurzel gezogen

= p ²⁺ⁿ⁴

25+⁶n+_n2¹⁰+p

25+n⁴+_n2⁶ ngek¨urzt

→ ^√_25+0+0+²⁺⁰^√₂₅₊₀₊₀ = ₂√² 25 = ¹₅ Angebotene L¨osungen:

1 2

25 ²

√12 ³ 5 ⁴ ²₅

5 20 ⁶ √

20 ⁷ ₂₅⁴ ⁸ 25

9 40 × ¹5 ¹¹ ∞ ¹² ⁴5

1 2

25 RF: Wurzel nicht gezogen

2

√12 DF: Regel nicht verstanden

3 5 DF: Regel nicht verstanden

4 2

5 DF: Regel nicht verstanden

5 20 DF: Dividiert statt multipliziert

6

7 4

9 40 DF: Dividiert statt multipliziert

× ¹5 richtig

11 ∞ DF: Regel nicht verstanden

12 4

5 RF: 2 im Nenner vergessen

(3)

MV 04 Blatt 03 Kapitel 3.2 Grenzwerte eFktn Folgen Nummer: 37 0 2004030007 Kl: 14G Grad: 40 Zeit: 30 Quelle: W

2−2·n n−2

7·n−3

Parameter:

xn =n−te Zahl im Term (n∈1..4) xn>1, x3>2 Der Term lautet also:

_x

1−2·n n−x₂

^x3·n−x₄

In dieser Aufgabe sindx₁= 2 x₂= 2 x₃= 7 x₄= 3.

Erkl¨arung:

Finden Sie zuerst den Grenzwertgdes Klammerausdruckes. Gegen welchen Wert strebtgⁿ? Rechnung:

2−2·n n−2

7·n−3

=

−2 + −2 n−2

7·n−3

dies verh¨alt sich wie|(−2)⁷^·ⁿ| → ∞

∞wird nicht als Grenzwert angesehen. Deshalb gibt es keinen Grenzwert.

Angebotene L¨osungen:

1 ln 4−ln 7 ² 1 ³ e⁰ 4 7

2

5 e¹ × ∞ ⁷ e² 8 ln 7

9 −∞ ¹⁰ 28 ¹¹ e²⁸ 12 ln 2

1 ln 4−ln 7 DF: Regel nicht verstanden

3 e⁰ RF: Potenzgesetz falsch angewendet

4 7

5 e¹ DF: Regel nicht verstanden

× ∞ richtig

7 e² DF: Regel nicht verstanden

8 ln 7 DF: Regel nicht verstanden

9 −∞ DF: Regel nicht verstanden

11 e²⁸ RF: Potenzgesetz falsch angewendet

Brueche Folgen Nummer: 46 0 2004030002 Kl: 14G Grad: 40 Zeit: 30 Quelle: keine W

6·2ⁿ+ 6·4ⁿ+ 3 1−2·2ⁿ+ 3·4ⁿ Parameter:

xn =n−te Zahl im Bruch (n∈1..6)xn>0

(4)

Der Bruch lautet also: ^xx¹₄^·²−ⁿx⁺₅·^x2²ⁿ^·+⁴ⁿx⁺₆·4^xⁿ³

In dieser Aufgabe sindx₁= 6 x₂= 6 x₃= 3 x₄= 1 x₅= 2 x₆= 3.

Erkl¨arung:

Wenden Sie die Regel zum Erweitern von Br¨uchen an. Sei an=

Pⁿ

i=0bixⁱ P^m

i=0cixⁱ mitbn6= 06=cm, dann gilt

an= Pⁿ

i=0bixⁱ P^m

i=0cixⁱ →







±∞ fallsn > m

bn

c_n fallsn=m 0 fallsn < m Rechnung:

Seiw= 2ⁿ, dann geht mitnauch wgegen∞, und es gilt:

6·2ⁿ+6·4ⁿ+3

1−2·2ⁿ+3·4ⁿ = ⁶^·²

n+6·(2ⁿ)²+3 1−2·2ⁿ+3·(2ⁿ)²

= ⁶₁^·₋^w₂⁺⁶_·w^·+3^w²·⁺³w²

=

6 w+6+_w2³

1

w2−w²·w+3

→ ⁰⁺⁶⁺⁰₀₋₀₊₃ = 2 Eine R¨ucksubstitution ist nicht erforderlich.

Angebotene L¨osungen:

1 6 ² ¹⁵₂ ³ 0 ⁴ ¹₃

5 ∞ ⁶ 3⁶ ⁷ ¹₂ ⁸ 6³

9 2

15 ¹⁰ 1 × 2 ¹² ^{log 6}_{log 2}

2 15

4 1

3 DF: falsche Limesbildung, Kehrbruch

5 ∞ DF: falsche Limesbildung

6 3⁶ DF: potenziert

7 1

8 6³ DF: potenziert

9 2

× 2 richtig

12 log 6

log 2 DF: logarithmiert

eFktn Folgen Nummer: 60 0 2004030005 Kl: 14G

Grad: 40 Zeit: 30 Quelle: keine W

1 + 1

n−2 2n+4

(5)

Parameter:

xn =n−te Zahl (n∈1..3)xn>1 Der Term lautet also:

1 +n−¹x₁

^x2n+x₃

In dieser Aufgabe sindx₁= 2 x₂= 2 x₃= 4.

Erkl¨arung:

Sie k¨onnen durch Umformung die Formel lim_n

→∞(1 +x

n)ⁿ=e^xanwenden.

Rechnung:

1 + n−¹2

2n+4

= 1 + m¹

2(m+2)+4

Substitutionm=n−2

=

1 + m¹

^m+2+22

Potenzgesetze

= (1 + m¹)^m2

· (1 + m¹)⁴2

Potenzgesetze

→ e²· 1⁴2

=e² e- Limes und mitngeht auchmgegen∞ Angebotene L¨osungen:

1 e⁴ ² 0 ³ −∞ ⁴ ln 2

5 2

3 ⁶ 1 × e² 8 2

9 ∞ ¹⁰ ln 4 ¹¹ 161 ¹² 162

1 e⁴ DF: Regel nicht verstanden

5 2

× e² richtig

11 161 GL: geratene L¨osung

12 162 GL: geratene L¨osung

eFktn Folgen Nummer: 67 0 2004030006 Kl: 14G

Grad: 50 Zeit: 30 Quelle: keine W

n+ 9 n−3

n 5+6

Parameter:

xn =n−te Zahl (n∈1..4)xn>1, x3>2 Der Term lautet also:_n

+x₁ n−x₂

n x3+x₄

In dieser Aufgabe sindx₁= 9 x₂= 3 x₃= 5 x₄= 6.

Erkl¨arung:

(6)

Sie k¨onnen durch Umformung die Formel limⁿ→∞(1 + ^xn)ⁿ=e^xanwenden.

Rechnung:

_n

+9 n−3

ⁿ₅+6

=

1 + ⁹⁺³_n

−3

n+30

5 Polynomdivision mit Rest

= 1 +¹²m

(m+3)+30

5 Substitutionm=n−3

= ⁵

q 1 +¹²m

^m+33

Potenzgesetze

= ⁵

q 1 +¹²m

^m

· 1 +¹²m

33

Potenzgesetze

→ √⁵

e¹²·1³³=e¹²⁵ e - Limes und mitngeht auchmgegen∞ Angebotene L¨osungen:

1 3 × e¹²⁵ ³ −∞ ⁴ 1

5 ∞ ⁶ ⁵9 ⁷ ln 5 ⁸ ¹²₅

9 ln 3 ¹⁰ e⁶⁰ 11 e⁹ 12 0

× e¹²⁵ richtig

6 5

8 12

10 e⁶⁰ RF: Potenzgesetz falsch angewendet

11 e⁹ DF: Regel nicht verstanden

Wurzel Folgen Nummer: 90 0 2004030004 Kl: 14G Grad: 40 Zeit: 30 Quelle: keine W

p16·n²+ 9·n+ 16 −4n + 2 Parameter:

xn =n−te Zahl im Term (n∈1..5) x1= (x4)² xn>0 Der Term lautet also:√

x1·n² +x2·n +x3 − x4n + x5

In dieser Aufgabe sindx₁= 16 x₂= 9 x₃= 16 x₄= 4 x₅= 2.

Erkl¨arung:

Seian=√

bn−√cn, undbn, cnsind asymptotisch gleich und√

bn+√cn>0 und√

bn+√cn geht nicht gegen 0, dann gilt

an = p

bn−√cn = (√

bn−√cn)·(√

bn+√cn)

√bn+√cn

= bn−cn

√bn+√cn

. Eine Folge der Form (an+b)a, b≥0 kann auch alsp

(an+b)² geschrieben werden.

Rechnung:

(7)

√16·n²+ 9·n+ 16−4n+ 2

=

√16·n²+9·n+16−√

(4n−2)²

· √

16·n²+9·n+16+√

(4n−2)²

√16·n2+9·n+16+√

(4n−2)² Regel: Differenzen von Wurzeln

= p_n₂ ¹⁶^·ⁿ²⁺⁹^·ⁿ⁺¹⁶⁻⁽⁴ⁿ⁻²⁾²

(16+n⁹+_n2¹⁶)+p_n₂

(16−¹⁶ⁿ+_n2⁴ ) 3. binomische Formel

= ⁽⁹⁺¹⁶⁾^·ⁿ⁺¹⁶⁻⁴

n·(p

16+n⁹+_n2¹⁶+p

16−¹⁶n+_n2⁴ ) teilweise Wurzel gezogen

= p ²⁵⁺¹²ⁿ

16+n⁹+_n2¹⁶+p

16−¹⁶n+_n2⁴ ngek¨urzt

→ ^√_16+0+0+²⁵⁺⁰^√₁₆₋₀₊₀ =²⁵₈ Angebotene L¨osungen:

1 17

8 ²

√35 × ²⁵₈ ⁴ ⁷₈

5 4 ⁶ ²⁵₃₂ ⁷ 16 ⁸ ⁷₄

9 25

16 ¹⁰ 0 ¹¹ ²⁵₄ ¹² ¹⁷₄

1 17

8 RF: 2 im Z¨ahler vergessen

2

× ²⁵₈ richtig

4 7

6 25

8 7

9 25

16 RF: 2 im Nenner vergessen und Wurzel nicht gezogen

11 25

12 17

4 RF: 2 im Z¨ahler und Nenner vergessen Allgemeine Hinweise:

Bei weiteren Fragen, wenden Sie sich bitte an W. Schmid (sltsoftware @yahoo.de ).

Weitere Hinweise finden Sie auf unserer Veranstaltungswebseite unter: http: / / www.vorkurs.de.vu