Hans Walser, [20090207a]
Folgen im Schachbrett 1 Harmonische Folgen 1.1 Konstruktion
Wir beginnen mit Gitterpunkten im Schachbrett und zeichnen eine Zickzack-Linie, de- ren Ecken zu harmonischen Folgen führen.
Start
Die folgende Figur zeigt den ersten Schritt der Konstruktion der Zickzack-Linie.
Erster Schritt
Hans Walser: Folgen im Schachbrett 2/4 Nun folgen weitere Schritte. An den Rändern sind die relativen Höhen der Eckpunkte der Zickzack-Linie im Vergleich zur Seitenlänge des Schachbrettes vermerkt. Diese Höhen lassen sich mit einem geeigneten Koordinatensystem berechnen.
1
1 2
1 3 1 4
2 3
2 5 2 72 9
Weitere Schritte
Am linken Rand erkennen wir die klassische harmonische Folge 1,12,13,14,…
{ }
={
1n n}
. Der Beweis lässt sich induktiv führen.Was hat es mit den Zahlen am rechten Rand auf sich?
1.2 Das harmonische Mittel
Unter dem harmonischen Mittel h zweier Zahlen a und b verstehen wir:
m= 12
a+1b
Beispiel: Ein Autorennfahrer fährt die erste Runde (der Länge s) mit der Geschwindig- keit v1 und die zweite Runde mit der Geschwindigkeit v2. Wie groß ist die Durch- schnittsgeschwindigkeit in diesen ersten beiden Runden zusammen?
Bearbeitung: Für die erste Runde ist ein Zeitaufwand t1= vs
1 erforderlich, entsprechend für die zweite Runde t2 = vs
2 . Die Durchschnittsgeschwindigkeit vh ist also:
vh = t2s
1+t2 = s2s
v1+vs
2
= 1 2
v1+v1
2
Wir erhalten das harmonische Mittel der beiden einzelnen Geschwindigkeiten. Die Län- ge s des Rennringes spielt keine Rolle.
Hans Walser: Folgen im Schachbrett 3/4
1.3 Harmonische Folgen
In der klassischen harmonischen Folge
{
1,12,13,14,…}
={
1n n}
ist jedes Folgenglied das harmonische Mittel der beiden Nachbarglieder. Wir reden nun allgemein von einer harmonischen Folge{ }
an , wenn an+1= 1 2an+ 1
an+2
. Unter diesem Aspekt bilden auch die Zahlen
{
23,25,27,29,…}
={
2n+12 n}
am rechten Rand eine harmonische Folge, eben- so die Folge, dies sich aus der Vereinigung der beiden Folgen ergibt:1,23,12,25,13,27,14,28,…
{ }
={
22,23,24,25,26,27,28,28,…}
={
2n n\ 1{ } }
Aus der Definitionsbedingung an+1= 1 2
an+an+21 ergibt sich die Rekursionsformel:
an+2 = 2 1
an+1 1
an
Wegen dem Minuszeichen im Nenner kann es zu einer Division durch Null kommen.
Bei den Startwerten a1=1 und a2 =2 etwa muss man mit Gefühl arbeiten:
n 1 2 3 4 5 6 an 1 2 2 1 32 Bei den Startwerten a1=1 und a2 =3 tritt der Pol nicht auf:
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9
an 1 3 3 1 53 37 13 113 133
Hans Walser: Folgen im Schachbrett 4/4
2 Geometrische Folgen 2.1 Konstruktion
Wir beginnen mit Gitterpunkten im Schachbrett und zeichnen eine Zickzack-Linie, de- ren Ecken zu geometrischen Folgen führen.
Erster Schritt 1
1 2
1 4
1 1 8
16 1
32
Weitere Schritte
Es entsteht eine geometrische Folge. Der Beweis ergibt sich aus den Strahlensätzen.
